イヤイヤ期

ついに、イヤイヤ期に突入した模様です。

「おいでー」「ここよー」とママに支持することが増えて、
「自我が芽生えてきたかな?」と思ったら、
数日でエスカレートしました。

お風呂に入ろう?「ヤダ」
もうお風呂から出よう?「ヤダ」
くらいはまだ可愛いものですが、、、

食事中にギャンギャン泣き出したり、
寝る前なのに「あれ(TV見せて)」と言って30分以上号泣したり、、、

昨夜は夜泣き中にもTVを見たがって、
寝そうになってまた泣いてを繰り返し、
2時間かかりました。

0歳児の時に比べたらマシですが、
また大変な時期がやってきたなぁとビビっています。

あの手この手の対処法を情報収集中です!

・お風呂に入れたい時は、「お母さん電車、出発しまーす!シュッシュ、ポッポ」と言って電車のマネをすると、喜んでついてきてくれます。

・お風呂から出したい時は、「あと10数えたら暗くするね」といってカウントすると出てくれます。それでも出ない時は、お風呂場も脱衣所真っ暗にすると出てくれます。

・日中なら、バナナなどの好きな食べ物をあげたり、ビデオ・動画を見せると機嫌が直ります。

いま困っているのは、寝る前と夜中です。

・以前はYouTubeの「ふかふかかふかのうた」などの「音」を聞かせるだけで泣き止んだのですが、動画を見たがるようになってしまいました。。

・普段使っていないオモチャを出してきて「これで遊ぼう!」と言うと泣き止むことがあります。

・ぬいぐるみをブランコや滑り台で楽しませるフリをすると、泣き止むことがあります。

まだ試していないのは、
・ママの泣きマネ
・寝るまでにやることのイラスト化
・時計で「長い針がここまで来たらおしまい」ルール
・TVのコンセントを抜き、スマホの電源をオフにして「ねんねしたよ」と伝える

他に良い方法をご存知の方、ぜひ教えてください!!

ちなみに自分の心のマネジメントとして、致知出版社の「母」のアンガーマネジメント(怒りのマネジメント)の記事にありました「コーピングマントラ」という、おまじないを唱えることをやっています。
「子どもってそういうもんだよね」「ずっと続くわけじゃない」と言い聞かせています。

けれど、睡眠不足だと、笑顔が減ってしまいます。
朝から主人がいつも通り娘を褒めているのを見て、「あー、今の私には難しいな」と感じました。

娘よ。ごめんね。できる時にたくさん褒めるね。

第二子妊娠のご報告と改めてのお礼

【第二子妊娠のご報告と
皆さまへの改めてのお礼】

こんにちは。
第二子を授かりまして、現在17週目です。
出産予定日は11月13日です。

(大嘗祭が11月14日・15日なので、
大変めでたい時期に産まれる子です♡)
※大嘗祭については、展転社『天皇と国民をつなぐ大嘗祭』という本がオススメです✨

さて、この機会に改めて、皆さまにお礼を申し上げたいなと思いました。

私は元々、子育てでストレスを多く感じるタイプでした。
赤ちゃんが泣いているのを数分でも放置していたらダメなんじゃないかと妙な強迫観念に駆られていました。授乳が上手くいかなかったこともあり、産後1ヶ月で、社会人生活で流した以上の涙を流しました。

寝かしつけも下手で、3〜4時間かかってしまって気分が滅入ることも多々あり、最初の3ヶ月くらいはあまり笑顔でいられなかったと思います。
やっと我が子を「可愛い」と思えるようになったのも、生まれて3ヶ月くらいで「ハンドリガード」するようになってからです。

また、昨年5月に職場復帰してからは、家事育児でてんてこ舞いになって、号泣した日や、涙が止まらない日もありました。

そんな不器用な私が、育児に前向きになり、「第二子を授かりたい」とまで思えるようになったのは、多くの皆さまのおかげです!!

まず幸呼の写真や動画を見て、あるいは会った時に「可愛い」と言ってくださる皆さま。
そう言っていただけると、
ものすごく癒されます!!
「やっぱりうちの子可愛いんだな」と、我が子への愛情が増して、どんどん親バカになれました(笑)。

そして、育児のアドバイスをくださるママ友の皆さま。
授乳で困った時、娘の乳・魚アレルギーで悩んだ時に、相談できる先輩ママさんがいらっしゃることは本当に頼もしく有り難く感じています。
(その恩返しに、後輩ママさんが何か悩んだら、力になって差し上げたいです!)

また、産後に「私の人生終わった」という気持ちから、「できる方向から考える!」ように気持ちを切り替えることができたのは、『致知』とその若獅子会・(ママ木鶏会改め)母木鶏会のおかげです。
人間学を学ぶ月刊誌『致知』の感想文を書く時間が、前向きに考える良い機会になりました。
※前向きな思考のベースは、キャリアコンサルティング様で学んだ「しがく式」による影響も多大です!

「私は歴史などの勉強会の参加が大好きなのに、産後はアレも、コレも、参加できなくなった」と落ち込んでいました。けれど、「いや?事務局にお願いしたら、案外子連れでも参加させてもらえるかも?」と前向きに考えるようになれました。
実際に子連れ参加の許可をくださり、あたたかく迎え入れて下さっている皆さま、本当にありがとうございます!!

娘と2人っきりの電車の移動距離を片道10分→20分→40分→1時間と伸ばせていけたのも、『致知』の木鶏会で身につけた前向きさのおかげです。
最高記録は松阪市への日帰り旅行。合計7時間以上の電車を、当時1歳4ヶ月の娘と2人っきりで過ごせたのは、私の誇りです。(帰りの東京駅以降は万策尽きて大変でしたが)

また、保育園の先生方にも本当にお世話になっていますし、地域の方々にもお世話になっています。昔、先輩ママである義妹が教えてくれたのですが、「子育てはママ1人がするものではなく、家族や保育園、そして地域の方々にも協力してもらってチームで行うもの」という考え方のおかげで、地域の方にも甘えています。
うちの主人は塾を経営しているため、平日の夜や土日もお仕事です。また両親は福岡と山梨で遠方です。
私が土日に講師をさせていただく際などには、ファミリーサポート制度の有償ボランティアの方に来ていただいています。
塾の卒業生にも、ベビーシッターに来てもらっています。
「時間をもらえる」だけではなく、「成長したねぇ」と可愛がってもらえていることも、喜びの1つです。

会社の職場の皆さんにも、時短勤務で働かせていただき、休みも多くいただいていて、有り難いと思っています。

両家の実家の皆さんは、洋服やオモチャをくれたり、「みてね」のアプリにアップロードした写真や動画にコメントをくれて、有り難いです。

そして一番お礼を言わなければならないのは主人ですね。
「ただしい育児」ではなく「たのしい育児」をしようと前向きになれたのは、何事も楽しむことが得意な主人の影響です。
また、幸呼を笑わせることも得意で、いろんなアイデアにいつも感心しています。
いつも本当にありがとう。

最後に幸呼。不器用なママ。そしていろんなことに挑戦したがって出かけることが多いママの元、こんなにすくすくと育ってくれてありがとう。
幸呼が幸せそうに生きている姿を見ていて、私は第二子も育てられるだろうという自信が湧いてきました。

次の子が生まれたら、寂しい思いをさせてしまう瞬間もあるだろうから、いっぱいいっぱい愛情を伝え続けていくね。

(お絵描きブームの幸呼画伯)

【スタディサプリの日本史講師、伊藤賀一先生のネット番組「ニュースの”なぜ”は日本史に学べ」に出演しました!

