2019年 東大数学 理系第6問(1) (第1手をどうするか?。有名事実を覚えよう)

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2019年 東大数学 理系第6問

では、2019年最後の問題
頻出の複素数平面です。
しかし、見たことのない条件がたくさん!これは難しい問題でした。
さて、第1手として、あなたはどうする?

条件や方針の整理

まず、与えられた情報を整理してみましょう。
 
条件1:α、β、γ、δは全て違う複素数
条件2:その4つが解となる、4次方程式
条件3:αβ+γδは純虚数
の3つです。
 
そして、複素数平面では、必ず3通りの方針が存在します。
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
 
これらをもとに、式をいじっていくということですね。
 
そして、証明したことは
「α、β、γ、δのうち2つが実数で、残りの2つは共役な複素数である」
ということ。

第1手の付け方

さて、この問題、何が難しいって、第1手の付け方です。
すぐに正解の方針が思い付いたとしたら、偶然かヒラメキでしょう。あまり類題がない問題です。
 
先ほどまとめた情報の中で、特に情報量が多い、というか厳しい条件は「条件3:αβ+γδは純虚数」でしょう。これを中心に問題を解いていくのでしょうが、純虚数の条件ではイマイチ方針が不明。
 
例えば、純虚数に関する条件としては「共役なもの同士を足して0」というものがありますが、αβ+γδを共役にしたものを作って和を取ったところで、新たな複素数が4つ生まれてしまい、困ってしまいます。
 
こんなことを考えていると、方針が立たなくて時間が刻々と過ぎてしまう。
ということで、あまり長く考えているヒマもないですから、飛ばして別に行っても良い問題だと思います。

とりあえず、共役な解を持つ事実を指摘してみる

大きな方針が立たないということで、まずは必ず使いそうな事実から始めてみましょう。
実数係数の方程式の場合、共役な複素数の両方が解になる」というものです。
 
ちょっとだけ注意しておくと、実数係数に限った話です。複素数係数では成り立たないのでご注意を。

3つの可能性しか残されない

すると、共役な複素数解が2個セットで同時に出てくることになるので、虚数解が1個しかない」とか「虚数解が3個」の可能性はないのです。
これで少しだけ話が進んで
(A)実数解が4つ
(B)実数解が2つと、共役な虚数解が2つ
(C)共役な虚数解のセットが2つ
という3つの場合しか考えられないことになります。
 
この中で、証明したいのは(B)のパターンになることで、必ずこの3つのうちどれかが成立するので、
(A)と(C)の可能性を排除すれば、残った(B)の可能性のみが残されて(1)が解けることになります。
 
と、読んだり聞いたりすれば簡単そうに聞こえますが、ここまで発想するのも結構難しいと思います。
やはり、150分の試験時間の中で、前半で取り掛かる問題ではない気がしますねぇ。
 
では、(1)の解答をどうぞ
 
先ほどの解答の方針に気付いてしまえば、あとはスムーズに筆が進みます。
ポイントは最も厳しい「条件3:αβ+γδは純虚数」から手を付けることでしょう。
もし上手くいかなくても、複素数平面の3つの方針
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
のうち、②や③を利用して解こうとするのも良いでしょう。
 
では、長くなったので(2)と(3)は次の記事へ

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合格者インタビュー④

敬天塾から東大に合格者した生徒へのインタビューです。
ノー編集、ノーカットです。

【合格者情報】
年度:2019年入試
科類:文科三類
出身高校:倉敷天城高校
敬天塾卒業時:現役(遠隔授業参加生)

