2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問 の解説(過去問とそっくり)

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。

 

 

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

 

実は、この問題の解説を書くのは2度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の1997年の問題と、前回の2003年の問題の流れで見てほしかったからです。

 

「いやいや、今回は共役な無理数がないじゃないか」

と思うかもしれませんが、ありますよ、ちゃんと。

 

pに対し、-1/pが登場していてわかりづらくなっていますが、計算してみるとちゃんと共役になるのです。

ちなみに、p=2+√5に対して、-1/pは2-√5になります。

こざかしいマネをしてますが、東大の整数の歴史をたどれば、連想するのは当然なのです。

過去の問題と比較しよう

では、1997年の問題と、2003年の問題と比較してみてみましょう。

この2回で書いたのは、共役な無理数のn乗が登場したら、帰納法で整数だと証明させていました。

その時に必要なのは、漸化式。もっと言えば、3項間の漸化式が得られて、強化帰納法を使うのでした。

 

それを知っている前提でこの問題を見てみましょう。

 

おやおや、(1)でa1とa2を求めているぞ。

(2)では、a1anをan+1とan-1で表せとな。ということは、3項間の漸化式を作れということに他ならない。

そして、(3)では自然数になることの証明。

 

なんだ、同じじゃないか!!

 

となるわけです。

(2)の漸化式の作り方も、a1anから作ろうとすると難しいけど、いつも通りの作り方をすると、ごくごく自然。

ということで、(3)までは瞬殺の問題なのでした。

 

(4)の発想も自然にユークリッド

では、(4)に行きますが、出題された当時は、ユークリッドの発想が難しいと噂になってましたが、そうですか?

僕からしてみると、自然な発想なのですが。

 

だって、最大公約数に絡む技術って、2つくらいしかないですもの。

 

一つは最大公約数と最小公倍数をgとlっておいて、

①a=a’g

②b=b’g(a’とb’は互いに素)

③l=a’b’g

④ab=gl

の4式を立てる方針。

 

二つ目がユークリッドの互除法です。

 

確かにユークリッドの互除法を漸化式に使う発想は難しい(というか慣れていない)かもしれませんが、着想はできるはず。

 

ということで、手書きの解答です。

 

 

ということで、今回は力を抜いてこれくらいで終わりましょう。

 

いや~、過去問を解くのって大事ですね。

 

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2003年 東大数学 文系第3問 理系第4問(整数と漸化式、帰納法、1の位、周期性)

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2003年 東大数学 文系第2問 理系第3問

受験直前期で多忙のため、頻度が落ちてますが、書く気はまんまんなのです。

お待たせしました。

今日は2003年の整数です。

 

前回の1997年を読んでない方は、先にそちらをどうぞ。

 

では、問題です。文系はこれで、

 

 

理系はこちら

 

ぱっと見、似てることはお分かりでしょう。

しかし、実は与えられた式がちょっとだけ違う!!(文系は+1に対して、理系はー1の部分があるでしょ!?)

凝った作りしてますね。実はこの違いで、問題が大きく分岐する問題でした。

 

それでは、解説行きましょう。まずは文系から。

理系の問題は、文系の後に描きますが、文系の部分を読んでから進んでくださいね。

 

共役な無理数を、n乗して足すと整数←有名事実

まず(1)ですが、これは前回の1997年の記事をとほとんど同じです。

そして(2)の前半では、Snが正の整数であることを示すのですが、Snが正だというのは一瞬で証明できるので、Snが整数であることを示すのに全力を出してよくなります。そして、そのために必要なので、漸化式を作るという流れになります。

そして、ここまで含めて1997年と同じです。

 

と言いつつも、ちょっとだけ補足をしておきましょう。

1997年の問題では、具体的にaとbの値を求めませんでしたが、求めようと思えば求められました。

今回の2003年の問題でも、2次方程式を解けば、共役な二つの無理数解が得られます。(2+√3と2-√3)

 

あまり知られてませんが、「共役な複素数」という言葉があるように、「共役な無理数」と言い方もします。無理数の符号が逆の2数を「共役な無理数」といいます。

 

そして、共役な無理数を、それぞれn乗して和を取ると(つまり、今回のSnのこと)、必ず整数になるのです。

 

これを証明させるのが、1997年の問題であり、今回の2003年の前半部分なのです。(大雑把に言えば)

 

具体的には、3項間漸化式を立てて、強化帰納法で証明するというもの。

細かい計算はこうです。

 

これは、有名な証明ですし、東大で頻出ですから、ぜひとも覚えてしまいましょう。

 

証明法その2

せっかくなんで、これの証明法の別バージョンをご覧ください。こちらも有名な証明法です。

方針としては、αのn乗の「有理部」と「無理部」を数列で表し、βのn乗と一致することを示して、和を取るわけです。

いずれにせよ、結論が整数になるので、しっかり覚えておきましょう。

 

文系(2):1の位の数を求める2つのキーワード

では、(2)の後半。Snの1の位を求める問題です。

 

さて、1の位を求めると聞いて、何を思い出すでしょうか?