夢が叶いました。
昨夜、憧れの伊藤賀一先生にお会いしました。
伊藤賀一先生と言えば、スタディサプリの日本史講師。
日本一生徒数の多い社会科講師としても有名です。

しかし、僕にとってはそれ以上の意味があります。なぜなら、東大文系合格をしたときに、伊藤先生の動画を見て日本史を勉強していたからです。
画面の向こうで、百時間以上は軽く超えるくらい、ずっと勉強させて頂いてた先生と、お会いできるだけでなく、番組に出演させてもらえるとは。
感無量でした。

生放送でしたが、こちらからアーカイブが見られます。

「【スタディサプリの日本史講師、伊藤賀一先生のネット番組「ニュースの”なぜ”は日本史に学べ」に出演しました!」の続きを読む…

「かわいい」と「じょうず」

「かわいい」と「じょうず」

先日、保育園にお迎えに行ったら、1歳9ヶ月の娘が鏡に向かって走っていき、鏡に映った自分を見て「かわいい」と連呼しました。

保育士さんも私も大爆笑!

でも内心、「ナルシストだあ。このままで大丈夫かな」と、少し心配になりました。

ただ、しばらくして気づきました。

1年以上前から、主人と私が娘に鏡を見せて、「可愛い子いるよ!可愛いね」と言っていました。何度も。。。
原因は自分たちでした。。

また、娘はパズルをしながらよく、「じょうず」と言って自分にパチパチと拍手をしています。

「自己肯定感が高くていいなぁ」と思ってみていたのですが、これも同じですね。

主人と私が「上手!」と褒めていたから、真似してるんですね。

「かわいい」も「じょうず」も、そのうち「自分には言わないんだよ」と教えた方がいいのかなと思いつつ、、、そのままにしています。

すると!娘が私の頭にハンカチを載せて、「かわいい!」と言ってくれました♫

また、私がお気に入りの服を着て、「可愛い?」と聞くと、「かわいい!」と言ってくれます♫
(言わせちゃってます笑)

また、主人が(娘が散らかしたパズルを片付けようと)パズルをはめていると、娘が「じょうず!」と褒めてくれました♫

うちの娘は人を褒める才能があるのかも^ ^

人を幸せにすれば、人に好かれる子になるから、この才能を伸ばしたいな♫

これからも娘に対して、「かわいい」と「じょうず」を言い続けようと思います♡

(写真は今年の5月と昨年の5月です☆ だいぶシュッとして80サイズの服がピチピチになりました)

子供を暴走族にする方法

子供を暴走族にする方法

先日、会社のユニオンの企画で、福島正伸先生のお話を聴かせてもらいました。

福島先生は超ポジティブな方で、仕事のやる気をモリモリあげてくださる方です。

さて、その先生が仰っていたのが、
「子供を暴走族にする方法」!

「とってもカンタンですよ♫」と仰っていました。

どうすれば良いかというと、
仕事から帰ってきた後に、子供の前で、
「疲れたぁ」「しんどい」「仕事嫌だ」などのネガティブな言葉を吐きます。
そして、子供に向かって「勉強しなさい!」と注意します。

するとカンタン。
子供は「勉強したって、つらい社会人になるだけだ」と思って、勉強しなくなり、非行に走るそうです。

…(実際に非行に走らないとしても、)上記の家族の会話、あちこちでされてそうですね^^;

では逆に、子供が勉強したくなるのはどんな会話かと言うと、
「今日も仕事、楽しかったぁ!今日はこんな風に、人を笑顔に(幸せに)することができたんだよ♫」と楽しそうに語って、ボソッと「学生時代に勉強しといて良かったなぁ」と呟く。
そうすると、子どもは自ら勉強したくなるそうです☆

社会人になることを、
ワクワクと期待するでしょうね♫

以前、「てっぺん」という朝礼研修で有名な居酒屋さんの社長さんも仰っていたのですが、子どもの前で「疲れた」は言わない方がいいそうです。

もし言いそうになったら、「充実した」「頑張った」に言い換えましょうって仰っていました☆

子どものためにも、前向きにお仕事に取り組みたいです♫

(写真は20ピースのパズルを完成させて、ウッキッキーとお猿さんの真似をする娘)

2019年 東大数学 理系第6問(2) (解と係数の関係、複素数平面の3方針)

◆東大合格塾「敬天塾」◆

1期生合格率100%、塾生の約45%が東大に進学する塾 

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2019年 東大数学 理系第6問(2)

昨日の(1)の解説に引き続き、(2)に行きましょう

解と係数の関係を使おう!

(2)は、bとaの関係式を求める問題。
これは、解法の方針が立てやすいかと思います。
なぜなら、
・(1)で4つの解の情報が絞り込めている(実数解2つ、共役な虚数解2つ)
・aやbは、4次方程式の係数
ということから、解と係数の関係を使うというのは、発想としては自然。
早速、解と係数の関係を立式してみましょう
 

教科書の範囲外のことは、証明が必要なのか?

しかし、ここで問題が一つ。
4次の解と係数の関係の式って、そもそもご存じでしょうか?恐らくほとんどの受験生が、立式したことがないのでは?
 
よく受験数学界では、
「教科書に載っていないものは、証明なしで使ってはならない」
と言われていますが、これ、出典はどこの誰からなのでしょうか?「ウワサ」以上の説得力を持った説明を聞いたことがないのですが。
「ウワサ」でなければ「常識」でもなんでもよいです。つまり明確に大学側で減点をしているという明確な証拠がないという意味です。
 
そもそも、教科書に載っていないような高度な定理なんかを、証明して答えを導いている模範解答すら、見たことがないのですが。マボロシ~。
 
例えば、こちらのYahoo!知恵袋のページを見ても、アンサーは良いことを言っていると思うものの、明確に証拠が出されていません。
 
僕も生徒の頃はどこかの先生にそう習いましたが、そういう「ウワサ」ばかりではっきりとした証拠が見つかりませんでした。
 
では、今回の問題。
4次の解と係数の関係を使いたいのですが、教科書には2次か3次までしか載ってません。
そもそも教科書にもレベルがあって、2次しか載ってない教科書もあれば、3次も載っているものもあります。
載っていたとしても、3次は「研究」とか「発展」の内容として載っているので、必ず学習する内容ではないページに収められているかもしれませんし。
 
「数学は答えが明確に出る」ということを言う人もいますが、いやいや出ません。
グレーなことばかりです。

解と係数の関係を求めよう

いずれにしろ、4次の解と係数の関係を証明すればよいんでしょ?
ということで、証明してみましょう。
 
さて、手元にある、数研出版の教科書では、2次の解と係数の関係の証明が載っています。しかし、「使えない」
なぜかというと、解の公式で実際に解を出して、和と積を求めているからです。
 
これでは、4次方程式の解の公式を知らないと証明できません。
 
確かに、解の公式で導き、和と差をとれば分かりやすいですが、一般的ではありません。普通は、恒等式で証明します。
同じ数研出版の教科書でも、なぜか3次は恒等式で証明してました。(発展内容ですが)
これを応用して4次の解と係数の関係を証明すればよし。これで安心ですね。
(僕の手書きの解答では、超簡単に証明っぽいことを書いておきました。)
 
ちょっと思ったんですけど、「証明せよ派」の方々は、解答欄のスペースについては、どのように言及しているのでしょうか?
東大の解答用紙は、第3問と第6問だけ2倍のスペースが与えられているので、広々と書けるのですが、もしや、証明スペースまで見越して第6問に設置されている!?
 