◆合格してどのように感じますか?
まずはやはりこの1年間の努力が報われたことが純粋に嬉しいです。僕はもともと理系だったのですが、高二の秋から文転したこともあり、文系科目を勉強し直す必要があったので、人一倍勉強してきました。無事合格という結果を得ることが出来て、ひとまずはホッとしています。
◆この一年間はどんな一年でしたか?
二次試験の勉強をしつつ、推薦入試の対策も同時並行で進めてきました。推薦入試が終わってからは正直落ちたなと思い(実際落ちていました)、センターと二次の勉強に集中しました。とはいえ高校では毎日友達と楽しく話したり騒いだりしていたので、直前期までは比較的ストレスもなく過ごせたと思っています。直前期はメンタルがボロボロになっていましたが、なんとか乗り越えて落ち着いて二次試験に臨むことが出来ました。
◆一年前に、敬天塾を選んだ理由は?
1年前に僕が出場したある弁論大会の懇親会で初めて平井先生とお会いしました。その時に先生が文理両方で受かったというのを聞きました。前述の通り僕は文転していたので、理系でも文系でも受かったという先生の成功例は、自分も頑張れば東大に行ける、という自信に繋がり、この先生に教えてもらいたい、と思えました。
◆平井先生から教わったことで印象的だったことは?
「数学で始めの五分はペンを持つな」という言葉です。数学では、解けそうな問題を見るとすぐに解き進めてしまうことがあると思います。ですが、それは思わぬミスにつながることがあります。数学で何よりも大切なのは問題文をじっくり読むこと。そして、示された条件をきちんと整理してどう解いていくかの方針をたてることなのです。先生から教わった言葉通り、僕は模試の度に始めの五分はペンを持たず、問題文を読んで方針をたてるようにしていました。すると、苦手だった数学でもったいない凡ミスをすることが少なくなりました。数学の勉強というと問題を解くことばかりを意識してしまいますが、問題の解き方だけでなく数学の試験にのぞむ上での戦略を教えていただけたのは大きいと思います。
◆ゼミ形式について、どう感じましたか?
僕は遠隔で参加していたので、東京にいる仲間と一緒に勉強を受けているという感覚が新鮮でした。また、ゼミ授業では他の生徒の意見や疑問点を聞くことができ、自分の疑問点を他の生徒と一緒に考えることが出来たので、ただ過去問の解説を読むよりも断然理解が深められたと思います。
◆敬天塾と他の塾の違いは何ですか?
1番の違いはやはり地方からでも遠隔で授業に参加出来るという点です。塾まで行く移動時間も節約出来る上に、自宅で気軽に授業を受けられました。また先生と相談すれば個別に指導を受けることもできます。地方の学生が東大受験のための学習を自分のペースで進めていくのは、他の塾ではなかなか難しいと思います。
◆一年間のモチベーション維持で工夫したことは?
受験期に経験したつらい思いを、逆にやる気に繋げられるようにしていました。例えば、僕が東大に推薦で落とされた時は、「こんな大学に行きたくない」とまで思いましたが、逆に「俺を落としたことを教授に後悔させてやる!!」と考えるようにして、受験勉強に没頭するための原動力に変換しました。これは口で言うのは簡単ですが、実際にやる気に繋げるのはなかなか難しいです。自分の負の感情を、なんとかやる気に変えられないかと常に模索していくことが重要だと思います。
◆合格に最も大切なことは何だと思いますか?
メンタルの強化だと思います。もちろん、勉強を頑張るのは当然ですが、いくら頑張っても本番でその力を発揮出来なければなんの意味もありません。ですので、受験のプレッシャーにも負けない強いメンタルを維持することが不可欠です。僕は決してメンタルが強い方ではありませんでしたが、平井先生の協力やご家族のサポートもあって、なんとか受験本番を乗り越えることが出来ました。
◆新年度の受験生へ一言お願いします。
受験期は、つらいことや気持ちが沈むことがたくさんあり、「もうやめてしまいたい」と思うことがたくさんありました。ですが、いま受験を終えてみて改めて振り返れば、あんなに長く感じた勉強漬けの日々も、一瞬の出来事のように感じます。そして何より、あれだけ頑張ったことが報われて東大に合格できたので、「挑戦して本当によかった」と思えました。この達成感は、大学受験を頑張った人だけが味わえる最高の至福だと思います。皆さんもぜひ、この達成感が味わえるように、この1年全力で頑張ってみてください!応援しています。

歯みがき大好きな赤ちゃん

歯みがき大好きな赤ちゃん

うちの甥っ子ちゃんが歯みがきを嫌がっていて、いつも姉が苦労しているのを見ていました。
なので、うちの子は歯みがき嫌いな子にならないで欲しいなーと思い、いろんな工夫を重ねました。
すると、歯みがき大好きな子になりました☆

