2018年夏 河合 東大オープン 文系数学第4問

それでは、文系数学の最後、確率の問題に行きましょう。

東大の確率は、見たことのない問題が出る
東大数学といえば、確率の問題が頻出!
毎年必ず出るといわれてますが、実際は数年度だけ出題されなかった年がありまして、それが去年の入試。

といいつつ、これまでの経緯を踏まえると、来年の入試にも登場するでしょうから、対策は必須。ぜひ時間をかけて取り組んでほしいと思います。

しかしながら、それにしても東大の確率は、見たことのない問題が出ますよね。
教科書や問題集で見たことのあるような問題ではなく、設定を少し捻ったり複雑にしたりと、工夫がみられるものがほとんど。
そのため、対策がしづらいのも特徴です。

私も、「ブログやHPで、数をこなすだけの勉強は止めろ」と絶叫していますが、しかし確率の対策に関しては色々なパターンに触れて、解法を抽象化するのが必要だと思います。
今回の河合塾の問題も練習に良い問題ですので、ぜひ取り組んでほしいと思いますね。

文系も数Ⅲを勉強しておく方が有利!?
この問題、文系受験者にとって不利だったのは、理系では常識とされている知識がないということですね。
数Ⅲでは、初項と公比が1/2の等比数列の無限個の和が1になるという有名な事実が登場します。
こちらの画像をご覧くださいませ。

「1/2を足す」というのを、「1/2の面積を塗る」と変換すると、わかりやすい図が出てきます。
この知識があると、問題がかなり解きやすかったでしょうね。

河合塾の模範解答でも、僕の手書きの解答でも、
A:サイコロで1か2の目が出る
B:サイコロで3か4の目が出る
C:サイコロで5か6の目が出る
と定義しました。

すると、
・1回目からずっとAが出続けるのが、点Pの座標が最大になるときで、1 + 1/2 + 1/4 +・・・=2(無限の和)となり、
・1回目からずっとBが出続けるのと、1/2 + 1/4 + 1/8 +・・・=1(無限の和)となります。

上の足し算は無限に足した場合なので、n回目(つまり途中)で足すのを止めたら、もっと合計が小さくなります。
つまり、
事実①:1回目からn回目まで、全部Aの時の点Pの座標は、1 + 1/2 +・・・+(1/2)^n<2
事実②:1回目からn回目まで、全部Bの時の点Pの座標は、1/2 + 1/4 +・・・+(1/2)^n-1<1
もわかる。

これを踏まえて(1)の問題を見てみると、問題の趣旨は「一回目にCが起きると合計が1を超えない」のを示せというもの。

そりゃあ当然です。
なぜならば、点Pの座標が最大になるのは、上の事実①の場合ですね。
これを踏まえて、1回目にCが出た場合の点Pの最大値は、この事実①の一番左の1を0に変えればよいわけで、すると両辺から1を引いて、
1/2 + 1/4 +・・・+(1/2)^n<1

つまり、1回目にCが出てしまうと、そのロスをカバーしようとして、どれだけAを連続させたとしても、1に満たないわけです。
これで、(1)は終了。
解けました。

 

第2問の復習:「常に + 不等式 は最大最小問題」の法則を利用しても良い。
他にも考え方があります。
第2問の時に、「常に + 不等式 は最大最小問題」だというのを説明しました。
2018年夏 河合東大オープン 文系数学第2問

これを使うと、「1回目にCだったとき、常にxn<1」を示すわけですから、言い換えて
「xnの最大値<1」を示せばよいわけです。

xnの最大値はずっとAが出続けるわけですから、CAAAAA・・・という場合の確率を考えれば示せます。

 

難しいときは、具体的な数字で試せ!

さて、難しい方の問題(2)。
xn≧1となる確率を求めよとのことですが、これが難しい。
パッと見て解法が分かる人は少数でしょう。

そういうときの対処法は、意外と少なく、最も有名なものは具体的な数字で試すこと。
手書きの解答で、実際に試していますが、1回目で1を超える場合、2回目で1を超える場合、3回目で1を超える場合・・・と試してみて下さい。

すると、意外にも場合が少ないことが分かります。
あとは、樹形図を描いて答え。

書いていると簡単に見えて、実際に手を動かすと難しいのは分かりますが、しかし具体的な場合で試すのは王道。
nで難しければ、小さい数で試す。ぜひ次の試験でやってみましょう。

ということで、手書きの解答です。

これで、河合の文系数学の問題が全て終了!
4問通して、難易度もそこそこありましたし、良い問題のラインナップだったのではないでしょうか。
受験生にとって、復習にもなりますし、実戦経験にもなる良問と思います。

理系の問題は、折を見てアップしていきますね。

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