キーワードを2つ覚えてください。

 

1つ目が「合同式」の利用ですね。(東大数学では、超頻出です。)

 

1の位の数というのは、10で割った余りと全く同じです。

よって、mod10を計算すればよいことになります。

 

そして、2つ目のキーワードが「周期性」です。

中学受験でも、1の位を計算させることがありますが、中学受験から全く進化せず、東大受験だろうがやることは同じ。周期を探すのです。

 

今回は、

S1≡4

S2≡4

S3≡2

S4≡4

S5≡4

S6≡2

 

となるので、どうやら、4、4、2・・・と続くのではないかと予想します。

 

周期性の証明方法2つ

あとは、これが延々と続くことを示せばよいのですが、この証明方法が2つあります。

 

1つ目は、漸化式をいじって証明するというものですが、これはラッキーでないと証明できません。

今回の漸化式をいじってみましたが、うまくいかなかったので挫折しました。

 

もう一つは帰納法です。

さっきのに比べて、かなり面倒臭いのですが、確実なので仕方なくても帰納法を使いましょう。

このようになります。

 

文系(3)またまた1の位

では、文系の最後の問題に行きましょう。今度はα^nの1の位を求めよ、となっています。

Snは整数でしたが、α^nは無理数のn乗ですから整数になりません。果たしてどう証明するのでしょうか。

 

この問題は、問題集や参考書に同じパターンが載ってないので、難しかったと思いますが、βがものすごく小さい値だということを利用します。

本番でこの発想が出てきたら、大興奮するでしょうね。

 

具体的には、βは0から1の間の数です。これだけ調べられればOK。

だって、Snから1未満の数を引いたのがα^nだとわかるわけですから、Snの1の位から1を引けば、答えが出ます。

 

ということで、手書きの解答はこちら。

 

 

理系第4問(2):ただの計算問題だが・・・

では、調子にのって、理系の解説も一気に行きましょう

理系の(1)に関しては、文系の(1)とほとんど同じなので割愛。(2)からスタートします。

 

(2)の問いは、「β^3以下の最大整数を求めよ」というもの。

「え??要するに、数値計算するだけでしょ??」

ということで、非常に簡単な問題に思えます。

 

さっそくβに値を代入してみます。すると、かなり面倒臭い近似が必要な値が出てきました。(当たり前のように、字数下げを行いましょう。)

 

ということで、代入するのはおススメしません。

 

 

では、どうするかというと、もっと簡単♪

そもそもβの値が、-1<β<0を満たすので、3乗してもー1と0の間にあります。

これだけで証明終わり。

 

すぐに代入するっていうのは、良い結果にならないことが多いので、覚えておいてくださいね。

 

理系(3)いつものフォーマットで、正の整数を証明

では最後。

(3)では、α^2003以下の最大整数の1の位の値を求めます。

 

さて復習。

1の位と言ったら?合同式なので、当然のように合同式を使うのですが、

そもそも、Snが整数になるという証明がされていません。

ということは、合同式がまだ使えないということですから、まずはいつものフォーマットで、Snが正の整数になることを求めましょう。

 

これで、Snに対して、合同式を使えるようになりました。下準備完了。

-1<β^2003<0の証明

では、次の問題は、Snとα^nの関係です。

実は、(2)がフリになっていて、βの3乗でもほとんど0ならば、βの2003乗は、もっと0付近だろうということに気づかせたいのでしょう。

 

ということで、(2)と同様で、-1<β^2003<0を証明します。

これは、簡単に済ませましょう。

 

1の位は、周期性→証明

最後に、Snの1の位に行きましょう。

文系の問題と同じように、合同式で周期性を発見し、それを証明します。

証明法も、漸化式で済ませようと思ったら失敗したので、帰納法に進むのも同じ。

ということで、全体の解答をどうぞ。

 

 

まとめ

このタイプの問題が東大では頻出です。

整数の証明、帰納法、漸化式、あたりで問題を解かせる問題よく出ます。

まだ、このシリーズを続けて解説行きますので、どうぞ次回をお待ちくださいませ。

 

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和歌の本紹介 その3

和歌の本紹介の第3弾、今回は本格的な本をご紹介します。
私が和歌の勉強でお世話になっている
国民文化研究会(通称:国文研)が発行している本です。


小柳陽太郎著『名歌でたどる日本の心』
神話の時代から、昭和の時代までの和歌が解説されています。
様々な偉人のことを知る機会にもなりますよ。

明治~昭和に活躍された三井甲之(みついこうし)先生の一首をご紹介します。

ますらをの悲しきいのちつみかさね
つみかさねまもる大和島根を

(遠い古より次々に尊い生命が捧げられ、国の命が守られてきたという、祖国防護の悲願を歌い上げた名歌です。
この歌は靖國神社の「遊就館」にも壁面高く掲げられています)


そしてもう1冊、国文研の本をご紹介します。
夜久正雄・山田輝彦著『短歌のすすめ』
和歌のまごころを理解するのに最適な本です。
合宿の中で学生たちが初めて和歌を詠むための教科書であり、
その学生たちの率直な感想なども書かれてあります。

万年筆紛失を詠んだ和歌をご紹介します。
こんな感じで詠んでいいんだ♪と思いますよ。

カキナレタ万年筆ヲ見失ツテ
モノヲ書クノガオツクウニナツタ

(書き慣れた万年筆を見失って、ものを書くのが億劫になった)
現実の経験を平易な言葉で詠まれています。

今回の2冊が気になった方、ぜひ一緒に短歌の会に参加しましょう☆
毎月第4土曜日の朝10時から、
渋谷で短歌の会があります。
ご連絡くださいませ~☆

和歌の本紹介 その2

和歌の本紹介の続きです。
日本最古の和歌集である『万葉集』をわかりやすく紹介している本を2冊オススメします。


こちらの本は、イラストがかわいくてジャケ買いしました(笑)。
松岡文著『よみたい万葉集』
恋愛の和歌が多くて、読みやすいですよ。

君が行く道の長手を繰り畳ね焼き滅ぼさむ天の火もがも
(流罪になった夫が恋しくて、「あなたが行ってしまう道を焼き滅ぼす火があればいいのに」と言っています。天変地異でも良いから、なんとかして夫に帰って来て欲しいと祈る心、切ないですね)