子育て中の方の参考になるかもしれないので、工夫したことを記事にまとめてみます。
「歯みがき大好きな赤ちゃん」の続きを読む…

合格者インタビュー③

敬天塾から東大に合格者した生徒へのインタビューです。
ノー編集、ノーカットです。

【合格者情報】
年度:2019年入試
科類:文科三類
出身高校:栄東高校
敬天塾卒業時:1浪(他予備校併用生)

◆合格してどのように感じますか?
とても嬉しいというよりは合格できてよかったという安堵の方が大きいです。一年の努力が報われてほんとにホッとしています。

◆この一年間はどんな一年でしたか?
浪人はもっと辛いものかと想像していましたが、私は予備校にも通っていたので新しい友達もたくさんできて思っていたよりずっと楽しく勉強できました。また支えてくれる家族や応援してくれる友達のありがたみを改めて感じました。

◆一年前に、敬天塾を選んだ理由は?
平井先生のブログを読んでいた母に勧められて敬天塾を知りました。もともと数学がとても苦手だったわけではなく、過去問も解答解説を見れば大抵の問題は理解できるという状態でしたが、どうしても自分の力で解法を発想することができませんでした。敬天塾では問題をみてどのように発想すればよいかに重点を置いた授業を行っていることを知り、敬天塾を選びました。

◆平井先生から教わったことで印象的だったことは?
試験が始まってすぐはペンを持たない!と何度も言われたのがとても印象に残っています。一見簡単に見える問題でもすぐに飛びつかず、全ての問題を俯瞰して、戦略的に解き進めるというやり方は自分の実力を最大限に発揮することに役立ったと思います。またこの方法は地歴など他の科目にも応用することができたので得点アップに繋がりました。

◆敬天塾と他の塾の違いは何ですか?
予備校では問題の解法についての解説が中心でしたが、敬天塾では予習の段階で問題演習、解法の確認を行って授業に臨み、授業では解法の発想の仕方についての解説が中心でした。参考書や過去問を自分で演習するときにはなぜこの解法に至るのかというプロセスを理解することは難しいので、発想法について教えていただけるのは敬天塾ならではだと思いますし、私の数学の実力を上げる大きな要因になったと思います。

◆一年間のモチベーション維持で工夫したことは?
私は東大模試以外にも駿台模試やマーク模試などをたくさん受けていたので、模試を1つの区切りとして、模試で何点取りたいか、その模試までになにを完成させておきたいかを考えて計画的に勉強するようにしていました。模試での目標点を設定すると勉強のモチベーションになりますし、途中で中だるみをすることなく勉強を続けられました。

◆合格に最も大切なことは何だと思いますか?
一度やった問題を何度も復習することだと思います。現役時代は新しい問題や難しい問題にたくさん手を出していましたが、浪人してからはテキストの基礎的な問題や模試の問題などを徹底的に復習して、同じ問題が次に出たら必ず完答できるように心がけていました。

◆新年度の受験生へ一言お願いします。
努力は必ず報われます。東大に合格したいという強い気持ちを持って自分自身でやり切ったと思えるまで、後悔のないよう頑張ってください。

合格者インタビュー②

敬天塾から東大に合格者した生徒へのインタビューです。
ノー編集、ノーカットです。

【合格者情報】
年度:2019年入試
科類:理科二類
出身高校:渋谷教育学園渋谷高校
敬天塾卒業時:1浪(仮面浪人)

◆合格してどのように感じますか?
うれしい!の一言です。

◆この一年間はどんな一年でしたか?
仮面浪人だったので、大学の勉強と受験勉強を両立させなければならず本当に大変でした。
そして自分の我儘で再受験を決めたこともあり、出来るだけ親に負担をかけたくなかったのでアルバイトもしていました。
1年間、常に綱渡りをしているような緊張感を持っていました。

◆一年前に、敬天塾を選んだ理由は?
母が平井先生のブログのファンで、先生に会いにいくよう勧められました。
仮面浪人ということもあり、独学するつもりでしたが、敬天塾では効率の良い学習の進め方のアドバイスなど、ペースメーカー的役割も担ってくださる気がして、お会いしてから指導を受けることを即決しました。