場合分けと「一般性を失わない」

長々と「解と係数の関係」について書いてしまったので、後半はテンポよくすすみましょう。
(1)で「実数解2つ、共役な虚数解2つ」と証明できたので、これを使います。
そして、条件3を眺めると、
(ⅰ)αとβが実数で、γとδが共役な虚数解
(ⅱ)αとγが実数で、βとδが共役な虚数解
の2通りが考えられます。
 
実際は、他にもパターンがありますが、結局上の2つと同じ条件に集約されてしまうので、上の2つだけでよくなります。このような時に記述で「一般性を失わない」と書くと便利ですね。
 

(ⅰ)はすぐに棄却、(ⅱ)で進める

さて、場合分けしたところで、解答を進めます。
この解答を作る前に、河合塾と東進の解説を読んでみたんですけど、かなり読みにくく、分かりづらい。
答えが分かってる僕でも、読み取るのにストレスを感じるくらいなので、分かりやすくまとめなおしました。
 
(ⅰ)を知れべ手見ると、条件3と照らし合わせて、すぐに棄却されます。
(実数)=(虚数)という、あり得ない等式が出るからです。

複素数の3方針を思い出そう

ということで、(ⅱ)に全ての可能性を込めて解答を進めます。
しかし(ⅰ)のように、すぐに解答が進むわけではありません。試行錯誤して上手くいかない方法をいくつか試すことでしょう。
 
このような場合、思い出すのがコレ。
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
複素数平面の3方針です。
 
今回は、②の直交座標形にするとうまくいきます。(③極形式 が適切でなさそうなのは、何となくお分かりでしょうか?)
 
やはり条件3に代入して進めると、見事、筆が進みそうな等式が出てきます。
これで、場合分けをして解答を進めると、見事答えが導けます。
では、最後までどうぞ。
では、明日は(3)の解説です。長いなぁ。
(これ、実際の入試では解答用紙に書き切れるのか??)
 
 

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2019年 東大数学 理系第6問(1) (第1手をどうするか?。有名事実を覚えよう)

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2019年 東大数学 理系第6問

では、2019年最後の問題
頻出の複素数平面です。
しかし、見たことのない条件がたくさん!これは難しい問題でした。
さて、第1手として、あなたはどうする?

条件や方針の整理

まず、与えられた情報を整理してみましょう。
 
条件1:α、β、γ、δは全て違う複素数
条件2:その4つが解となる、4次方程式
条件3:αβ+γδは純虚数
の3つです。
 
そして、複素数平面では、必ず3通りの方針が存在します。
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
 
これらをもとに、式をいじっていくということですね。
 
そして、証明したことは
「α、β、γ、δのうち2つが実数で、残りの2つは共役な複素数である」
ということ。

第1手の付け方

さて、この問題、何が難しいって、第1手の付け方です。
すぐに正解の方針が思い付いたとしたら、偶然かヒラメキでしょう。あまり類題がない問題です。
 
先ほどまとめた情報の中で、特に情報量が多い、というか厳しい条件は「条件3:αβ+γδは純虚数」でしょう。これを中心に問題を解いていくのでしょうが、純虚数の条件ではイマイチ方針が不明。
 
例えば、純虚数に関する条件としては「共役なもの同士を足して0」というものがありますが、αβ+γδを共役にしたものを作って和を取ったところで、新たな複素数が4つ生まれてしまい、困ってしまいます。
 
こんなことを考えていると、方針が立たなくて時間が刻々と過ぎてしまう。
ということで、あまり長く考えているヒマもないですから、飛ばして別に行っても良い問題だと思います。

とりあえず、共役な解を持つ事実を指摘してみる

大きな方針が立たないということで、まずは必ず使いそうな事実から始めてみましょう。
実数係数の方程式の場合、共役な複素数の両方が解になる」というものです。
 
ちょっとだけ注意しておくと、実数係数に限った話です。複素数係数では成り立たないのでご注意を。

3つの可能性しか残されない

すると、共役な複素数解が2個セットで同時に出てくることになるので、虚数解が1個しかない」とか「虚数解が3個」の可能性はないのです。
これで少しだけ話が進んで
(A)実数解が4つ
(B)実数解が2つと、共役な虚数解が2つ
(C)共役な虚数解のセットが2つ
という3つの場合しか考えられないことになります。
 
この中で、証明したいのは(B)のパターンになることで、必ずこの3つのうちどれかが成立するので、
(A)と(C)の可能性を排除すれば、残った(B)の可能性のみが残されて(1)が解けることになります。
 
と、読んだり聞いたりすれば簡単そうに聞こえますが、ここまで発想するのも結構難しいと思います。
やはり、150分の試験時間の中で、前半で取り掛かる問題ではない気がしますねぇ。
 
では、(1)の解答をどうぞ
 
先ほどの解答の方針に気付いてしまえば、あとはスムーズに筆が進みます。
ポイントは最も厳しい「条件3:αβ+γδは純虚数」から手を付けることでしょう。
もし上手くいかなくても、複素数平面の3つの方針
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
のうち、②や③を利用して解こうとするのも良いでしょう。
 
では、長くなったので(2)と(3)は次の記事へ

◆東大合格塾「敬天塾」◆

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合格者インタビュー④

敬天塾から東大に合格者した生徒へのインタビューです。
ノー編集、ノーカットです。

【合格者情報】
年度:2019年入試
科類:文科三類
出身高校:倉敷天城高校
敬天塾卒業時:現役(遠隔授業参加生)

