２０１５年　東大文系数学　第１問（真偽判定、常にの不等式、有名不等式）

２０１５年　東大文系数学　第１問

珍しく真偽判定の問題

珍しく真偽判定の問題ですね。 命題２つに関して真偽の判定をしろとの事ですが、どうやら二つにあまり関連性はなさそう。つまり、いわゆる誘導になってなさそうですから、出来そうな方から解けば良いでしょう。 ※命題Ａは正の整数で、命題Ｂはただの整数だし、命題Ａはｎだけに対して、命題Ｂはｎとｍが登場するので、ぱっと見で関連性はなさそうだと判断できます。 さて、真偽の判定の仕方ですが、これは「反例が存在するかどうか」です。 反例が存在すれば偽、判例が存在しなければ真です。 これを頭に置いて、命題Ａから見ていきましょう。

反例を探す問題は「常に」と言い換えよう

命題Ａの不等式は、まさか分母に２６を置いたままで計算する人はいないでしょうから、とりあえず分母を払いますね。 すると、ｎ＾３－２６ｎ＾２＋２６００≧０　となります。 ここで真偽判定のチェックの仕方を思い出してください。反例が一つでもあれば偽で、反例が一つもなければ真です。 この「反例が一つもなければ」という言葉の代わりに「常に」という言葉を使いましょう。 そして「常に」という言葉は超キーワードなのです。

常に　＋　不等式　は最大最小問題

まずは、ポイントの説明からしましょう。 「常に」と「不等式」の組み合わせを見たら、最大最小問題に切り替わります。 よく数学の先生が使う例えを紹介しますと、 「クラスの最低点が６０点以上だ」と言ったら、「クラス全員が６０点以上だ」ってわかるのと同じです。 これをこの問題に応用しましょう。 「常に」　ｎ＾３－２６ｎ＾２＋２６００≧０　が成立するかどうかを問われていますので、左辺の最小値が右辺を超えるかどうかを調べることになります。 左辺の式を見るとｎの３次式。３次式の最大最小の求め方は、３次関数と見てグラフを書くのが、これまたセオリーです。（二次式だったら色々と武器があるのですが） という事で、あとは左辺の３次式のグラフを書けば解けるな、という目途が立ちます。

定義域が整数と、定義域が実数の問題は違う

ちなみにｎは整数値ですが、３次関数は定義域が実数です。 だから、左辺のグラフを書いた後に、一番近くの整数の点を探さなければならない事に注意して下さいね。 手書きの解答を見ても、最小値はｘ＝５２／３の時なんですが、ｎ＝５２／３を代入することは出来ませんから、一番近くの整数であるｎ＝１７で解答を進めています。

偽の証明は反例だけ書けばよい

また、偽の証明は反例を示せば良いので、解答用紙にはあまり色々書かなくて良いです。 「命題Ａは偽である。反例はｎ＝１７である。」 とだけ書けば良いんでしょうけど、あまりにも簡素過ぎると感じたなら、ｎ＝１７の時の計算結果を少し書いておけば安心です。 何にしろ、３次関数のグラフの辺りは、解答用紙に書かなくて良いと思います。ｎ＝１７を導くまでの思考回路では必要ですけどね。 では、手書きの解答をどうぞ。 

命題Ｂ　文字を減らそう

では、命題Ｂへ移りましょう。 基本的な考え方は同じですが、変数が多いですね。ｎとｍとｌが登場します。 ５ｎ＋５ｍ＋３ｌ＝１　の時に　１０ｍｎ＋３ｍｌ＋３ｎｌ＜０　を示せという事です。 等式が一本あるので、文字を一文字減らしてしまいましょう。 １式目も２式目も、ｎとｍは対称性があり、ｌだけ特殊な使われ方をしてますから、ｌを消去するのが自然でしょう。 １式目を、３ｌ＝・・・　の形に直して、２式目の左辺に代入します。 すると、　ｍ‐５ｍ＾２＋ｎ－５ｎ＾２　という、ｍとｎが独立した形になります。 という事は、ｍ－５ｍ＾２＜０だけ証明すれば、同時にｎ－５ｎ＾２＜０も証明されたことになりますから、やはり対称性を保ちつつ変形したのが正解でした。

有名不等式を覚えよう

さて、ｍと５ｍ＾２の大小関係ですが、これは有名な不等式「ｍ≦ｍ＾２」が使えそうですね。 もちろん、使える時のｍの条件もありますから、この辺りを細かく丁寧にチェックして下さい。上手く使えば、これで解答終わりです。 ちなみに、この不等式の事を知らない受験生も多いと思うので証明や補足も載せましたし、この不等式を思いつかなかった人のための解答も載せましたので、参考にして下さい。 細かい事は、手書きの解答をご覧くださいませ。 

まとめ

整数の最大値、最小値の扱いは、あまりやった事がないかもしれませんが、関数のグラフを書いて、最大値や最小値付近の整数を調べる方法は、東大で過去にも登場しているので押さえておいて欲しいですね。 また、有名不等式もいくつか教科書や参考書に載っていますから、それもこの際、一度まとめて調べておくのも良いでしょう。 特殊な不等式のくくりでは、相加相乗、コーシーシュワルツ、三角不等式、絶対不等式、実数条件・・・と結構いっぱい登場します。

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