【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン 文系第4問

一番簡単だった!?

昨日は、文系残り1問、解説出来ずすみませんでした。
最後の1問行きましょう。こちらの問題です。
東大模試を受けた皆さん、いかがでしたでしょうか?
初見でパッと見た時、面食らった方も多いのではないですか?
数列とか、場合の数・確率の問題は、全く知らないパターンというか、問題文をしっかり読んで、設定を理解しなければ考え始められない問題が出てイヤですよね。
知ってるパターンが頭の中に思い浮かぶまで時間がかかると、やはりイヤなものです。
ただ、良く読んでみると、非常にシンプルな問題。
数列が出来るルールなんて、子供がやりそうな発想です。
分野で言うと、数列の漸化式の最後。自分で漸化式を立てるパターンです。
【東大模試】 + 【見た事ないパターン】 ⇒ 【すごく難しそう!!!】
とすぐにイメージしがちですが、それほど難しくありません。
青チャートの重要例題辺りにあってもおかしくないのでは?
n回目とn+1回目の図を描いて比較しよう!
さて、具体的な解法ですが、漸化式を自分で立てるパターンの問題は簡単!
n回目の図と、n+1回目の図を描いて、関係性を探るだけです。
これ、いわゆる「確率漸化式」も同じですよ。とにかくnとn+1を書きましょう。
但し、それでも分からないときは、1回目とか2回目、3回目あたりの、小さな数で試すのも鉄則。
あまり数列に自信がなければ、nとかn+1ではなくて、小さな数で試すのもOK。
何事も、抽象的なものより、具体的かつ小さいものの方がわかり易いものです。
この辺りの考え方は、受験数学の世界では常識のように言われることです。ご存知の方も多いでしょうね。
ちょっとしたポイント
ということで、この問題、あまり詳しく解説することがありません。
シンプルで、数列としては典型的。
第1~3問のように、ひねった問題ではありませんので。たまにはこういうのも良いでしょう。
まあ敢えて言うと、n+1回目の時に、n回目の数を使って書いたことくらいですかね。
別に偉そうに語るような事でもないですが、たまに役立つのでご紹介。
手書きの解答を見てもらえばわかるのですが、こんな図を描きました。
n回目の書き込み後の項数をNとして、n+1回目に新しく書き込む数を赤字にしてあります。
n回目の書き込みの後

a1  a2  a3  a4   … aN

 

n+1回目の書き込みの後

a1  (a1+a2)  a2  (a2+a3)  a3  (a3+a4)  a4  …  aN

 

 

すると、

Sn = a1 + a2 + a3 +a4 + … + aN

 

Sn+1= a1 + (a1+a2) + a2 + (a2+a3) + a3 + (a3+a4) + a4 + … + aN

と表せ、a1 や a2 が何回ずつ登場するかが見やすいですね。

こういう風に、n回目の数を使って、n+1回目の図を描いてみるとわかり易いことがあります。

 

では、手書きの解答をどうぞ。

 

 

パスカルの三角形と似ている

さて、僕がこの問題をシンプルだシンプルだと言った理由は、パスカルの三角形と似ているところにもあります。

 

パスカルの三角形と言えば、現行の教科書で言えば、数Ⅱの始めに登場してますね。

3次の展開公式とか二項定理の説明の時に出てきます。

 

「左上の数と、右上の数を足して、下に書く」
という作業を延々と繰り返すのですが、この数列も作業としては同じですね。
パスカルの三角形の時には、n段目の数を全部足すと、2のn乗になります。
※二項定理で、a=b=1 を代入するとそうなりますよね。
対して、この問題の最後の結果を見てみると、3のn乗が登場してます。
これは、右端の数字が常に2になってるからでしょう。
このせいで、2のn乗からズレているのだと思います。
まとめ
ということで、この問題は是非とも取りたい問題ですね。
「難しそう!」って直観的に思って、手を付けなかった方もいると思いますが、とても勿体ない。
東大に限らず、入試や模試では、こういう「見掛け倒し」の問題がよくあります。
「難しそう」と、ハナから思い込んで問題を見ると、本当に脳が停止してしまうそうです。
つまり、実力があっても、自ら実力を出さない状況を作ってしまうということ。
計算ミスや、問題の読み間違いの方が納得できるような勿体なさですから、思い込みの強い方はご注意を。
それでは。

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