◆合格してどのように感じますか?
まずはやはりこの1年間の努力が報われたことが純粋に嬉しいです。僕はもともと理系だったのですが、高二の秋から文転したこともあり、文系科目を勉強し直す必要があったので、人一倍勉強してきました。無事合格という結果を得ることが出来て、ひとまずはホッとしています。
◆この一年間はどんな一年でしたか?
二次試験の勉強をしつつ、推薦入試の対策も同時並行で進めてきました。推薦入試が終わってからは正直落ちたなと思い(実際落ちていました)、センターと二次の勉強に集中しました。とはいえ高校では毎日友達と楽しく話したり騒いだりしていたので、直前期までは比較的ストレスもなく過ごせたと思っています。直前期はメンタルがボロボロになっていましたが、なんとか乗り越えて落ち着いて二次試験に臨むことが出来ました。
◆一年前に、敬天塾を選んだ理由は?
1年前に僕が出場したある弁論大会の懇親会で初めて平井先生とお会いしました。その時に先生が文理両方で受かったというのを聞きました。前述の通り僕は文転していたので、理系でも文系でも受かったという先生の成功例は、自分も頑張れば東大に行ける、という自信に繋がり、この先生に教えてもらいたい、と思えました。
◆平井先生から教わったことで印象的だったことは?
「数学で始めの五分はペンを持つな」という言葉です。数学では、解けそうな問題を見るとすぐに解き進めてしまうことがあると思います。ですが、それは思わぬミスにつながることがあります。数学で何よりも大切なのは問題文をじっくり読むこと。そして、示された条件をきちんと整理してどう解いていくかの方針をたてることなのです。先生から教わった言葉通り、僕は模試の度に始めの五分はペンを持たず、問題文を読んで方針をたてるようにしていました。すると、苦手だった数学でもったいない凡ミスをすることが少なくなりました。数学の勉強というと問題を解くことばかりを意識してしまいますが、問題の解き方だけでなく数学の試験にのぞむ上での戦略を教えていただけたのは大きいと思います。
◆ゼミ形式について、どう感じましたか?
僕は遠隔で参加していたので、東京にいる仲間と一緒に勉強を受けているという感覚が新鮮でした。また、ゼミ授業では他の生徒の意見や疑問点を聞くことができ、自分の疑問点を他の生徒と一緒に考えることが出来たので、ただ過去問の解説を読むよりも断然理解が深められたと思います。
◆敬天塾と他の塾の違いは何ですか?
1番の違いはやはり地方からでも遠隔で授業に参加出来るという点です。塾まで行く移動時間も節約出来る上に、自宅で気軽に授業を受けられました。また先生と相談すれば個別に指導を受けることもできます。地方の学生が東大受験のための学習を自分のペースで進めていくのは、他の塾ではなかなか難しいと思います。
◆一年間のモチベーション維持で工夫したことは?
受験期に経験したつらい思いを、逆にやる気に繋げられるようにしていました。例えば、僕が東大に推薦で落とされた時は、「こんな大学に行きたくない」とまで思いましたが、逆に「俺を落としたことを教授に後悔させてやる!!」と考えるようにして、受験勉強に没頭するための原動力に変換しました。これは口で言うのは簡単ですが、実際にやる気に繋げるのはなかなか難しいです。自分の負の感情を、なんとかやる気に変えられないかと常に模索していくことが重要だと思います。
◆合格に最も大切なことは何だと思いますか?
メンタルの強化だと思います。もちろん、勉強を頑張るのは当然ですが、いくら頑張っても本番でその力を発揮出来なければなんの意味もありません。ですので、受験のプレッシャーにも負けない強いメンタルを維持することが不可欠です。僕は決してメンタルが強い方ではありませんでしたが、平井先生の協力やご家族のサポートもあって、なんとか受験本番を乗り越えることが出来ました。
◆新年度の受験生へ一言お願いします。
受験期は、つらいことや気持ちが沈むことがたくさんあり、「もうやめてしまいたい」と思うことがたくさんありました。ですが、いま受験を終えてみて改めて振り返れば、あんなに長く感じた勉強漬けの日々も、一瞬の出来事のように感じます。そして何より、あれだけ頑張ったことが報われて東大に合格できたので、「挑戦して本当によかった」と思えました。この達成感は、大学受験を頑張った人だけが味わえる最高の至福だと思います。皆さんもぜひ、この達成感が味わえるように、この1年全力で頑張ってみてください!応援しています。

歯みがき大好きな赤ちゃん

歯みがき大好きな赤ちゃん

うちの甥っ子ちゃんが歯みがきを嫌がっていて、いつも姉が苦労しているのを見ていました。
なので、うちの子は歯みがき嫌いな子にならないで欲しいなーと思い、いろんな工夫を重ねました。
すると、歯みがき大好きな子になりました☆

子育て中の方の参考になるかもしれないので、工夫したことを記事にまとめてみます。
「歯みがき大好きな赤ちゃん」の続きを読む…

合格者インタビュー③

敬天塾から東大に合格者した生徒へのインタビューです。
ノー編集、ノーカットです。

【合格者情報】
年度:2019年入試
科類:文科三類
出身高校:栄東高校
敬天塾卒業時:1浪(他予備校併用生)

◆合格してどのように感じますか?
とても嬉しいというよりは合格できてよかったという安堵の方が大きいです。一年の努力が報われてほんとにホッとしています。

◆この一年間はどんな一年でしたか?
浪人はもっと辛いものかと想像していましたが、私は予備校にも通っていたので新しい友達もたくさんできて思っていたよりずっと楽しく勉強できました。また支えてくれる家族や応援してくれる友達のありがたみを改めて感じました。

◆一年前に、敬天塾を選んだ理由は?
平井先生のブログを読んでいた母に勧められて敬天塾を知りました。もともと数学がとても苦手だったわけではなく、過去問も解答解説を見れば大抵の問題は理解できるという状態でしたが、どうしても自分の力で解法を発想することができませんでした。敬天塾では問題をみてどのように発想すればよいかに重点を置いた授業を行っていることを知り、敬天塾を選びました。

◆平井先生から教わったことで印象的だったことは?
試験が始まってすぐはペンを持たない!と何度も言われたのがとても印象に残っています。一見簡単に見える問題でもすぐに飛びつかず、全ての問題を俯瞰して、戦略的に解き進めるというやり方は自分の実力を最大限に発揮することに役立ったと思います。またこの方法は地歴など他の科目にも応用することができたので得点アップに繋がりました。

◆敬天塾と他の塾の違いは何ですか?
予備校では問題の解法についての解説が中心でしたが、敬天塾では予習の段階で問題演習、解法の確認を行って授業に臨み、授業では解法の発想の仕方についての解説が中心でした。参考書や過去問を自分で演習するときにはなぜこの解法に至るのかというプロセスを理解することは難しいので、発想法について教えていただけるのは敬天塾ならではだと思いますし、私の数学の実力を上げる大きな要因になったと思います。

◆一年間のモチベーション維持で工夫したことは?
私は東大模試以外にも駿台模試やマーク模試などをたくさん受けていたので、模試を1つの区切りとして、模試で何点取りたいか、その模試までになにを完成させておきたいかを考えて計画的に勉強するようにしていました。模試での目標点を設定すると勉強のモチベーションになりますし、途中で中だるみをすることなく勉強を続けられました。

◆合格に最も大切なことは何だと思いますか?
一度やった問題を何度も復習することだと思います。現役時代は新しい問題や難しい問題にたくさん手を出していましたが、浪人してからはテキストの基礎的な問題や模試の問題などを徹底的に復習して、同じ問題が次に出たら必ず完答できるように心がけていました。

◆新年度の受験生へ一言お願いします。
努力は必ず報われます。東大に合格したいという強い気持ちを持って自分自身でやり切ったと思えるまで、後悔のないよう頑張ってください。

合格者インタビュー②

敬天塾から東大に合格者した生徒へのインタビューです。
ノー編集、ノーカットです。

【合格者情報】
年度:2019年入試
科類:理科二類
出身高校:渋谷教育学園渋谷高校
敬天塾卒業時:1浪(仮面浪人)

◆合格してどのように感じますか?
うれしい!の一言です。

◆この一年間はどんな一年でしたか?
仮面浪人だったので、大学の勉強と受験勉強を両立させなければならず本当に大変でした。
そして自分の我儘で再受験を決めたこともあり、出来るだけ親に負担をかけたくなかったのでアルバイトもしていました。
1年間、常に綱渡りをしているような緊張感を持っていました。

