【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン文系第3問

最難問!?領域図示は点数が取り辛い

それでは今日も行きましょう。

今日は、文系4問の中でも一番難しかったかもしれない問題です。

何も分からなくとも、領域図示の問題だということは、分かるでしょう。

何度かこのブログでも書いてますが、領域図示の問題は点数が取り辛いです。

場合分けが面倒で、細かいところまで神経を使うし、図を描こうとしたら交点をイチイチ調べなきゃいけないし、全部クリアしたら「境界を含む」って書き忘れたり(笑)。

 

僕は試験の時に、条件式まで出して、図示せずに飛ばすことが良くあります。

最後の数点を取るために、異常な時間がかかりますので。ということで、扱いが難しいのです。本番で、領域を本当に図示するかどうかは悩みどころですね。

 

一手目の付け方を考えよう!

この問題の難しいのは、一手目の付け方に迷うところでしょうね。

東大入試だと、一手目をどうしてよいかわからない問題が出ますので、対策を取らなければなりません。

 

「一手目の付け方はセンスだ!!」

と言うと元も子もないのですが、ある程度の直観は大事です。しかし、直観に頼る領域を限りなく少なくすることも可能。

僕は「連想をしよう!」と教えています。

 

問題文をご覧ください。

キーワードは何でしょうか?

①領域図示

②2点までの長さが等しい

③点が存在する

辺りが、方針を決めるキーワードになりそうです。

 

領域図示には、大きく2つの方針がある

キーワードの①を見てみましょう。

領域図示には大きく分けて2つの方針があります。

一つは、解の配置の問題として解く問題。

登場する文字の座標を文字で置き、その文字が存在する条件を立てていくという方針です。

もう一つは、ベクトルに頼るというもの。
「ベクトルaとベクトルbの係数の和が1になる」という性質などを利用して、領域を図示する方法ありますよね。
では、どちらを使うのか良いかと言うと、今回は解の配置の方が良さそうだと判断出来ると思います。
というか、正確に言うと、どちらもあまり変わらなくなります。
ベクトルを使おうと思ったとしても、点Aや点Bに座標が置いてありますから、成分を使って解くんだろうな~となりますよね。
そうすると、成分が分かってない点Pや点Q、点Rなどの座標を文字で置いて・・・と、この辺りで、結局解の配置と変わらないじゃないか!
と判明する。
現実には、この問題文でベクトルを連想する受験生も少ないような気もしますが、、、ね。
ということで、座標を置いて解の配置の方針でフィックスです。
(実際は、正方形の性質を利用して、平面幾何的に解くことも出来るのかもしれませんが、座標が設定されていることを考えると、あまり想定されていないような気がします。)
過去問はベクトルで解く問題が登場していた!
僕がベクトルの話題に触れたのは、皆さんの勉強のため(そういう方針もあるんだ~)もありますが、大きなのはもう一つ。
この前の入試で、ベクトルを使う問題が登場しているからです。
2017年東大文系数学第2問

この問題は、座標を設定して、解の配置で解こうとすると、最後の方になって複雑すぎて挫折します(確かそういう問題だったはず)

この問題に関しては、こちらのリンクから解説が見れますので、良かったらどうぞ。

 

多分、河合塾はこの問題を参考に作ったんじゃないでしょうか?

 

対称性で計算を半分に

では、各点の座標を文字で置き、計算を進めてみましょう。

今回の問題は、OP=PQ=PRとなる点Pの存在領域ですね。

y=xに関して対称性のある図形ですから、OP=PQかOP=PRの片方だけ計算すれば良いです。

この辺りは、ナチュラルに発想して進みたい所です。

僕の手書きの解答では、都合上OP=PQで進めています。

 

解の配置の場合分けは、統一した方法がない!

Rの座標を(t、1)かなんかに置いてOP=PRの計算を進めると、tに関する二次方程式が出てきます。

ということは、「やった!!」となる流れです。

だって、tの解が存在する条件(つまり、解の配置)を丁寧に計算すれば、問題が解けたも同然なのですから。

 

今回は、tが全ての実数を取れるわけではなくて、0≦t≦1と限定されています。

だから、ただ単に判別式を取れば良いわけではなくて、軸の条件とか、境界線のy座標の値を気にしなければならない問題です。

 

ただ、場合分けが非常に面倒臭い!!

今回、0≦t≦1なわけですが、不等号の下に=が付いてると、途端に計算が面倒臭くなります。

しかもこの場合分け、問題集によって色々な解法が書かれていて、先生によって色々な場合分けを考えて説明されますので、統一した解法が存在しません。

 

つまり、先生によって、または問題集によって、別々の場合分けで説明されてしまうので、勉強する側は混乱してしまいます。

ということで、僕は(もちろん親切のつもりで)、このように分けて説明しています。

解の配置の基本解法を3種類覚えよう!
教科書や、教科書傍用の問題集を見ていると、主に3種類の基本解法が登場します。

この3種類を抑えると、途端にスッキリ場合分けが出来るようになると思います。

 

①正に2解を持つ場合(ある場所に2解)

②正と負の解を持つ場合(ある境界の両側)

③0と1の間に1回を持つ場合(ある場所に1解)

 

それぞれ、すぐに解法が思いつくでしょうか?

①が、よく勉強させられるパターンですね。判別式と軸と境界の3種類の条件を求めます。

それぞれ頭文字をとって「はじき」と覚えたりしますね。

判別式と、軸と、端点のy座標ということで「ハンジュクタマゴ」と覚えさせている先生もいました。

 

一昨日の記事でも書いたような気がしますが、このパターンは、解と係数の関係でも求めることが出来ます。知らなかった方は、今すぐ数Ⅱの教科書を見直しましょう。

 

②はf(0)<0とすれば終わり。簡単です。

③はf(0)×f(1)<0という1式を立てれば終わり。これも簡単ですね。f(0)とf(1)の符号が逆になるということです。

ちなみに、数Ⅲでは「中間値の定理」という名前で登場する条件式です。

 

基本解法を使って場合分け

さて、基本解法のポイントは、「全て不等号の下に=が付かない条件だった」という点です。

だから、手書きの解答では、まず初めにt=0で解を持つ条件と、t=1で解を持つ条件を調べておいて、=を除外しています。

=を除外した後は、基本解法の3種類を使って残りを調べれば良いので、混乱しなくて良いと思います。

 

あとは、手書きの解答で流れを確認してみて下さい。

 

 

 

領域図示が難しい

さて、解の配置で条件を求めた後なんですが、忘れてませんか?

OP=PQの条件も立式しなければなりません。

ただ、対称性がありますから、計算はしなくてもOK。x座標をy座標をひっくり返せば良いんですが、このとき放物線がひっくり返って登場しますね。

 

これ、数Ⅲだと普通に登場するんですが、文系の模試で出しても良いんだろうか。。。

いや、対称性とか、逆関数の話で処理出来るんですが、面食らった受験生も多いのではないでしょうか。

 

でも出てしまったから仕方ない。

手書きの解答では、色分けをかなり丁寧に行い、なるべく見やすく工夫して書いていますので、どうぞご覧くださいませ。

 

まとめ

ということで、点数が取る辛いポイントがいくつもありましたね。

一手目が思いつかない、場合分けが正確に出来ない、領域図示が出来ない・・・。

などなど、かなり重たい問題でした。

10点いったら、結構凄いんじゃないでしょうか。うーん、25分でこれを正確に解くのは厳しいような気がしますね。

 

ということで、3問目は以上です。

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