もう1冊、訳がとっても面白い本をご紹介します♪
中村博著『万葉集みじかものがたり』
なんと、訳が関西弁です。
しかも、「5・7・5・7・7」で訳してくれています^^

例えば
《庭植えた 撫子(なでしこ)咲くん 楽しみや
お前や思て わし見よ思う》
我がやどに 蒔きしなでしこ 何度(いつ)しかも
花に咲きなん 見倣(みぞ)えつつ見ん
大伴家持

親しみがわく訳ですよね♪
『万葉集』が気になる方、ぜひ手に取ってみてください^^

和歌の本紹介 その1

和歌の本紹介 その1
こんにちは!

「和歌の本を紹介して欲しい」という嬉しいご依頼をいただきましたっ!!
(素人ながら何十冊も和歌に関する本を読んでおりまして、勉強・発信しています。
過去には和歌について話して演説大会で準優勝をいただいたこともあります。)

そこで、初学者向けの本を何冊かご紹介しようと思います。

まずは、この依頼をしてくださった方が向上心溢れる方なので、
「ためになる」本を選びました。
「道歌(どうか/みちうた)」や「教訓歌」の本です☆

和歌の中には、生きる知恵を教えてくれる和歌がたくさんあります♪
それを集めた本を4冊紹介しますね。


斎藤亜加里著『親から子へ代々語り継がれてきた教訓歌』
この本のトップバッターで紹介されている和歌は、上杉鷹山のこちら
為せば成る為さねば成らぬ何ごとも
成らぬは人の為さぬなりけり

(やればできるよ!という応援歌ですね^^)


次も同著『道歌から知る美しい生き方』
私はこの本で出合ったこの和歌が好きです。
われ人に恵みしことは忘れても
人の恵みは永く忘るな

(私の大好きな言葉「かけた情けは水に流し 受けた恩は石に刻め」と同じです☆)


3つ目は岡本彰夫著『道歌入門』
これに載っていました故・田中角栄が色紙に好んで書いたと言われている道歌が印象的でした。
末つひに海となるべき山水も
しばし木の葉の下くぐるなり

(隠れた苦労が身を結ぶという意味です。泥臭い努力をされたんだろうなぁと感じます)

続いて、鹿児島旅行をした際に、
公園の石碑に何十首も書いてあった「日新公いろは歌」について。

髙城書房編『日新公いろは歌』
戦国武将の島津忠良が作り、薩摩藩の「郷中教育」の基本精神となったものです。
いにしへの道を聞きても唱えへても
わが行いにせずばかひなし

(立派な教えを聞いても、自分の行動に反映させないと意味が無いという意味です。本当にその通りですね!)

ちなみに、私が以前書いていました「和歌ブログ」もオススメです。
ゆる~い雰囲気で書いているので、ご笑覧ください♪

東大足切りライン発表!!意外な結末。文Ⅲ最高水準の高さ、理Ⅰと理Ⅱで逆転現象!

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東大の足切りラインが発表された!!

東大の足切りラインを最も正確に予想する方法をもとに、毎日足切り状況の速報をアップしています。出願者数は東大のHPのこのページで、毎日更新されています。★

 

ついに足切りラインが発表!!

ちょっと意外な結末になりました。まずは、点数を見てみましょう。

 

文系では文Ⅰが最低に

最終局面で、文Ⅰに出願が殺到しましたが、結局文Ⅰは例年通り、足切りが低い結果になりました。
2012年と同じで、センターの平均点が高く、文Ⅰの足切りが上がるかという予想もありましたが、そうはならず。
 

文Ⅲが過去最高水準へ

そして、文Ⅲが過去10年で最高水準の高さでした。
文Ⅱと文Ⅲで出願を迷った人は、文Ⅱが正解という結果に。
僕も、文Ⅲでここまで高くなるとは思いませんでしたので、びっくりしました。
何度も書いていますが、文Ⅲだけは、出願数と足切りラインの相関が低いという、謎の科類なので、今年もその傾向が踏襲されました。

 

理Ⅰと理Ⅱで逆転現象!

また、びっくりしたのが、理Ⅰと理Ⅱで逆転現象!
例年、合格最低点も足切りラインも理Ⅰが高く、理Ⅱが低いのですが、今年は足切りで逆転しました。しかも20点以上。
これは驚き。
理Ⅰと理Ⅱで迷った人は理Ⅰが正解だったという、予想しづらい結末に。
 
 

各科類の予想の比較

では、足切り予想比較をしてみましょう。
予備校の予想は、出願前に発表されたもの。
私の予想は、受験生の志望のデータなどは一切考慮せず、出願数の過去データと今年の速報を比較しただけのものです。
 
文Ⅲは完全に予備校の予想が正確でしたね。さっきも書きましたが、なぜ文Ⅲだけ出願数と相関が低いのでしょう。
 
他の科類で言うと、文Ⅰと理Ⅲは最も高く予想、文Ⅱと理Ⅰは最も低く予想したという点で、多かれ少なかれ意味のある予想だったのではないでしょうか。
理Ⅱは駿台がピタリ賞ですが、僕も他予備校もほとんど同じ予想でした。
 