◆一年前に、敬天塾を選んだ理由は?
母が平井先生のブログのファンで、先生に会いにいくよう勧められました。
仮面浪人ということもあり、独学するつもりでしたが、敬天塾では効率の良い学習の進め方のアドバイスなど、ペースメーカー的役割も担ってくださる気がして、お会いしてから指導を受けることを即決しました。

◆平井先生から教わったことで印象的だったことは?
これまで問題に対して、複雑なプロセスを踏んで解こうとして迷宮にはまりこむことが多々ありました。
基本を大切にしながら、応用していくという一見当たり前ですが、実は最も大切なことを改めて教えてくださいました。
今年の理系数学の問1問2は、入試直近に平井先生から指導を受けたことがまさにに繋がったと感じています。

◆敬天塾と他の塾の違いは何ですか?
センターの出来が思わしくなく、センター後から2次までは、ギリギリの精神状態で勉強していました。
出願の際のアドバイスを始め、最後の最後まで質問に答えてくださり、「今必要なこと」を的確に答えてくださいました。
東大合格を念頭に置きつつ生徒一人ひとりにあった指導は、決して大手予備校では受けることができなかったと思います。

◆一年間のモチベーション維持で工夫したことは?
受験勉強、大学の勉強、アルバイトをどれも手抜きなくやったことで、気持ちが下がる暇もありませんでした。
疲れすぎて、時々体調は崩しましたが、その時は思い切ってゆっくり休むというメリハリが良かったように思います。

◆合格に最も大切なことは何だと思いますか?
忍耐

◆新年度の受験生へ一言お願いします。
仮面浪人は本当に疲れました。
しかし「仮面浪人は10人に2人しか受からないと言われてますが、途中で7人はやめてしまう」という言葉を聞き、「我慢さえすれば3人中2人は受かる、66%の合格率はある」と自分に言い聞かせて何とか乗り切りました。
また、受験時に併願を考えず邁進できたことは、気持ち的に楽でした。
現役生は、とにかくこの1年で結果を出すために、効率を意識しつつ学習し、センター後も気を緩めずゴールまで走り抜く気持ちで頑張ってください。
浪人生は効率良い学習を平井先生に相談してみてください!

2019年 東大数学 理系第5問(微分、解の配置、不等式の証明、極限、ハサミウチ、微分の定義)

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2019年 東大数学 理系第5問

 
今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題(笑)
極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。
では、解説していきましょう。
 

微分しても解を持つ条件がうまくいかない

では、(1)から見ていきましょう。
よくある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。
なければ、中間値の定理で、yが負になるxの値と、yが正になるxの値を求めれば終わりなのになぁ。
 
「ただ一つの」と言われているので、仕方なく微分して増減表を描く路線に行きます。
いつものように、(左辺)-(右辺)をf(x)とおいて、微分します。
しかし、x≦0の様子がいまいちわからないのです。
(x≧0では、単調増加になるのがすぐにわかります。)
 
「あれ?どうしよう、x≦0の範囲をどうやって調べればよいかわからないぞ」
ということで、もう一回微分しても、中々うまくいかない。
ここで困ってストップした人が多かったでしょう。

工夫をしてみよう

そんなときは、別の工夫が必要です。
そこでご紹介するのが、元々のグラフのイメージをすること。
つまり、y=cosxと、y=x^2n-1のグラフをイメージします。
と言いつつ、本当はグラフのイメージは、どんな問題でも必ず行うことなんですけどね。微分したり、差をとったりと、ちょっとでも変形したら必ずイメージをするのが標準です。
 
さて、この2つのグラフをイメージする(描いてみる)とこうなります。
 
すると、確かに解(交点)は、0≦x≦1に1つしかないだろうというのが分かります。
これを利用して、解の配置条件を絞っていきます。

不等式で挟もう

さて、グラフを利用しながら、上手く解の存在条件を考えていきます。
今回は、皆さんでも理解しやすく、発想しやすいように、cosの値域から絞ってみました。
こんな感じです。
簡単にまとめると、
・-1≦x≦0の時は逆符号になる
・0≦xの時にはf(x)が単調増加
という二つを利用して、解が一つしかないことを示しています。

(2)は瞬殺!!

サービス問題。かなり簡単です。
「cosan>cos1を示せ」とありますが、0≦x≦π/2の範囲でcosは単調減少関数ですから、an<1を示すのと同値です。
 
でも、これって(1)で既に示しています。ということで瞬殺。
これは問題というより、(3)の誘導として設定された問題でしょう。

 

(3)良問!!よく復習しよう!

では、最後の(3)。これが極限の問題として、非常に良い問題です。
このように、別種の関数の交点に関して、極限を求めさせる問題は良いですね。実力差が出る問題です。
 
あまり見たことがないという方は、勉強不足を恥じましょう。確かに教科書傍用の問題集には載ってないかもしれませんが、模試や入試としては頻出です。
慣れていれば、ちょっと手を動かしていくだけで解けると思いますので、よく復習してください。

anの極限は、いつも通りの流れで簡単♪

では、解説です。
まずはanの極限ですが、そのまま極限値を求めようとしても求められません。
このパターンの問題で、よくある解法としては、
①元々与えられている方程式に代入して、anに関する関係式を得る
②不等式で閉じて、ハサミウチの原理を利用する
の2STEPでしょう。
 
今回もこの流れに漏れず、そのまま計算できます。
 
ほら、知ってれば簡単でしょう。いつもこの流れなので、よく覚えてくださいね。

bnの極限はもっと簡単♪♪

では、bnの極限ですが、これはanよりもっと簡単♪
先ほど作った不等号の直前の式を、両辺n乗すれば終わりだからです。
ということで、こちら。
 
cの極限
では、最後にcの極限です。
aの値とbの値は求められているので、そのまま代入してしまいましょう。
すると、分母と分子に差の形が現れましたね。
 
ここでビビっと反応できなければ、東大受験生としてはNG。これまた典型的な形が登場しました。
ズバリ、「平均値の定理」や「微分の定義」を利用して極限を求める形です。
 
厳密にいえば、分母は差の形になっていなくても、分子が差の形になっていれば、反応しなければならないパターンですね。
 
解き方としても、スタンダードです。
分母がanー1となっていますから、分子も似たような形になってほしいところ。
そこで、分子がg(an)-g(1)となるような関数g(x)を探します。
 
bnの極限を求めるところを参考に、g(x)の正体を探せば、答えはもうすぐ。微分して1を代入したら答えです。
 
ということで、手書きの解答をどうぞ。
それにしても、先生としては教え甲斐のある一問ですねぇ。授業でぜひとも扱いたい問題。
生徒としても、ぜひ習得したい問題。
教育的な価値の高い良問だと思いますので、ぜひマスターして下さい。
 

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東大合格発表

東大の合格発表日なので、今年の入試のデータも発表されています。
 
 
 
 
そして、過去のデータと推移はこちら
(文系)
 
 
(理系)
 

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2019年東大数学文系第問(ベクトル、領域図示、1文字固定)

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2019年 東大数学 文系第4問

なんと、3連続でベクトルの領域図示の問題が出ました!これは驚き。

これまで入試では、それほど頻出で扱われなかったタイプの問題でしたので、今後、問題集などで例題や類題が増えるでしょう。

 