◆平井先生から教わったことで印象的だったことは?
これまで問題に対して、複雑なプロセスを踏んで解こうとして迷宮にはまりこむことが多々ありました。
基本を大切にしながら、応用していくという一見当たり前ですが、実は最も大切なことを改めて教えてくださいました。
今年の理系数学の問1問2は、入試直近に平井先生から指導を受けたことがまさにに繋がったと感じています。

◆敬天塾と他の塾の違いは何ですか?
センターの出来が思わしくなく、センター後から2次までは、ギリギリの精神状態で勉強していました。
出願の際のアドバイスを始め、最後の最後まで質問に答えてくださり、「今必要なこと」を的確に答えてくださいました。
東大合格を念頭に置きつつ生徒一人ひとりにあった指導は、決して大手予備校では受けることができなかったと思います。

◆一年間のモチベーション維持で工夫したことは?
受験勉強、大学の勉強、アルバイトをどれも手抜きなくやったことで、気持ちが下がる暇もありませんでした。
疲れすぎて、時々体調は崩しましたが、その時は思い切ってゆっくり休むというメリハリが良かったように思います。

◆合格に最も大切なことは何だと思いますか?
忍耐

◆新年度の受験生へ一言お願いします。
仮面浪人は本当に疲れました。
しかし「仮面浪人は10人に2人しか受からないと言われてますが、途中で7人はやめてしまう」という言葉を聞き、「我慢さえすれば3人中2人は受かる、66%の合格率はある」と自分に言い聞かせて何とか乗り切りました。
また、受験時に併願を考えず邁進できたことは、気持ち的に楽でした。
現役生は、とにかくこの1年で結果を出すために、効率を意識しつつ学習し、センター後も気を緩めずゴールまで走り抜く気持ちで頑張ってください。
浪人生は効率良い学習を平井先生に相談してみてください!

2019年 東大数学 理系第5問(微分、解の配置、不等式の証明、極限、ハサミウチ、微分の定義)

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2019年 東大数学 理系第5問

 
今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題(笑)
極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。
では、解説していきましょう。
 

微分しても解を持つ条件がうまくいかない

では、(1)から見ていきましょう。
よくある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。
なければ、中間値の定理で、yが負になるxの値と、yが正になるxの値を求めれば終わりなのになぁ。
 
「ただ一つの」と言われているので、仕方なく微分して増減表を描く路線に行きます。
いつものように、(左辺)-(右辺)をf(x)とおいて、微分します。
しかし、x≦0の様子がいまいちわからないのです。
(x≧0では、単調増加になるのがすぐにわかります。)
 
「あれ?どうしよう、x≦0の範囲をどうやって調べればよいかわからないぞ」
ということで、もう一回微分しても、中々うまくいかない。
ここで困ってストップした人が多かったでしょう。

工夫をしてみよう

そんなときは、別の工夫が必要です。
そこでご紹介するのが、元々のグラフのイメージをすること。
つまり、y=cosxと、y=x^2n-1のグラフをイメージします。
と言いつつ、本当はグラフのイメージは、どんな問題でも必ず行うことなんですけどね。微分したり、差をとったりと、ちょっとでも変形したら必ずイメージをするのが標準です。
 
さて、この2つのグラフをイメージする(描いてみる)とこうなります。
 
すると、確かに解(交点)は、0≦x≦1に1つしかないだろうというのが分かります。
これを利用して、解の配置条件を絞っていきます。

不等式で挟もう

さて、グラフを利用しながら、上手く解の存在条件を考えていきます。
今回は、皆さんでも理解しやすく、発想しやすいように、cosの値域から絞ってみました。
こんな感じです。
簡単にまとめると、
・-1≦x≦0の時は逆符号になる
・0≦xの時にはf(x)が単調増加
という二つを利用して、解が一つしかないことを示しています。

(2)は瞬殺!!

サービス問題。かなり簡単です。
「cosan>cos1を示せ」とありますが、0≦x≦π/2の範囲でcosは単調減少関数ですから、an<1を示すのと同値です。
 
でも、これって(1)で既に示しています。ということで瞬殺。
これは問題というより、(3)の誘導として設定された問題でしょう。

 

(3)良問!!よく復習しよう!