まとめ

足切り突破できた受験生、おめでとうございます。
多忙でして、中々ブログが更新できないのですが、最後まで東大受験生の応援をしています。
来年度の塾生の募集も行っておりますので、ご興味を持って下さった方、よろしければ塾生募集ページだけでもご覧ください。。

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皆さんが、本番で実力を発揮できますよう。
 
 

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1997年 東大数学 文系文系第1問(強化帰納法、3項間漸化式、対称式)

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1997年 東大数学 文系第1問

さて、数学の解説記事の復活です。整数問題の克服をさせていきましょう。

まずは問題からです。

 

 

これまで2回分、東大の整数問題を解説書きましたが、その2問は基本中の基本。

今回の問題からは、東大らしい整数問題を連続して扱います。

ちょっと古いですが、まずはこれをおさえると良いでしょう。

では、解説スタートです。

 

有名事実の証明問題!

さてこの問題、有名事実の証明をする問題です。
物理なんかでは、公式の証明自体が入試問題になることがありますが(典型的なのは、気体の分子運動論など)数学では、少し珍しいですね。
この問題に関しては、証明の過程まで含めて覚えてしまうのが良いでしょう。
では、具体的に流れを見ていきます。

 

問題の流れが、強化帰納法になっている。

これはどういう問題かというと、
a^n+b^nに対して、
n=2の時と、n=3の時に4の倍数となれば、あらゆるnで4の倍数となることを証明する問題です。
 
実は、n=2からスタートではなくて、n=1からスタートしても成立します。
つまり、

「n=1の時と、n=2の時に4の倍数となれば、あらゆるnで4の倍数となる」

というのが有名事実です。
 
この赤字の部分が有名事実なわけですが、よく読むとまさに「強化帰納法」そのものになっていることがわかりませんでしょうか?
 
数学的帰納法は、
n=1の時の成立を示すと、あらゆるnに対して成立することを証明する方法ですが、
これの発展版として、強化帰納法があります。
 
そして、帰納法でも、強化帰納法でも、証明するときによく使うのが「漸化式」です。
では、a^+b^nに関する漸化式はどうなるでしょう?
 

漸化式を作ってみよう

作り方は簡単です。
a^n+b^nに対して、基本対称式であるa+bとabを利用して、少し次数を下げながら等式をつくります。
 
ここで、登場するのが、n-1乗の部分と、nー2乗の部分です。
つまり、n乗と、nー1乗と、n-2乗の3つの部分の関係式(3項間漸化式)が登場するということです。
 
3項間漸化式に対して使う漸化式は、普通の帰納法ではなくて、強化帰納法です。ということで、a+bとabの値が欲しくなります。
 
それが、(1)の問題です。
つまり(1)は、(2)で強化帰納法を使う際に出てくる漸化式を作るために必要な値を求めさせる、誘導問題だということなのです。

 

(1)対称式から基本対称式を求めよう

では、(1)を見てみましょう。
普通の対称式の問題より、少し計算が面倒なだけで、本質はただの連立方程式の問題です。
a^2+b^2と、a^3+b^3の両方を、基本対称式で表し、加減法や代入法で一つずつ求めるだけですね。
これに関しては、あとで手書きの解答を見てください。

 

(2)漸化式を使えば、非常に簡単

そして(2)ですが、強化帰納法に、求めた値と漸化式を代入すれば、難しいところが全くありません。
「4の倍数と4の倍数を足したら、4の倍数になる」という、至極当たり前な事実を、わざわざ帰納法の中で示しているにすぎません。
 
ということで、手書きの解答をご覧くださいませ。
 
 

まとめ

今日は、次回以降の導入編
強化帰納法や、3項間漸化式を自分で作る技術などが、東大では非常に大事で頻出です。
よく復習してから、次回以降の問題をごらんくださいませ。

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全科類で足切り発生確定!文Ⅰに出願が殺到!東大の足切り状況速報2019年10日目

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東大の足切り速報2019年受験10日目

東大の足切りラインを最も正確に予想する方法をもとに、毎日足切り状況の速報をアップしています。出願者数は東大のHPのこのページで、毎日更新されています。★

 

ついに締め切り日。

ということで、今日の数字でほとんど出そろいました。

一応、集計に漏れた願書の分があるようで、明日にもちょっとだけ増えますが。

 

 

さあ、今日の速報値は!?

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

10日目の状況:理Ⅲ以外で足切り発生確定!

最終日、文系は文Ⅰに集中したようです。
確かに、予備校の予想では文Ⅰが低かったですし、例年も低い値です。殺到するのも無理はないかもしれません。
理系は理Ⅰも理Ⅱも同数くらいの出願がありました。確かに読みづらいところだったので、納得の結果かもしれません。
昨日の時点で、足切りが発生しない可能性のあった、文Ⅲと理Ⅰ、理Ⅲでも、足切りを超える願書が届いたようなので、足切りが発生します。

文Ⅰの状況

昨日から今日で、一番出願が増えた科類。
勢いが気になるところですが、過去のデータを見る限りやはり700点まで到達しない可能性が高い出願数と言えるのではないでしょうか?
センターの平均点が高かった2012年と同じように、足切りラインが高くなるのではないかと噂されていたようですが、そこまでの数字にはなりませんでした。