では、詳しくみていきます。

有名な図形の図示

まずは、領域D、つまり |x|+|y|≦1の領域図示ですが、これは即答したい問題。超有名な領域です。

 

ちゃんと書こうとすると、xの正負と、yの正負によって4つの場合分けをすればよいでしょう。

但し、僕の解答では、xとyに関して偶関数になっていることを利用して簡潔に書きました。

このように、ダイヤモンド型になるのです。

これは、解けないとマズイ問題。さっさと書いて、次に行きましょう。

動点が2つあるときは、1つ固定

次に、領域Eの図示に入ります。

点Pと点Qが領域Dを動き、OPベクトルとOQベクトルの差を取ったベクトルの通過領域を求める問題です。

 

さて、この問題のややこしいのは、点Pと点Qが動くところです。つまり動点が2個あるというところ。

このような問題が登場したら、鉄則があります。

「動点が2つあったら、1つを固定せよ!」

 

これは、数学において、非常によく使う技法です。

2変数関数も、1つ固定

ちょっと脱線して、同じように2つ動くものがあった時に、1つを固定して考える典型問題をご紹介しましょう。

恐らく、多くの高校生にとって、初めて登場するのがこのタイプの問題でしょう。

 

(青チャートⅠAより)

 

xとyの両方が変数の時、はじめどちらかを定数とみなして1変数関数と見ながら最大値(最小値)を求め、固定した文字を変数に戻して最大値(最小値)を求めます。

 

2つ動くものがあったら、1つ固定。

しっかり覚えておきましょう。

領域Eを描いてみる。

ということで、点Pと点Qのどちらかを固定して領域を考えてみましょう。

分かりやすい方を選び、点Qを固定してみました。

 

すると、上の図のように、点Qを領域Dにおいての原点とみなしたような、ダイヤモンド型の領域が描けます。

固定した点を動かす

さて、この次は、先ほど固定した点Qを動かします。

つまり、ダイヤモンドの中心(点Q)を、ダイヤモンド(領域D)の形に動かすのです。

すると、このような形になり、領域Eの完成です。

 

 

(2)は記述が難しい!

さて、次は(2)の問題ですが、これは簡単ともいえるし、難しいともいえる、珍しいタイプの問題。

予備校の判定では簡単な問題に判定されるかもしれませんが、僕は結構難しいと思います。

 

では何が難しいかというと、「記述するのが難しい」のです。

東大では、現代文や古文、漢文などを中心に、「何となく頭では分かっているけど、言語化しようとすると難しい」という問題が出ますよね。

 

この数学の問題も、同様。

言われてみれば、(1)と同じ領域になりそうだけど、どうやって記述して証明すればよいかわからない、という問題です。

具体的にして、記述する

このような場合、どうするかというと、一定の方法論があります。

具体的にして証明するのです。

 

今回は、点A(a、b)とおき、OSベクトルと、OTベクトルを表現します。

すると、OUベクトルが自然と、(1)と同じように表現できて終わり。

 

言われてみれば簡単だけど、自分で書こうとすると困ってしまう問題ですね。

では、手書きの解答です。

 

 

はじめのダイヤモンド型の領域までで終わってしまった受験生も多かったような気がしますが、数学の基本的な考え方はあまり多くありません。

基礎の積み重ねで、応用問題が解けます。ぜひ、直感ではなく、方法論に基づいた勉強を続けてください。

 

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2019年東大数学理系第4問(整数、最大公約数、ユークリッドの互除法)

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2019年 東大数学 理系第4問

では、今日は理系第4問です。

(1)は東大らしく、ユークリッドの互除法

(1)から早速、東大らしさが全開の問題です。

大好物の「最大公約数」の問題。当然「ユークリッドの互除法」を使います。

 

「当然」と書きましたが、「え?そうなの?」という人のために少し書いておくと、新課程になり「ユークリッドの互除法」が指導範囲内になった瞬間から、東大では超頻出問題になりました。

過去問を参照すればわかります。

 

キーワード「最大公約数」から連想しよう

また、「最大公約数」というのも、超キーワード。

最大公約数に関連する問題は、主に2パターンしかありません。

一つ目は「ユークリッドの互除法」を利用するパターン。

 

もう一つは、最大公約数をg、最小公倍数をlを置き、4式1条件を作るパターンです。

具体的には、aとbの2整数に対して

・a=a’g (式①)

・b=b’g (式②)

・l=a’b’g (式③)

・ab=gl (式④)

・a’とb’は互いに素 (条件①)

という、4式と1条件です。

これを色々いじって求めるパターンもあります。

 

ただし、東大で「最大公約数」が登場したら、まず「ユークリッドの互除法」を疑ってよいでしょう。それくらい偏って頻出です。

(1)は瞬殺!

では、(1)に互除法を利用してみましょう。

すると、簡単にn^2+1と、4の最大公約数を考えればよいことが分かります。

 

4には約数が1と2と4しかないので、ここで3択です。

また、素因数が2だけですから、2の剰余類で場合分けするのも自然な発想。

ということで、偶数(2の倍数)と奇数(2の倍数でない)で場合分けをすると答えです。

とても自然な流れで答えが出ました。

 

(2)平方数の処理

次は(2)

さっき、最大公約数を求めた2数が、掛け算されていますね。そして、全体が整数の2乗にならないことを示せというもの。

ここで登場した、「整数の2乗で表せる数」のことを「平方数」と言います。

 

さて、2つの数の積が平方数になためには、どのような条件が必要でしょうか。

教科書や、参考書ではあまり類題を見たことがないでしょうから、受験生にとっては難しかったと思います。

ここでは、

補題「互いに素なxとyについて、xyが平方数⇔xとyがともに平方数」

という性質を使って解説しようと思います。

 

偶数の場合

(1)の結論として、偶数と奇数で場合分けをしたので、(2)でも場合分けをしましょう。(誘導に乗ります)

 

nが偶数の場合、命題①により2数はともに平方数となりますから、

n^2+1も、5n^2+9も平方数となるはずです。

 

しかし、n^2+1は絶対に平方数になりません。

手書きの解答では、ちょっと「ウマイ」方法で解説を書きました。

 

これなら、2行くらいで証明できるので簡単です。但し「ヒラメキ」に頼った解法に見えてしまうかもしれないので、もう一つご紹介します。

 

例えば、n^2+1=k^2(kは整数)とおいて、kが存在しないことを示す、という方針でも良いと思います。

このとき、n<kであり、(nーk)(n+k)=1 と因数分解できます。

しかし、1というのは、1×1か、(-1)×(-1)しか、積の候補がありません。

だから、nーk(小さい数)と、n+k(大きい数)の積が1になることはありません。

よって、このようなkは存在せず、n^2+1は平方数でないことが示せます。

最大公約数だから、4式1条件を作ろう

では、難しそうな奇数の場合。

と言っても、実は基礎の積み重ねで解くことができます。

 

というのも奇数の場合は最大公約数が2となりますが、

先ほども書いた通り最大公約数と言われたら、

①ユークリッドの互除法

②4式1条件を作る

という2方針しかありません。

 