では、最後の(3)。これが極限の問題として、非常に良い問題です。
このように、別種の関数の交点に関して、極限を求めさせる問題は良いですね。実力差が出る問題です。
 
あまり見たことがないという方は、勉強不足を恥じましょう。確かに教科書傍用の問題集には載ってないかもしれませんが、模試や入試としては頻出です。
慣れていれば、ちょっと手を動かしていくだけで解けると思いますので、よく復習してください。

anの極限は、いつも通りの流れで簡単♪

では、解説です。
まずはanの極限ですが、そのまま極限値を求めようとしても求められません。
このパターンの問題で、よくある解法としては、
①元々与えられている方程式に代入して、anに関する関係式を得る
②不等式で閉じて、ハサミウチの原理を利用する
の2STEPでしょう。
 
今回もこの流れに漏れず、そのまま計算できます。
 
ほら、知ってれば簡単でしょう。いつもこの流れなので、よく覚えてくださいね。

bnの極限はもっと簡単♪♪

では、bnの極限ですが、これはanよりもっと簡単♪
先ほど作った不等号の直前の式を、両辺n乗すれば終わりだからです。
ということで、こちら。
 
cの極限
では、最後にcの極限です。
aの値とbの値は求められているので、そのまま代入してしまいましょう。
すると、分母と分子に差の形が現れましたね。
 
ここでビビっと反応できなければ、東大受験生としてはNG。これまた典型的な形が登場しました。
ズバリ、「平均値の定理」や「微分の定義」を利用して極限を求める形です。
 
厳密にいえば、分母は差の形になっていなくても、分子が差の形になっていれば、反応しなければならないパターンですね。
 
解き方としても、スタンダードです。
分母がanー1となっていますから、分子も似たような形になってほしいところ。
そこで、分子がg(an)-g(1)となるような関数g(x)を探します。
 
bnの極限を求めるところを参考に、g(x)の正体を探せば、答えはもうすぐ。微分して1を代入したら答えです。
 
ということで、手書きの解答をどうぞ。
それにしても、先生としては教え甲斐のある一問ですねぇ。授業でぜひとも扱いたい問題。
生徒としても、ぜひ習得したい問題。
教育的な価値の高い良問だと思いますので、ぜひマスターして下さい。
 

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2019年合格実績

2019年東大合格者数 前年比2名増!(当塾最高記録更新)
塾生の約45%が東大に進学決定!
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敬天塾の快進撃は、勢いを増して継続中
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入塾審査にて、待つ

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東大合格発表のデータ、合格最低テインの推移など

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東大合格発表

東大の合格発表日なので、今年の入試のデータも発表されています。
 
 
 
 
そして、過去のデータと推移はこちら
(文系)
 
 
(理系)
 

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2019年東大数学文系第問(ベクトル、領域図示、1文字固定)

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2019年 東大数学 文系第4問

なんと、3連続でベクトルの領域図示の問題が出ました!これは驚き。

これまで入試では、それほど頻出で扱われなかったタイプの問題でしたので、今後、問題集などで例題や類題が増えるでしょう。

 

では、詳しくみていきます。

有名な図形の図示

まずは、領域D、つまり |x|+|y|≦1の領域図示ですが、これは即答したい問題。超有名な領域です。

 

ちゃんと書こうとすると、xの正負と、yの正負によって4つの場合分けをすればよいでしょう。

但し、僕の解答では、xとyに関して偶関数になっていることを利用して簡潔に書きました。

このように、ダイヤモンド型になるのです。

これは、解けないとマズイ問題。さっさと書いて、次に行きましょう。

動点が2つあるときは、1つ固定

次に、領域Eの図示に入ります。

点Pと点Qが領域Dを動き、OPベクトルとOQベクトルの差を取ったベクトルの通過領域を求める問題です。

 

さて、この問題のややこしいのは、点Pと点Qが動くところです。つまり動点が2個あるというところ。

このような問題が登場したら、鉄則があります。

「動点が2つあったら、1つを固定せよ!」

 

これは、数学において、非常によく使う技法です。

2変数関数も、1つ固定

ちょっと脱線して、同じように2つ動くものがあった時に、1つを固定して考える典型問題をご紹介しましょう。

恐らく、多くの高校生にとって、初めて登場するのがこのタイプの問題でしょう。

 