文Ⅱの状況

昨日から今日で100通弱の伸び。それほど出願は増えませんでした。文Ⅰに流れたせいでしょう。
しかし、ほとんど同数だった2011年は738点ですが、2018年は703点にとどまっています。
読みづらいですが、2011年はここ10年でもとびぬけて高い数字になったため、異常値とみるならば、せいぜい700~720点くらいに収まるのではないでしょうか。

文Ⅲの状況

例年、足切りが最も高くなる文Ⅲ。今年は予備校の予想が高かったため、願書の伸びが緩やかになり、低めの水準で落ち着きました。
ほとんど同数だった、2014年は657点と低い時もあれば、2011年は742点。かなりブレています。
そうなのです、実は文Ⅲは願書数と足切りラインの相関が、以上に低い科類なのです。

参考:東大の足切りラインと、出願数の相関係数を求めてみた

上記の通り、予想が非常に難しいので、勘にすぎませんが、720点前後になるような気がします。

理Ⅰの状況

最大の定員、最大の選抜人数を誇る理Ⅰですが、昨日から136件しか増えていません。これは文1よりも少ない数です。
もうほとんどの生徒が出願を済ませてしまっていたとみるか、東大を避けて他の大学に流れたとみるかはわかりません。
理Ⅱも150件程度した増えていないことを踏まえると、理Ⅱに流れたわけでもなさそうです。

過去データからの予想は、700~720点ほどでしょうか。

理Ⅱの状況

最終的には、高くも低くもない数字に落ち着きました。
近い数字としては、2011年の708点、2015年の708点、2017年の701点ですので、予想としても700~710点となります。
理Ⅰか理Ⅱか、迷っていた生徒もそれほど多数ではなく、均等に分散された印象です。

理Ⅲの状況

最も足切りから遠かった理Ⅲでも足切りが発生。しかし過去最低の数字でもあります。
ただし、予想としてはかなり低め。過去のデータから言えば、600点を切ってもおかしくないでしょう。

まとめ

今日でほとんど数字が固まりましたので、あとは結果を待つのみ。
今年も非常に多くの方にご覧いただいたようで、大変ありがとうございました。
これから東大の試験日までは、数学の入試の解説記事をアップしていこうとおもいます。直前期で、非常に忙しいのですが、1本でも多く配信できるよう頑張ります。
また、来年度の塾生の募集も行っております。
ご興味を持って下さった方、こちらが塾生募集ページですので、見るだけでもどうぞおねがいします。

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皆さんが、本番で実力を発揮できますよう。
(あ、でも、明日も最終の数字の記事、アップしますよ。)
※はじめ、理Ⅲの倍率に入力ミスがあり、正しくない内容で記事を配信してしまいました。すみませんでした。

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文Ⅲと理Ⅰが足切り低くなる展開に!! 東大の足切り状況速報2019年9日目

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東大の足切り速報2019年受験8日目

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ついに、締め切り前日の数字が発表になりました。

この後に出願する人はかなり少数でしょうから、もう数字が伸びることはないでしょう。

 

さあ、今日の速報値は!?

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

9日目の状況:出願数の伸びが少ない!

今日のニュースとしては、足切りが発生確定した科類があるということですね。
具体的には、文Ⅰ、文Ⅱ、理Ⅱで、足切りが発生することが確定しました。(定員)×(倍率)の数字を超えたということです。
残りの、文Ⅲ、理Ⅰはギリギリ足切りが発生しない点数で、理Ⅲはまだまだ余裕がある状態です。
 
具体的に、一つずつ見ていきましょう。

文Ⅰの状況

文Ⅰですが、今日になり数字が急激に伸びました。ここ6年で最も多い出願数です。
2011年と2012年は、もっと高かったのですが、多すぎた異常値だとみなせば、過去最高水準だといえます。
文Ⅱや文Ⅲから流れてきた人も多いのでしょうね。足切りを気にしているのかもしれません。
過去のデータからいくと、650~700点の間に収まりそうです。(文Ⅰはいつも出願が少なくて、予想が難しいのです)
 

文Ⅱの状況

昨日から今日で、急増しました。文Ⅲの足切り予想が高く、過去の数値も高いため、文Ⅱに流れた人も多いのでしょう。
しかし、文Ⅰに流れた人も多いでしょうから、この流れがどう影響を与えるか、予想が難しいところ。
過去のデータからいくと、700~710に収まるような数値です。
今から郵便局に駆け込むなら、文Ⅲの方が安全でしょう。
 

文Ⅲの状況

文Ⅲは最後の伸びがいまいちでした。思ったより数字が伸びなかった印象です。
まだ足切り発生が確実でもないですし、過去の流れとは違う印象です。
もしこのまま伸びが遅ければ、700点未満になるかもしれません。
 

理Ⅰの状況

昨日に引き続き、過去最低水準の推移です。足切りが574点という極めて低かった2013年より少し多いだけの状態。
2017年とほぼ同じ数字ですが、この年は660点ですから、同じくらいに収まるかもしれません。
このままいくと660~700点になりそうだと、過去のデータから見えてきます。

理Ⅱの状況

例年とほぼ同じくらいの推移です。
元々は多めの推移でしたが、まあまあな数字まで回復してきました。
理Ⅰが少ないため、理Ⅱに流れたと思いきや、理Ⅱもそれほど多いわけではないので、出願を避けた人が多いのか!?
現時点では、過去データから700点~710くらいの気がします。
今から郵便局に駆け込むなら、理Ⅰの方が安全でしょう。
 

理Ⅲの状況

相変わらず過去最低の数字を記録し続けています。
足切りナシの可能性がかなり高く、発生したとしてもかなり低い数字になるのではないでしょうか。
予備校の予想から大きくずれそうです。
 
 
さあ、これで数字がそろいました。
文科、理科ともに東大への出願数が少ないため、足切りラインが全体的に下がりそうな傾向です。
さあ、どうなるのか!?
明日も速報ブログ書きますので、お楽しみに。
 

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安全に出願するなら、文Ⅰと理Ⅰか!? 東大の足切り状況速報2019年8日目

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東大の足切り速報2019年受験8日目

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さあ、ついに東大の足切りにおいて、もっとも重要な数字が発表されました。

今日は、土日月の3日分の願書が集計され、明後日が締め切りという、ギリギリ待てる日。

まだ出願をためらっている人も、今日の数字で決めるのがほとんどでしょう。

 

さあ、今日の速報値は!?

