【世界一早い東大模試解説】2017秋 東大オープン 文系第4問

自由度の高い問題に気を付けろ!

だいぶ遅れてしまいましたが、河合の東大模試の最後の問題です。

まずはいつも通り、問題からどうぞ

与えられているのは、放物線の式と、その内部に正方形があるということだけ。

文字変数をどのようにおけば良いのか、分かりません。

 

こういう自由度の高い問題は、初手が大切!

初手で失敗すると、その後の計算が全て狂います。

 

例えば、辺の長さを文字で置くか、角度を文字で置くかで、天と地ほど計算量が減る問題なんて、山のようにあります。

だから、ちょっと計算してみて、解答出来そうだったらそのまま、計算量が増えそうだったら、もう一つの方法でやってみるのがオススメ。

ということで、少し時間のかかる問題ではあります。

 

文字の置き方の例

といっても、この問題はそこまで困らないかもしれません。

というのは、点Aと点Bが軸の乗っかっているからです。

 

軸の上に点があるときは、その座標を文字でおくのが、定石。

まず、点Aを(0、a) 点Bを(b、0)とおいて計算を進めて大丈夫でしょう。

 

しかし、軸の上の点(つまり切片)を後で求める場合もあります。

例えば、直線の方程式を求めてから、x=0やy=0をだいにゅうして求める場合。

この場合、直線の傾きを(mかなんかの)文字でおいて、直交条件を使うことになりますが、面倒そうな気配がプンプン。

あまりやる人はいないでしょう。

 

別解として、放物線の上の点をtでおくものも載せておきました。

これでもOK。

手書きの解答を見てもらえばわかりますが、結局点Aと点Bを文字でおいた場合と、全く同じ結論が得られます。

 

正方形の条件

つぎに、正方形の条件を考えます。

と言っても、実は正方形の条件は、教科書で習いません。

 

近いものとして、平行四辺形の条件があります。

四角形ABCDが平行四辺形ならば、ベクトルAB=ベクトルDC

 

正方形は、「平行四辺形」かつ「長方形」かつ「ひし形」ですから、

これに長方形の条件と、ひし形の条件を加えても求められるかもしれません。

 

が、そんなことより、座標を書いて、図形的に処理したほうが楽です。

xy座標はそもそも直交した軸で構成されていますが、正方形も同様。

実は、とても相性の良いもの同士です。

よって、「あまり難しいことを考えず、絵を描いてみたら出来ちゃった」となると思います。

 

とりうる範囲の問題は、グラフを描こう

次は、正方形の面積を求めますが、これも簡単。別に困らないと思うのでスルーします。

面積を求めたら、その取りうる値を求めるのが、最後の手順ですね。

 

「取りうる値を求めよ」と言われたら、基本的にはグラフを描きます。

グラフを描かずに答える問題もありますが、グラフを描く手順を省略していることがほとんど。

出来れば、グラフを必ず書いて答えたい所です。

 

今回は、Sがaの4次関数になります。

なので、必然的に微分するしかなくなるので、あまり困らないかもしれませんが、一応まとめておきましょう。

 

とりうる値を求めよ、最大値(最小値)を求めよ、と言われたら、グラフを描こう

※グラフを描かずに、相加相乗やコーシーシュワルツの不等式などを使うこともあります。

 

ちなみに、取りうる値の範囲や、最大値最小値だけならば、グラフの代わりに増減表で代用出来ます。

 

次数下げの方法

定義域の右端が、やや面倒な値になります。

無理数を4次式に代入するのですが、この方法は超基本ですが、いくつか解法があるので、手書きの解答には3パターン載せておきました。

 

①本当に代入して計算する

②2次式=1次式の形を作って、何度も代入する。

③割り算をして、余りの部分だけ計算

 

もちろん、①の方法は計算量が膨大になるので、あまりオススメされません。

②や③の方法を習得しておきましょう。

 

ということで、手書きの解答です。

 

 

解ければ早いし、解けなければ0点に近い、差がつく問題ですね。

こういう問題を解けるようになると、一気に合格に近づきます。

よく復習をしましょう。

 

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