(青チャートⅠAより)

 

xとyの両方が変数の時、はじめどちらかを定数とみなして1変数関数と見ながら最大値(最小値)を求め、固定した文字を変数に戻して最大値(最小値)を求めます。

 

2つ動くものがあったら、1つ固定。

しっかり覚えておきましょう。

領域Eを描いてみる。

ということで、点Pと点Qのどちらかを固定して領域を考えてみましょう。

分かりやすい方を選び、点Qを固定してみました。

 

すると、上の図のように、点Qを領域Dにおいての原点とみなしたような、ダイヤモンド型の領域が描けます。

固定した点を動かす

さて、この次は、先ほど固定した点Qを動かします。

つまり、ダイヤモンドの中心(点Q)を、ダイヤモンド(領域D)の形に動かすのです。

すると、このような形になり、領域Eの完成です。

 

 

(2)は記述が難しい!

さて、次は(2)の問題ですが、これは簡単ともいえるし、難しいともいえる、珍しいタイプの問題。

予備校の判定では簡単な問題に判定されるかもしれませんが、僕は結構難しいと思います。

 

では何が難しいかというと、「記述するのが難しい」のです。

東大では、現代文や古文、漢文などを中心に、「何となく頭では分かっているけど、言語化しようとすると難しい」という問題が出ますよね。

 

この数学の問題も、同様。

言われてみれば、(1)と同じ領域になりそうだけど、どうやって記述して証明すればよいかわからない、という問題です。

具体的にして、記述する

このような場合、どうするかというと、一定の方法論があります。

具体的にして証明するのです。

 

今回は、点A(a、b)とおき、OSベクトルと、OTベクトルを表現します。

すると、OUベクトルが自然と、(1)と同じように表現できて終わり。

 

言われてみれば簡単だけど、自分で書こうとすると困ってしまう問題ですね。

では、手書きの解答です。

 

 

はじめのダイヤモンド型の領域までで終わってしまった受験生も多かったような気がしますが、数学の基本的な考え方はあまり多くありません。

基礎の積み重ねで、応用問題が解けます。ぜひ、直感ではなく、方法論に基づいた勉強を続けてください。

 

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2019年東大数学理系第4問(整数、最大公約数、ユークリッドの互除法)

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2019年 東大数学 理系第4問

では、今日は理系第4問です。

(1)は東大らしく、ユークリッドの互除法

(1)から早速、東大らしさが全開の問題です。

大好物の「最大公約数」の問題。当然「ユークリッドの互除法」を使います。

 

「当然」と書きましたが、「え?そうなの?」という人のために少し書いておくと、新課程になり「ユークリッドの互除法」が指導範囲内になった瞬間から、東大では超頻出問題になりました。

過去問を参照すればわかります。

 

キーワード「最大公約数」から連想しよう

また、「最大公約数」というのも、超キーワード。

最大公約数に関連する問題は、主に2パターンしかありません。

一つ目は「ユークリッドの互除法」を利用するパターン。

 

もう一つは、最大公約数をg、最小公倍数をlを置き、4式1条件を作るパターンです。

具体的には、aとbの2整数に対して

・a=a’g (式①)

・b=b’g (式②)

・l=a’b’g (式③)

・ab=gl (式④)

・a’とb’は互いに素 (条件①)

という、4式と1条件です。

これを色々いじって求めるパターンもあります。

 

ただし、東大で「最大公約数」が登場したら、まず「ユークリッドの互除法」を疑ってよいでしょう。それくらい偏って頻出です。

(1)は瞬殺!