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

8日目の状況:出願数の伸びが少ない!

開始時には、過去最高水準で出願数が伸びていましたが、徐々に勢いが弱まり、今日の数字ではむしろ少な目の数字になった科類が多いような気がします。
どの科類もあまり差はないのですが、やはり当初の予測と同じで、
「足切りを超えるだけなら文Ⅰが安全」だと思います。
 
理系に関して言えば、なんと理Ⅰで過去最低程の数字を記録しました!
これはびっくり!
では理Ⅱに流れているかと言えば、理Ⅱもそれほど高い数字ではありません。
つまり、根本的な出願数が少ないということ。
 
理Ⅰはまだ足切り発生まで300通以上の余裕がありますから、足切りナシの可能性も出てきました。
最も足切りが低くなりそうなのは理Ⅲですが、理Ⅲは特殊なので理Ⅰと理Ⅱの比較をするなら、理Ⅰが安全な可能性が高そうな気がします。(ほとんど勘に近いのですが)
 
私のブログで、出願を考えている人もいらっしゃるようですが、私は予言者でもなければ、東大関係者でもありませんから、当てにしすぎないように。
僕の予想が当たらなくても責任は取れません。必ず自分の責任において出願するようにしてください。
 
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週明けが山場!東大の足切り状況速報2019年5日目

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東大の足切り速報2019年受験5日目

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では、今日の速報値を見てみましょう。

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

5日目の状況:少し勢い弱まる

今年の出願は全科類で過去最高の高水準だと言い続けていましたが、少しだけその傾向が弱まったように思います。がまだまだ高い水準であることには変わりありません。
文Ⅰと文Ⅱでかなり高いままですが、文Ⅲは少し増加数が落ち着いたような気が。
理系は昨日と大きな傾向の変化なし。強いて言えば、理Ⅰより理Ⅱで少し出願数が緩やかになったともいえるでしょう。理Ⅲはとても少ないまま。
しかし、まだまだ分かりません。
特に、「文Ⅲが減ってるから文Ⅲにしよう」「理Ⅱが減ってるから理Ⅱにしよう」と思っている方は、要注意!
なぜなら、今年の東大の出願数の最大重要局面は、週明けの2月4日だからです。
東大は土日の営業を停止するため、次の速報が月曜日。
すると数日分の出願が一気に月曜日に集計されるので、一気に数値が跳ね上がるのです。
そして、週が明けるとあと3日で出願締め切り。ギリギリに出願する人は多いようで意外と少ないため、大きな傾向の変化は起こらないのが普通なのですが、
今年は違います。
2度目の大安が、週明けの2月4日にあります。
もしかすると、2月4日に出願して、2月5日に集計される数が跳ね上がる可能性も十分にあるからです。
ということで、警戒態勢は以前続けるのが善。
どうなることか。

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足切り高くなる傾向続く。警戒しよう。東大の足切り状況速報2019年4日目

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東大の足切り速報2019年受験4日目

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さて、今日の速報値を見てみましょう。

 

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

4日目の状況:足切り高くなる傾向続く

昨日は僕のブログでは珍しく、「足切りが高くなるかもしれない」と警戒信号を出しましたが、今日もその傾向は続いています。
昨日と同じで、文系では過去最高水準の出願数が並んでいますし、勢いが止まっていません。
文Ⅰは700点超えの可能性が十分にあるし、740点未満の文Ⅲ出願予定者は危険信号。特に文Ⅱは、738点を記録した2011年よりもかなり多い出願数です。
ちなみに、足切りラインが高くなるということは、合格最低点も高くなるということです。(単純に出願が多いので、当たり前。)
足切りを超えているから関係ないという話ではありません。お気を付けください。
そして、理系も昨日と同じで、理Ⅰと理Ⅱで多めの出願。
逆に理Ⅲは出願が非常に少ないですね。一番足切りが低くなる理Ⅲの中でも、かなり少ない方です。
理Ⅰ、理Ⅱともに、730点くらいまでは怪しいですが、理Ⅲは低めになりそうな予感。

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注意!!足切りラインが高くなる!?東大の足切り状況速報2019年3日目

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さて、今日の速報値を見てみましょう。

 

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

2日目の状況:警戒!!足切りラインが高くなりそうか?