ユークリッドの互除法は先ほど使ってしまったので、今度は4式1条件を作るのです。(手書きの解答では、結果として不要なので2式1条件しか載せていませんが、実際に解答を作る上では立てた方が良いです。)

 

 

ここまでは定石の手段。

そこで、2数の積を取ってみると、結局MとNがともに平方数でなければならなくなります。

 

ここまでは、何も不思議なことは起こっていません。最大公約数と言われたから、最大公約数の条件式を立てただけです。

発想力(難)5の剰余類で矛盾を示す

ここからは、解答が分岐するところ。

正直なことを言えば、理Ⅰや理Ⅱであれば、これ以降は解けなくても良い気がしますが、解説は書きます。

 

恐らくこの時点で式をゴチャゴチャいじて、色々試すのでしょう。

その中には、5n^2+9=2Nにn=2m-1を代入した式も登場すると思いますが、ここに注目してみました。

すると、Nの右辺に係数の10が登場します。

 

これに注目して、5を法とする合同式を取ってみると、Nが平方数でないことが証明できます。

 

発想が難しいので、(2)の前半までしっかり解答を描ければOKでしょう。

 

では、全体の解答です。

 

今回の数学の問題の中では、難しい問題になるのではないかと思います。

但しそれは満点を取る前提での話で、20点中10点を取るのは非常に簡単な問題。(12~13点くらいかも)

この部分点をしっかりとれるかどうかが、運命の分かれ目でしょう。

 

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2019年 東大数学 文系第3問 (確率、多角形グルグル、道順、中学受験で解ける)

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2019年 東大数学 文系第3問

では、今日は文系第3問です。復活した確率の問題。

確率の問題は、設定の読み込みに10分かけても良い

東大の確率だなぁっていう問題。

知らない設定が登場し、読み込んでカラクリを解き明かすのに時間がかかる。

複雑な場合分けが登場し、立式までに時間がかかる。でも計算はそれほど面倒ではない、といったところ。

 

ということで、うちの塾では「確率の問題が出たら、10かけてよいから設定の読み込みをせよ」と教えています。

 

さて、今回のカラクリやいかに!?

(1)は簡単。

(1)は簡単ですね。10回コインを振って、またAに戻ってくるという問題です。

1周するかどうか、1周するとしたら、右回りなのか、左回りなのか、という場合分けになりますが、これは簡単に理解できるでしょう。

これは受験生ならば解けなければならない問題ですね。解説は割愛。手書きの解答をご覧くださいませ。

(2)は場合分けが複雑

次は(2)の問題なのですが、これはかなり複雑です。

T「Fに少なくとも1回立ち寄る」という条件が加わりますが、これを処理するためには、複雑な場合分けが必要です。

 

版時計周りだとしたら、5回目にたどり着くか、7回目にたどり着くか。でも7回目にたどり着くとき、5回目にはFに移動してちゃいけないから・・・。

などと考え始めると、混乱してしまいます。

 

実際は、文系受験者にとって、これはかなり難しかったのではないかと思いますね。恐らく(1)だけ解いて、(2)は0点のような答案が多いのではないだろうかと思います。

ビジュアル化① マス目を作る

予備校の模範解答では、場合分けを駆使して解いているものがありましたが、僕が読んでもあまり意味がわからない解答だったので、分かりやすさを重視して、2つビジュアル化した解答を用意しました。

(といっても、受験生が時間内にこれを思いつくかどうかは、微妙なのですが)

 

一つ目は、下のようなマス目を作って、道順の移動で考える方法です。

 

スタートのAの位置から、①~⑤のどこかの点(F)を通り、⑥~⑧の点(A)に辿りつくという場合分けです。

このようにマス目を作ると、一気に見やすくなりますね。今回は正八角体をグルグルする問題でしたが、多角形をグルグルする問題は良く出ますから、他の場合にも使ってみてください。

※ただし、①~⑤は「初めてFに到達する」という条件の下で場合わけします。

 

これで場合分けができますので、あとは計算して終わりとなります。

ビジュアル化② 中学受験方式

次は、中学受験で習う方式で計算するものです。

普通、このような道順の問題の場合、コンビネーション(nCr)で計算するのが一般的ですが、パスカルの三角形を利用して、足し算を繰り返す方法もあります。

 

まずは、通れない道をすべて消して、通れる道だけを残します。

そして、ある点に対し、一つ前タイミングにいる点の数字を2つ足しながら、ゴールにたどり着くのです。

すると、ゴールへの生き方が206通りになります。

 

あとは、2^10で割って、(1)の答えから引けばOK。

 

ということで手書きの解答をご覧くださいませ。

場合分けが難しいのですが、工夫をすると簡単になるというのも東大っぽい。

多角形グルグル問題は、このマス目の作り方を覚えておくと使えますよ。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(3) (空間図形、平面で切断、射影)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、(1)の解説(2)の解説に引き続き、(3)に行きましょう。

今度はx=0に射影する

(1)と(2)ではy=0に射影しましたが、今度はx=0に射影する問題ですね。座標平面上で(y、z)となっていて、ここから読み取れます。

ということは、(2)の答えを出すときに描いた図が、とても役立ちます。

再掲しましょう。こちら。

ちょっと見づらいですが、①~⑤の5つの交点があり、①と⑤は青色(y=0上で)の交点②~④は赤色(y=0上にない)交点でした。

この図Aをx=0に射影して、y≧0かつz≧0の部分の図を描けばよいという問題です。

解答を描く際には不要なのですが、分かりやすい解説のために、zy軸全体で図を描いてみました。①~⑤を射影した点を①’~⑤’としています。

 

ほら、確かに八角形でしょう。(本当の断面ではなく、射影後なのですが)

 

このうち、第1象限の部分だけ取り出して、面積を求めれば答えです。

射影前の座標を求めて、射影する

では、第一象限の面積を求めていきましょう。

そのためには、③’、④’、⑤’の座標が分からなければなりません。ということで計算を進めていきましょう。

 

まずは⑤’ですが、(2)の答えの図を使って求めます。

まずは⑤.

この図において、⑤の点はy=0上にありますから、射影後のy座標も0(確かに八角形のてっぺんにあります)

z座標に関しては、直線の交点として求めればよいので、直線CPと、平面αを連立して求めてください。

 

次に④ですが、y座標がわかりません。y=0でないことだけはわかってますが、具体的な値は不明。

よって、面倒ですが、ベクトルの直線の方程式を使って求めます。

 

 

最後③は、ほとんど計算が要りません。なぜなら、③は点M(N)そのものだからです。(平面αは辺ABと辺ADにおいて、中点M(N)を通るというのが定義です)

つまり、M(1,1,0)をx=0に射影して(y、z)=(1,0)です。

 

これを書き込んだら、あとは面積を計算するだけ。別に難しいところはないので、一気に手書きの解答をご覧ください。

(1)からの分全てを掲載します。

 

 

 

いやいや、それにしても難しい問題でしたね。

空間図形の問題って、解説記事を書くのにめちゃくちゃ時間がかかるんですが、今回のは最長記録だったと思います。

実際は、中学生の計算だけで解けてしまうところが、またいやらしい問題。さすがの東大クオリティだったと思います。

射影や空間図形の話題は苦手にする人がとても多いので、ぜひよく復習してください。

では、明日からは、通常通り1日1問のペースに戻します。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(2) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、昨日の(1)の解説に続きまして、(2)の解説に行きましょう。

(1)の解説はこのリンクから

切断面は何角形?