では、(1)に互除法を利用してみましょう。

すると、簡単にn^2+1と、4の最大公約数を考えればよいことが分かります。

 

4には約数が1と2と4しかないので、ここで3択です。

また、素因数が2だけですから、2の剰余類で場合分けするのも自然な発想。

ということで、偶数(2の倍数)と奇数(2の倍数でない)で場合分けをすると答えです。

とても自然な流れで答えが出ました。

 

(2)平方数の処理

次は(2)

さっき、最大公約数を求めた2数が、掛け算されていますね。そして、全体が整数の2乗にならないことを示せというもの。

ここで登場した、「整数の2乗で表せる数」のことを「平方数」と言います。

 

さて、2つの数の積が平方数になためには、どのような条件が必要でしょうか。

教科書や、参考書ではあまり類題を見たことがないでしょうから、受験生にとっては難しかったと思います。

ここでは、

補題「互いに素なxとyについて、xyが平方数⇔xとyがともに平方数」

という性質を使って解説しようと思います。

 

偶数の場合

(1)の結論として、偶数と奇数で場合分けをしたので、(2)でも場合分けをしましょう。(誘導に乗ります)

 

nが偶数の場合、命題①により2数はともに平方数となりますから、

n^2+1も、5n^2+9も平方数となるはずです。

 

しかし、n^2+1は絶対に平方数になりません。

手書きの解答では、ちょっと「ウマイ」方法で解説を書きました。

 

これなら、2行くらいで証明できるので簡単です。但し「ヒラメキ」に頼った解法に見えてしまうかもしれないので、もう一つご紹介します。

 

例えば、n^2+1=k^2(kは整数)とおいて、kが存在しないことを示す、という方針でも良いと思います。

このとき、n<kであり、(nーk)(n+k)=1 と因数分解できます。

しかし、1というのは、1×1か、(-1)×(-1)しか、積の候補がありません。

だから、nーk(小さい数)と、n+k(大きい数)の積が1になることはありません。

よって、このようなkは存在せず、n^2+1は平方数でないことが示せます。

最大公約数だから、4式1条件を作ろう

では、難しそうな奇数の場合。

と言っても、実は基礎の積み重ねで解くことができます。

 

というのも奇数の場合は最大公約数が2となりますが、

先ほども書いた通り最大公約数と言われたら、

①ユークリッドの互除法

②4式1条件を作る

という2方針しかありません。

 

ユークリッドの互除法は先ほど使ってしまったので、今度は4式1条件を作るのです。(手書きの解答では、結果として不要なので2式1条件しか載せていませんが、実際に解答を作る上では立てた方が良いです。)

 

 

ここまでは定石の手段。

そこで、2数の積を取ってみると、結局MとNがともに平方数でなければならなくなります。

 

ここまでは、何も不思議なことは起こっていません。最大公約数と言われたから、最大公約数の条件式を立てただけです。

発想力(難)5の剰余類で矛盾を示す

ここからは、解答が分岐するところ。

正直なことを言えば、理Ⅰや理Ⅱであれば、これ以降は解けなくても良い気がしますが、解説は書きます。

 

恐らくこの時点で式をゴチャゴチャいじて、色々試すのでしょう。

その中には、5n^2+9=2Nにn=2m-1を代入した式も登場すると思いますが、ここに注目してみました。

すると、Nの右辺に係数の10が登場します。

 

これに注目して、5を法とする合同式を取ってみると、Nが平方数でないことが証明できます。

 

発想が難しいので、(2)の前半までしっかり解答を描ければOKでしょう。

 

では、全体の解答です。

 

今回の数学の問題の中では、難しい問題になるのではないかと思います。

但しそれは満点を取る前提での話で、20点中10点を取るのは非常に簡単な問題。(12~13点くらいかも)

この部分点をしっかりとれるかどうかが、運命の分かれ目でしょう。

 

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2019年 東大数学 文系第3問 (確率、多角形グルグル、道順、中学受験で解ける)

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2019年 東大数学 文系第3問

では、今日は文系第3問です。復活した確率の問題。

確率の問題は、設定の読み込みに10分かけても良い

東大の確率だなぁっていう問題。

知らない設定が登場し、読み込んでカラクリを解き明かすのに時間がかかる。

複雑な場合分けが登場し、立式までに時間がかかる。でも計算はそれほど面倒ではない、といったところ。

 

ということで、うちの塾では「確率の問題が出たら、10かけてよいから設定の読み込みをせよ」と教えています。

 

さて、今回のカラクリやいかに!?