昨日が大安だったため、今日の数値が重要と書いてきましたが、やはり高水準の数値が並びました。
 
文系は、文Ⅰ、文Ⅱ、文Ⅲともに、過去最高水準の出願数です。
今年は予備校の足切り予想が高かったのですが、それを超えるかもしれません。
740点未満の文Ⅲ出願予定者は、足切り覚悟になる可能性が、高まってきました。
お気を付けください。
 
そして、理系も荒れています。
理Ⅰ、理Ⅱは過去最高水準に出願が多く、逆に理Ⅲはかなり少なくなりました。
理Ⅲは予備校の足切り予想が例年より高かったため、少し理Ⅰや理Ⅱに流れてるかもしれませんが、それでは説明付かないくらいに理Ⅰと理Ⅱが多い。
理Ⅰ、理Ⅱともに、730点くらいまでは警戒すべきではないかと思います。
 
まだどうなるかわかりませんが、今日の速報でかなり動いたとみてよいでしょう。
 
 

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今日の17時に2日目の情報が公開されました。さっそく見てみましょう。

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

2日目の状況:出願数は少な目だが警戒必要

文Ⅰ~理Ⅲともに、出願数は全体的に少なめ。
今の時点で予想するなら、「全体的に足切りが低め」となるでしょうが、果たしてそうでしょうか。
大安が今日だったので、出願をとどまっただけかもしれませんから、明日の数値に注目。
まだ出願まで時間があるので、様子を見るのが良いでしょう。
さすがに、まだ足切りラインを予想する段階ではないので、ステイ。
足切りラインまで予想したい人は、8日目を待ちましょう。

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さあさあ、ついに国公立大学の出願が始まりましたね。・

昨日、とある事情で更新出来なかったので、一日遅れましたが昨日の分です。

 

 

過去のデータとまとめるとこちら。

 

 

初日の状況

初日だけでは、はっきり言って何もわかりませんが、一つ言えるのは、過去のデータと比べて特にとびぬけた数値はないということ。

 

今日が大安の日だったので、明日の数値が高くなるでしょうから、明日からが面白い。

今日の17時にも、情報が更新されるでしょうから、早ければ今夜追加の情報をアップします。

ではまた。

 

 

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2005年 東大数学 文系第2問(割り切れる=倍数、互いに素の条件)

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2005年 東大数学 文系第2問

昨日のスタンダードな整数問題に続いて、今日も割とスタンダードな問題をどうぞ。

 

 

 

さてさて、キーワードが満載。

これをどう見る!?

 

「割り切れる」条件は、割り切れる=倍数

まず、「割り切れる」条件を言い換えることからです。

 

「割り切れる」と言われるとき、私がまず思いつくのが「〇〇の倍数」と言い換えること。

今回は10000で割り切れる条件なので、10000の倍数と言い換えます。

すると、a^2-a=10000k(kは整数)と表現できます。

これで等式ができました。

 

連続2整数は互いに素

さて、(積)=(整数)の形が作れたので、次は因数分解をして候補の絞り込みをします。

 

左辺を因数分解し、右辺を素因数分解すると

a(aー1)=2^4×5×4 (※)

となります。

 

ここで大切なのが「連続2整数は互いに素」だという事実です。xとx+1など、連続する2整数は必ず互いに素になるのです。

これは、超有名事実。知らなければならない常識です。

 

証明はこちら

 

 

これを利用すると、aとaー1が互いに素だと分かります。

また、aは奇数という条件があり、右辺の10000の素因数が2と5だけなので、

 

a=5^4の倍数 ⇔5^4c

aー1=2^4の倍数 ⇔2^4d

 

と表せます。

 

これを、(※)の式に代入すると、1次の不定方程式が出てきます。

 

不定方程式の解法

さて、不定方程式が登場しましたが、今回は教科書に登場するようなユークリッドの互除法が利用できるパターンの式。

(わからない人は、教科書を参照のこと。必ず載っています)

ということで、満たす整数解を一つ見つけて、一般解を求める流れになります。

 

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回の問題は、

「割り切れる条件」を倍数表現に直せるか

互いに素の条件を使いこなせるか

の2点にありました。

 

これさえ使えれば得点が取れるのですが、決してハードルの高い問題ではありません。むしろ基本知識として覚えるもののはず。

 

整数問題は難しいイメージがあるかもしれませんが、実は使うのは基本的な知識ということがよくある。

知識不足を感じた人は、今から学びなおすのをおススメします。

 

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2006年 東大数学 文系第3問(整数、3文字の3乗の和、存在証明)

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2006年 東大数学 文系第3問

昨日も書いたのですが、

「戦意喪失した人には、勝利はつかめない」

「自分の運命を他人に預けようとする人には、勝利はつかめない」

 

勝利は強気とイケる気からやってきます。そして、それは根拠のあるものでなければなりません。

そこで、根拠ある自信をつけてもらうため、今日から東大の整数問題の解説を連続アップします。

 

今日は初回ということで、基本的な問題のこちらをどうぞ。

 

よくあるタイプの整数問題。まずはこれを解けるようにするところからスタートしましょう。

 

整数問題には2つの方針しかない。

では、(1)から見ていきますが、非常に典型的な問題。

x+y+zやxyzを見たら、大小比較から不等式を作り、このように候補を絞り込みます。

 

x+y+zに関して、小さい方と大きい方、

xyzに関して、小さい方と大きい方

というように、4つの不等式を作って、使えるものだけ使えばよいです。

 

問題集の解答には1つしか載ってないかもしれませんが、自分で解く際には4つ全て試してよいでしょう。

 

不等号を作ったら場合分け

さて、不等号ができたら、候補が絞り込めます。

今回は、xy≦3となりますから、(x、y)=(1,1)、(1,2)、(1,3)の3通りしか解がありません。

 

このように、解を有限個の候補に絞り込むことを、日本語で「整数問題を解く」と言います。

 

