2018年夏 河合東大オープン 理系第5問

やっと更新!
これからもなるべく書いていきますので、気長にお待ちくださいませ。

では、早速問題を見ていきましょう!

東大ではまず必ず出る、整数問題。(文系も)
東大模試でももちろん出ます。
でも、問題分からヒントがたくさん。まずは解く前でも読み取れる情報を取っていきましょう。

【解く前に情報を読み取ろう!】

どの問題でも絶対やらなきゃいけないのですが、この問題はキレイにハマるのでわざわざコーナーを作りました。

まずはテーマ。
整数の約数の個数に関するものですが、約数の個数に関して知っていることと言えば、これでしょう!

今回のNに関してもバッチリ使える。ということでこれを使って考えるのがセオリーでしょう。

そしてもう1点。
(3)まで問題を通して読むと気づきやすいのですが、しっかりと誘導になっています。
(1)の分母を払うと、(2)や(3)と同じ形になっているのです。
このくらいの軽い変形をしながら誘導ポイントを探していくのが、非常におススメ。

(1)では4未満を証明し、(2)では2ではないと証明。すると(3)のkは必然的に3に決定します。
これで(3)がかなり解きやすくなるのですが、意外と気付かないもの。

(1)に集中して取り組み、(2)に集中して取り組み・・・と、最後まで通読せず、1問ずつに注目しすぎながら解くクセがある人は、いつまで経っても誘導問題が得意になりませんよ。
まず問題文を最後まで通読し、読み取れる情報をすべて読み取ったら1問ずつに集中するのです。

【(1)不等式の絞り込み】
では、各設問ごとに行きましょう。

まず、先ほどの約数の個数の公式を使い、S(N)を求めます。
そしてNで割って計算すると、なんとなく積が4になりそうな因数が出てきますね。

ここで、各因数を出来るだけ厳密な不等式で絞り込めは終了。(1)は簡単です。

さて、整数問題では主に大きく2つの方針があると言われます。
①積=整数の形を作る
②不等式で絞り込む

このうち②を使って解いたんですが、各定数や変数の定義域がポイントになるのは、超頻出!
よって、整数問題だと分かった時点で、定義域をチェックしておくのは、マストの作業です。
偶然の出来事ではありません。

【(2)背理法と整数の理論を使う】

では(2)ですが、「存在しないことを証明する問題」。これもよくあるパターン。
2次方程式なんかでは判別式を使って解く場合もありますが、整数問題ならまず「背理法」を使うと決め打ちして取り組んでOK。

つまり、等式が成立するn、p、qが存在すると仮定して、等式変形を繰り返します。(どうせ矛盾するだろうな、と思いながら)

ここで重要な知識が、素数は2以外すべて奇数だという情報。(ついでに言うと、5以上の素数は6n±1と書けます。)
これを使うと、
左辺は(奇数)(偶数)(偶数)の積
右辺は(偶数)(奇数)(奇数)の積です。

これ以外にも、素数が積に含まれている不定方程式ならば、筆が進むことを知っている方も多いかもしれません。
いずれにしろ、このような理論の展開が可能です。

あとは、各場合において不定方程式を解けば解けるでしょう。

ここまで、セオリー通りに解いていないところはありませんね。東大理系ならば、確実に解きたいレベルだと思います。

【(3)誘導に乗ろう!】
では最後の設問。
冒頭に書いたとおり、誘導に乗るといきなりk=3が求められます。
これは精神的にも、解答的にも大きいですね。kが特定できないと、かなり厳しいですが、kが特定できると安心感が違います。

あとは不定方程式を解くだけなんですが、2通りの解答を用意しました。
1つは、河合塾の公式解説本に載っているのと同じ解法(計算が簡単)
もう一つは、愚直だけど受験生の努力の延長で解きやすい解法です。

<河合塾の模範解答>
ではまず河合塾の模範解答ですが、これは(1)と同様に不等式で絞り込みをして、場合分けを減らす方法です。
これは、突然思いつきづらいとは思いますが、絶対に出来ないような発想が必要なわけでもない。
学びましょう!
詳しくは、最後の手書きの解答をご覧くだされば大丈夫かと思います。

<愚直な解答>
こちらは、面倒ですが、(2)と同じように整数の理論から場合分けをして解く方法。
2<p<qと、素数の条件を使えば、ほとんどの場合で不適な解しか出てきません。
これも、手書きの解答をご覧くだされば良いと思います。(ただ頑張ってるだけです)

ということで、まとめてどうぞ。

【まとめ】

難易度としては、東大の整数問題に比べて、同等か簡単めだと言って良いでしょう。
あまり突飛なことも登場しませんし、基礎的な技術をキチンと積み重ねれば解ける問題です。
25分で解くとなると、満点解答を作れる人は少ないまでも、10点以上取る受験生はかなり多くなると思います。

復習にも良い問題だと思いますので、どうぞしっかりと。

では、また次回へ~~

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