(2)の問題は、切断面が八角形になるpの範囲を求めよというものです。

(1)が大きなヒントになっているのですが、お気づきになったでしょうか?

まずは、(1)の結論の図をもう一度ご覧ください。

 

点Pに対して、左側を平面αが通るか、右側を通るかで場合が分れています。

そして、これが八角形になるかならないかの境界線になるのです。

 

どういうことでしょうか?

平面と直線の共有点は、点

これも(1)と同様、空間図形の基礎的な考え方を使います。

平面と直線の共有点は、点になるというものです。

 

(1)の結論の図は、y=0の切断面のみを表していますが、本当は八面体です。八面体には12本の辺がありますから、そのうちいくつかを平面αが切断しているはずです。

 

ということで、(1)の図に、書かれていない八面体の辺(をy=0に射影したもの)を赤色で書き込んでみました。実際には、紙面から手前向きの辺と、奥向きの辺があるのですが、対称性からy=0上では1本の線分に見えています。

y=0上にある辺は青色です。)

例えば、2<p<3の場合はこちらです。

 

 

平面αが、①②③④と4回八面体の辺と交わっているのがわかるでしょうか?

このうち、①と④は青色(y=0上の辺)の交点で、②と③は赤色(y=0上にない辺)との交点です。

 

①と④はy=0上で平面αと交わっているから数え方は簡単なのですが、②と③はそうはいきません。②と③は対称性からy<0とy>0に1つずつ交点があるはずなので、2つ分と数えます。

つまり、1+2+2+1=6となり、切断面は6角形であることが分かるのです。

 

これを、p=3の時と、3<p<4の時でも書いてみると、

p=3では6角形、3<p<4の時は八角形になることがわかります。

よって、(2)の答えは3<p<4となるのです。

ちなみに、先取りして(3)の序盤をお見せすると、x=0に射影した図はこのようになり、確かに八角形であることが分かります。

 

立体的に考える方が難しい

ということで、答えが出たわけなんですが、立体的な図を描いて、切断面が8角形になることを理解することはできるのでしょうか?

もし実物大のものを用意して、カッターか何かで切断したら一番わかりやすいのでしょうが、入試会場ではできません。

やはり、頭の中にイメージするか、計算用紙に「立体的な図」を描いて考えるしかありません。

 

僕も、手書きの解答を作るときに、あれこれ試して描いてみたんですが、どうにも上手く示せずに時間を浪費しましたし、読者の皆様に分かりやすいような図に仕上がりまっせんでした。

 

やはり、立体は平面図形に切断して、その上で考える方が良いのでしょう。

切断自体は小学生や中1で習う技術なのですが、奥が深いものですね。

 

ということで、明日は(3)に参ります。

 

 

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2019年 東大数学 理系第3問(1) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問

出ました、空間図形。

東大では毎年頻出のテーマです。

去年の空間図形(第6問)は非常に難しかったですが、今年もなかなかの難易度です。

そして、苦手にする人が多いということで、3回に分けてアップしていきます。

丁寧にわかりやすく解説するので、長くなりますがお付き合いくださいませ。

さっそく見ていきましょう。

空間図形は、ほぼ必ず切断する。

まずは、空間図形の問題そのものの考え方から行きましょう。

平面図形は考えやすいけど、空間図形になると苦手という方がいますが、

それ、恐らく人類全体の悩みですよ(笑)

 

平面に比べて情報量が多いし、

そもそも平面に描かれた問題文という活字から、実物しない空間図形をイメージして取り組むわけですから、解きやすいわけがない。

 

この時に役立つのが、切断です。平面で空間図形を切断します。

受験数学において、「切断とは次元を落とすこと」です。3次元の空間図形も、切断すると2次元の平面図形に早変わり。

すると計算用紙(2次元)にも正確に描けて、考えやすくなる、という寸法なのです。

 

平面との共有点はどうなる?

では、平面で空間図形を切断するとどうなるか。

切断が苦手だという人も多いのですが、ここで使うのは2つだけです。

・平面と直線の共有点は、点。

・平面と平面の共有点は、直線。

この、2つの簡単な事実をもとに考察します。

 

ちなみに、当たり前すぎて、上に含めませんでしたが、

・互いに平行でない2つの平面は必ず交わり、共有点が直線(交線という)になる。

・互いに平行でない直線と平面は必ず交わり、共有点が点になる。

というのも、大事ですよ。

 

もう少し応用して、(イメージしながら読んでください)

・平面αと平面βが平行な時、どちらにも平行でない別の平面との共有点(交線)は、互いに平行である。

なんかもよく使いますけどね。

 

ただし、どれも別に難しいことではありません。ちゃんと図を描きながら条件を整理すれば、当たり前のことばかりです。

(1)y=0の切断面① 四角形が登場

では、(1)の解説に入ります。

とりあえず、正八面体をxyz平面上に描いてみましょう。ちょっと複雑ですが、書かないよりはイメージできると思います。

八面体の辺は赤色y=0の切断面は青色で登場します。)

 

今回は、y=0の平面での切断を問いている問題ですから、y座標が0の点を調べます。

すると、PAECの四点が出てきますね。

ここで注目したいのは、PとA、AとE、EとC、CとPが全て正八面体の辺だということです。つまり、y=0で切断したときに、他の点を考慮しなくてよいということです。

ということで、y=0の図示では、四角形PAECを描けばOK。座標も全て問題文に書いてありますから、そのままzx平面に書き込めばすみます。

 

(1)y=0の切断面②直線と平面の共有点は点

次に、平面αとy=0の共有点の図示に参りましょう。

ここで大事なのは、平面αも、y=0も平面ですから、書き込む図形は「直線」です。y=0の中に、どのように書き込めばよいか考えながら、進みます。

 

平面αの定義を考えると、「点Mと点Nを通り、直線AEに平行」です。

点Aと点Eは、先ほど言った通り、y=0の上の点ですから、そのまま答えの図に登場します。

しかし、点Mと点Nはy=0の上にありませんから、答えの図にMとNは登場しません。

 

そこで、直線MNとy=0の交点を考えます。

と言っても、M(1,1,0) N(1、-1、0)ですから、中点がy=0にあるのがすぐにわかってラッキー。

その中点をLとおくとL(1、0、0)が、直線MNとy=0との交点であり、答えの図に書き込む点です。

 

ここでも、「平面と直線の共有点は、点」を使いました。

 

(1)y=0の図を描いてみよう。

では、平面αを、実際にy=0に書き込んでみます。

するとこうなりますね。

(今後、平面αは緑色で登場します)

 

書き込んでみると、結構簡単♪

なにせ、点Lを通り、直線AEに平行な直線を求めるだけですから。

ということで、四角形PAECも、同じ図に書き込むと、こうなります。

平面αは、辺PCと交わるか、辺PAと交わるかが分からないので、場合分けをします。

ただし、これも図示してみようとすると、当然生じる疑問なので、難しくありません。(というか、場合分けをしないと描けない)

 

一応、(1)の答えの全体像をお見せしておきましょう。

(1)はこれで終わり。では、明日は(2)の解説に行きますね。

 

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