あとは場合分けして、一つずつ調べていけばOK。

教科書や問題集の例題のような問題でした。

3文字の3乗の和

さて、(2)に行きましょう。

次数が3に上がり、解が存在しないことの証明をします。

 

ここで注目したいのは、3文字の3乗の和です。

大学受験において、3文字の3乗の和が登場したら、いつもこれ!という式変形があります。

これです。

数学では頻出ですから、この式に関連した知識を必ず頭に入れましょう。

 

3文字の3乗の和を利用した解法

では、この式を利用した解法をご覧ください。

 

この解法のポイントは、何度も書きますが、知識があるかどうかでしょう。

しかも、赤枠の中の変形は、閃きでは絶対に思いつけない変形でしょうから、やはり覚えておかなければなりません。

では、他の解法に行きましょう。

 

別解:相加相乗平均の利用(3文字)

ほとんど同じですが、別解として相加相乗平均の利用をする解法があります。

これも、知識を覚えていれば使いこなせる解法です。

「数学は暗記だ」

「いや、数学は暗記ではない」

という論争がありますが、暗記って大事ですねぇ。

文系受験者でも、暗記で点数が取れるという、好例です。

 

別解:(1)と同様の変形

では、おまけの別解を載せましょう。

(1)と同様に変形すると解けます。

 

(1)と違って、x≦y≦zの不等号がありませんが、

画像のように「一般性を失わない」と但し書きを描けば、大小を決めてOK。

これでも解けますね。

 

では、全体の手書きの画像をどうぞ

まとめ

(1)は基本に忠実に式変形するだけ。

(2)は「これを見たらいつもこれ」という知識を使うだけ。

 

どちらも簡単に思えるようにしましょう。

整数問題の初日としては、良いですね。では、また明日。

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不安に襲われている受験生へ告ぐ

本ブログもたくさんの人に読んでもらっているようで、悩み相談のお問合せがたくさん来ています。

「〇〇点なんですが、足切り大丈夫ですか?

「〇〇点から、逆転合格できますか?」

 

はっきり言おう。そんなの分からない。

自分の点数は事実に過ぎない。

低い点数でも「逆転できない」と思うか、「十分逆転できる」と思うかは、人それぞれであり、主観なのだ。

 

そこで、受験生に次ぐ。

下記の幣塾の教えを読み、あと1カ月の使い方を考えよ。

「戦意喪失した者に、勝利はつかめない。」

「自分の運命を他人に預けようとする者に、勝利はつかめない」

 

 

整数分野の解説を連続アップします

さて、勝つ気十分な受験生を合格に導くため、このブログでも応援企画を開始します。

去年末には、東大で頻出の確率の解説記事を連続アップしましたが、これからは整数の問題について、連続アップします。

 

確率と整数は、東大で必ず出るといわれており、非常に対策しやすい分野でもあります。

直前からでも、十分にレベルアップが見込めるため、数学に悩むあなたも、逆転のきっかけにできるはず。

 

もう一度言っておこう。

「戦意喪失した者に、勝利はつかめない。」

「自分の運命を他人に預けようとする者に、勝利はつかめない」

 

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東大の足切りライン、予備校の予想が出た!

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東大の足切りラインの予備校予想が出た!

連日騒いでいる、東大の足切りラインですが、予備校の予想が出ましたね。

東進のものも出たようなんですが、まだ確認してないので、河合と駿台だけ。

 

さて、これをどう見るかなのですが、とりあえず昨日も貼った過去データ10年分を見ながら、コメントしてみましょう。

 

東大文系の足切り予想

文系はこちら

文Ⅰは過去データよりも少し高い予想。とは言っても、600点程度なので事実上は足切りナシとみなしてよいでしょう。

 

文Ⅱ

過去データよりも高めの予想。700点を超える予想なので、足切りに引っかかる人は出るでしょう。

 

文Ⅲ

注意!

過去10年のデータの最大値を超える予想が出ています!

河合も駿台も740点を超える予想です。これは、かなり多くの人が文Ⅲに流れましたね。文Ⅰを逃げて文Ⅲに出願予想した人が、多いのでは!?

足切りを避けたければ、文Ⅰ受験の方が安心なのですが、果たして・・・?

 

 

東大理系の足切り予想

理系はこちら

理Ⅰ

概ね例年並みか、やや高めと言える予想ですね。理Ⅰは募集人数が多いため、毎年安定しやすいと思います。

 

理Ⅱ

こちらも例年並みかやや高めくらい。理Ⅰより少し低めというところまで、そっくり。

 

理Ⅲ

注意!

ここ例年より、かなり高めの予想が出ています。これは注意。理Ⅰや理Ⅱよりも足切りが高くなるのは、ここ10年で見られない現象です。

もしかしたら、足切り付近の理Ⅲ受験生が理Ⅰや理Ⅱに流れるかも!?

 

 

「足切り大丈夫でしょうか」系の質問に関して

足切り付近の点数を取ってしまった受験生から、たくさんご連絡をいただいています。いつも見て下さり、ありがとうございます。

そして、申し訳ありませんが、「〇〇点なのですが、文□に出願して大丈夫でしょうか?」などの質問には、「はっきりと」お答えできません。僕は予想はできても予言はできないからです。

過去のデータや、今年の傾向から見て、なんとなく、ふわっと、これくらいの点数に

なりそうな「気がする」くらいのことなら言えますけど、責任はとれませんので悪しからず。

ということで、また速報が入り次第、記事を書きますのでお楽しみに。

 

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