【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第一問

2017は素数!2018は・・・?

やってきました!

今週は、駿台の東大模試の解説をやっていきます。

それにしても、駿台の数学、難しかったようですが、、、皆さんいかがだったでしょうか?

では、第一問。

 

良いですね!

シンプルな設定の問題です。

2017は素数なので、こういう問題が出せるわけです。

しかし、次の入試ではもう2018年になりますね。

2018は、2×1009と素因数分解出来るので、割と大きい素数が登場します。

これが出るのか、出ないのか・・・。

年度に関わる問題としては、最近は2015年の時に、(理系ですけど)こういう問題が出ました。

 

かなり難しくて有名です。

入試問題は年度に関わる数字を使うのが好きなので、一応チェックしましょう。

 

主な解法は3パターン

それでは、解説に入ります。

この手の、巨大な累乗の数字の、下○○桁の数字を求めよとか、□□で割った余りを求めよっていう問題は、定番中の定番ですね。

数字を変えて、難易度を落とせば、チャートに基本問題として載っててもおかしくないほどです。

 

主な解法は3パターンあります。

①割り算をして解く。

②合同式で解く

③二項定理で解く

 

ですが、②は①の計算を楽にしたようなものなので、実質2パターンです。

手元のチャートに、全てのパターンの解法が載ってたので、貼り付けておきますね。

 

①の解法

②の解法

 

 

③の解法

①と②は、規則性を探すのがポイントですね。
③では、1ズレる数で二項分解するのがポイントです。
③では解き辛い
この駿台の問題は、100で割ったあまりを求めよということなんですが、③の二項定理では解き辛いですね。
模範解答でも、解説でも触れてませんでした。これはなぜでしょうか?
③で解こうとすると、ちょっと困った事が起こるからです。
二項定理で分解するには、1ズレる数を探すのがポイントです。
この問題で言うと、100で割ったあまりを探すわけですから、6をいじって、101とか99を作りたいわけなんですが、
100-94にしても仕方ないし、6のn乗をしばらくやってみても、絶対に偶数ですから、101も99も出てきません。
ということで、合同式で攻めるのが良いのではないか?
という結論になります。
やってないので何とも言えませんが、二項定理で解けた猛者はいらっしゃるのでしょうか?
規則を探そう!

大人しく合同式で規則を探します。

手書きの解答でやっていますが、6の1乗、6の2乗、6の3乗・・・とやっていくと、

6の7乗まで計算した時に、6の2乗と余りが一致することが分かります。

これで解けたも同然!

6の2乗と、6の7乗で余りが一致するということは、周期が5で同じ余りが繰り返されるということです。

 

2017を5で割ると余りが2ですから、6の2乗と6の2017乗の余りは一致します。

よって、答えは6の2乗、つまり36だということですね。

 

はい、では手書きの解答をどうぞ。

 

これは解きたい問題!!

スペースも左半分で終わりましたし、問題も解法もシンプル。

チャートと全く同じ解法で解けるわけですから、これは解きたい問題!

とは言っても、試験会場で見ると、途端に難しい問題に見えてしまうわけなんですけど。

 

東大入試や、東大模試では珍しく満点が狙える問題でした。いかがでしたでしょうか?

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