2014年東大文系数学（第3問）・理系（第6問）入試問題の解答（答案例）・解説 通過領域の解法をノウハウにしよう！
目次
２０１４年 東大文系数学第３問＆理系第６問の解説
お待たせしました！
東大の入試解説の続編です。
今回も１問を解説していくんですが、初の試み！
４回に分けます。
理由としては、
・東大で超頻出の通過領域の図示の問題であること
・なのに、教科書でテーマとして扱われないこと
・理系の第６問と共通問題（というか、ほぼ同じ設定）の問題なこと
などなど。
（１つの記事に入れようとすると、分量が多すぎてしまい、書く気が削がれるというのも、裏の理由）
ご了承下さい。
ちなみに、過去の東大入試解説の一覧はこちらからご覧になれます。
他にも、東大模試の解説もありますので、どうぞご覧ください。
では問題を。
解かずに分析：通過領域は面倒で高得点が来ない
さてさて、本ブログの数学解説の最大の特徴は、解き方だけではなくて、手の付け方や、解くまでの頭の使い方を書いている所です。
解答用紙に１行目を書くまでに、どういう事を考えれば良いかが、最も大切なのです。
この問題は、通過領域の問題。
（１）ではｓとｔの条件を求め、（２）でそれを図示する。シンプルな流れです。
ちなみに、（１）と（２）の小問に分けるのは、少し珍しい気もしないでもないですね。
小問に分けず、一気に「図示せよ」という問題にしても良いのですが、問題の難易度を下げるため（と言っても、かなり難しい方なのですが）配慮でしょうか。
で、この通過領域の問題というのは、原則として高得点が取りにくい事が多いです。
なぜなら、そもそも通過領域というテーマで教科書に登場せず、特殊な授業（予備校など）で、いかもわかり易くまとめてもらわないと、自分のノウハウにならないからです。
それに、図示する時って、よく忘れ物をします。
軸の名前（ｘやｙ）を書き忘れたり、原点を書き込まなかったり。
グラフの境界を含むか含まないかも書かなきゃいけないし、交点の座標も出さなきゃいけない。
ということで、非常に手間がかかりますから、１問目に解く問題ではないですね。
他の手が付けられそうな問題から手を出し、後半の時間で扱うのが基本路線でしょう。
通過領域の解法は３つある！
そんな事情があるので、まずは通過領域の解法を、自分のノウハウにしなければなりません。
その時に厄介なのが、通過領域の解法が３つもある事です。
①解の配置で解く
②すだれ法（ファクシミリ論法）で解く
③包絡線で解く
の３つです。
それぞれご存知でしょうか？
この３つの解法が区別できないと、参考書を見ても勉強出来ません。
参考書Ａで勉強したら、①解の配置で解いてたけど、参考書Ｂでは②のすだれ法で解いている、なんてことが頻繁に起こります。
というか、一冊の参考書の中でも混同して使われてたりして、もう収集が尽きません。
数学の受験業界では、別解を大切にしますが、ストレートな解法と別解を同時に載せる配慮は、意外と出来ていません。
有名な「プラチカ」なんかは、別解を載せてくれてますから親切なんですけど、欲を言えばどの別解は初心者向けで、どの別解が玄人向けかなどを書いてほしい所ですが。
解法①：解の配置の基本の型３つを押さえよう。
いきなり東大の過去問の解説に行くと難しすぎるので、まずは簡単な通過領域の問題から、３つの解法を使い分けて解説してみましょう。
１つ目は、解の配置で解くパターンです。
解の配置と聞いて、何のことかお判りでしょうか？
主に、２次関数の最後に登場するタイプの問題のことを指します（３次関数などでも、登場しますが）
例えば、こんな問題
（青チャートより）
「あぁそうだ、判別式と、軸の位置と、協会のｙ座標を調べるあのタイプね。」
と思えたら、及第点。
しかし、それだけが解法のパターンではありません。
私は、このタイプには３種類の解法があると教えています
それが、下の画像のＡからＣです。
左半分をご覧ください。
Ａは、正の異なる２解をもつ条件
Ｂは、正と負の解を持つ条件
Ｃは、０＜ｘ＜１に１解を持つ条件（数Ⅲでは中間値の定理として登場）
です。
これが、最もよく出る順の３つですし、他の問題へ応用しやすい「プレーン」な解法です。
右の半分は、ＡとＢを数Ⅱの「解と係数の関係」を使って解いた場合の解法です。
意外と知らない生徒が多いのですが、解の配置は判別式や軸で解くばかりではなく、解と係数の関係でも解けます。（教科書にも載っています。）
基本の型を使って、ちょっと複雑な解の配置の問題を解こう
では、これを応用する問題に触れてみましょう。
次の画像をご覧ください。
ケース１からケース３まで載せています。
先ほどの基本の型３つを使って、もれなく場合分けをするとどうなるか、が書かれています。
「４つも５つも場合分けしていて、面倒じゃないか」と思われるかと思いますが、その通り！！
市販の問題集では、平気で４～５通りの場合分けをして、解説が書かれています。
そもそも通過領域に辿り着く前に、場合分けが出来なくて困る事ばかり。
基本の型３つを使えば、機械的に場合分けが出来るようになりますので、どうぞ使って下さい。
ポイントは、３つの基本の型には、不等号にイコールが入っていなかった事です。
「＜」の記号はあったとしても、「≦」は一つもなかったはずです。だから使いやすい！
「ｘ≧０に少なくとも一つの解を持つ条件」などと言われたら、「ｘ＝０の場合」と、「ｘ＞０の場合」に分けて考えればスムーズです。
通過領域を解いてみよう！
では、やっとですが、通過領域の解法に行ってみましょう。
この記事の冒頭に書いた、通過領域の解法３つ
①解の配置で解く
②すだれ法（ファクシミリ論法）で解く
③包絡線で解く
の１つ目から。
※左上が消えていますが、お気になさらず・・・。
ｙ＝２ｔｘ－ｔ＾２が、０≦ｔで動き時に通過する領域を求める問題です。
解の配置を使って求める場合、まずはパラメータ（ｘとｙでな文字）で降べきの順に並べます。
この問題で言うと、ｔがパラメータですので、ｔで降べきの順で並べる。
すると、ｔの２次方程式になります。
次に、０≦ｔで動くという条件を、「さっきのｔの方程式が、０≦ｔに少なくとも一つ解を持つ条件」と読み替えます。
この議論のすり替え（！？）は、説明するのが大変。
都合上、説明は解き終わった後に書きますので、一旦スルーしておきます。
さて、「０≦ｔに少なくとも１つ解を持つ」と来ましたから、基本の型３つを使って場合分けを実行。
基本の型３つを使うためには、不等号の中のイコールを消去する必要があるので、
（ⅰ）ｔ＝０に解を持つ場合
が来ます。
次に、０＜ｔに１つ解を持つ場合ですが、重解の場合と、重解ではない普通の解の場合が考えられるので、
（ⅱ）０＜ｔに重解を持つ場合
（ⅲ）０＜ｔと、ｔ＜０に一つずつ解を持つ場合
が考えられます。
最後に、０＜ｔに異なる２解を持つ場合があるので、
（ⅳ）０＜ｔに異なる２解を持つ場合
と４つの場合が考えられました。
あとは、画像を見て条件のチェックをしておいてください。
最後に、求めた条件を、ｘｙ座標に書き込めば終了です。
（色分けしてあるので、見やすいと思います。）
解の配置だけでこのボリューム。
②すだれ法（ファクシミリ論法）と、③包絡線については、次回以降に書いていきます。
