2018年夏 河合東大オープン 文系数学第2問

それでは、昨日に引き続き東大模試の解説をしましょう。

河合の東大オープン文系数学の第2問です。

東大の整数問題は、比較的難しいことが多いですね。
確率とか微積分の問題の方が取りやすいことが多い印象ですが、この整数問題(ガウスと領域図示の問題)は、比較的取りやすい部類かと思います。

というのも、日ごろの勉強の延長線上に全て解法が乗っかっているからです。

この問題は、2つのポイントを押さえていると、満点解答が作れます。

ポイント① ガウス記号について

ガウス記号については、僕が現役生の頃より、だいぶ受験生にとって常識になったなぁという印象がありますね。
恐らく文系受験者の皆さんも、一度や二度、問題を解いたことがあるのではないでしょうか。

簡単にポイントをまとめましょう。
・「xを越えない最大整数」が定義
・x>0の時は、xの整数部分になる
・覚えるべき不等式がある

詳しくは、最後に載せる手書きの解答にまとめておきましたが、要するに整数部分を取り出せる便利な関数だと思ってくれればOK。
基本的には文系の皆さんが見ていると思いますが、理系の受験生ならば、即座に「ハサミウチの原理」も思い出せなければなりませんよ。

ポイント② 常に + 不等式 =最大最小問題

これ、うちの塾生には、4月からの4カ月間で何度言ったか分かりませんが、超重要事項!
数学では、「常に」とか「任意の」とか「すべての」という言葉が、キーワードです。
何も書かれてないけど、「常に」が省略されている場合もあるので注意なのですが、とにかくこのワードには敏感にならなければならない。

常に + 等式  ときたら、恒等式
常に + 不等式 ときたら、最大最小問題

この2つを覚えておくだけで、かなり解答の幅が広がります。

常に + 不等式 ときたら、最大最小問題
について、少し補足を。

「常に(どんなxに対しても) f(x)>0が成り立つ」
というのは、
「f(x)の最小値>0」と同値です。

例えるなら、クラスの最低点のヤツが赤点でなければ、クラス全員が赤点ではない、というのと同じです。
要するに、最大最小問題に帰着できるのです。

この2つポイントを知っているだけで、満点がもらえる。

どちらも、教科書の基礎事項ではありませんが、受験数学を解く上では非常に重要。
ぜひ覚えておいてほしいと思います。

では、手書きの解答を。

さて、この問題。いわゆる「差がつく問題」だったでしょうね。
出来ない人はほとんど0点。
でも、出来る人は、20点近くもらえます。

細かいことですが、知識があるだけで解ける問題が多数あります。
いいですか、問題を解く量ではありません。知識量です。

せっせと問題集を解きまくるのも良いですが、本を読む、人の話を聞くなど、優良な情報ならば選り好みせずに入手しましょう。
その情報源の中に、このブログを入れてもらえたら嬉しいです。

では、明日は第3問へ。

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