(1)は簡単。

(1)は簡単ですね。10回コインを振って、またAに戻ってくるという問題です。

1周するかどうか、1周するとしたら、右回りなのか、左回りなのか、という場合分けになりますが、これは簡単に理解できるでしょう。

これは受験生ならば解けなければならない問題ですね。解説は割愛。手書きの解答をご覧くださいませ。

(2)は場合分けが複雑

次は(2)の問題なのですが、これはかなり複雑です。

T「Fに少なくとも1回立ち寄る」という条件が加わりますが、これを処理するためには、複雑な場合分けが必要です。

 

版時計周りだとしたら、5回目にたどり着くか、7回目にたどり着くか。でも7回目にたどり着くとき、5回目にはFに移動してちゃいけないから・・・。

などと考え始めると、混乱してしまいます。

 

実際は、文系受験者にとって、これはかなり難しかったのではないかと思いますね。恐らく(1)だけ解いて、(2)は0点のような答案が多いのではないだろうかと思います。

ビジュアル化① マス目を作る

予備校の模範解答では、場合分けを駆使して解いているものがありましたが、僕が読んでもあまり意味がわからない解答だったので、分かりやすさを重視して、2つビジュアル化した解答を用意しました。

(といっても、受験生が時間内にこれを思いつくかどうかは、微妙なのですが)

 

一つ目は、下のようなマス目を作って、道順の移動で考える方法です。

 

スタートのAの位置から、①~⑤のどこかの点(F)を通り、⑥~⑧の点(A)に辿りつくという場合分けです。

このようにマス目を作ると、一気に見やすくなりますね。今回は正八角体をグルグルする問題でしたが、多角形をグルグルする問題は良く出ますから、他の場合にも使ってみてください。

※ただし、①~⑤は「初めてFに到達する」という条件の下で場合わけします。

 

これで場合分けができますので、あとは計算して終わりとなります。

ビジュアル化② 中学受験方式

次は、中学受験で習う方式で計算するものです。

普通、このような道順の問題の場合、コンビネーション(nCr)で計算するのが一般的ですが、パスカルの三角形を利用して、足し算を繰り返す方法もあります。

 

まずは、通れない道をすべて消して、通れる道だけを残します。

そして、ある点に対し、一つ前タイミングにいる点の数字を2つ足しながら、ゴールにたどり着くのです。

すると、ゴールへの生き方が206通りになります。

 

あとは、2^10で割って、(1)の答えから引けばOK。

 

ということで手書きの解答をご覧くださいませ。

場合分けが難しいのですが、工夫をすると簡単になるというのも東大っぽい。

多角形グルグル問題は、このマス目の作り方を覚えておくと使えますよ。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(3) (空間図形、平面で切断、射影)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、(1)の解説(2)の解説に引き続き、(3)に行きましょう。

今度はx=0に射影する

(1)と(2)ではy=0に射影しましたが、今度はx=0に射影する問題ですね。座標平面上で(y、z)となっていて、ここから読み取れます。

ということは、(2)の答えを出すときに描いた図が、とても役立ちます。

再掲しましょう。こちら。

ちょっと見づらいですが、①~⑤の5つの交点があり、①と⑤は青色(y=0上で)の交点②~④は赤色(y=0上にない)交点でした。

この図Aをx=0に射影して、y≧0かつz≧0の部分の図を描けばよいという問題です。

解答を描く際には不要なのですが、分かりやすい解説のために、zy軸全体で図を描いてみました。①~⑤を射影した点を①’~⑤’としています。

 

ほら、確かに八角形でしょう。(本当の断面ではなく、射影後なのですが)

 

このうち、第1象限の部分だけ取り出して、面積を求めれば答えです。

射影前の座標を求めて、射影する

では、第一象限の面積を求めていきましょう。

そのためには、③’、④’、⑤’の座標が分からなければなりません。ということで計算を進めていきましょう。

 

まずは⑤’ですが、(2)の答えの図を使って求めます。

まずは⑤.

この図において、⑤の点はy=0上にありますから、射影後のy座標も0(確かに八角形のてっぺんにあります)

z座標に関しては、直線の交点として求めればよいので、直線CPと、平面αを連立して求めてください。

 

次に④ですが、y座標がわかりません。y=0でないことだけはわかってますが、具体的な値は不明。

よって、面倒ですが、ベクトルの直線の方程式を使って求めます。

 

 

最後③は、ほとんど計算が要りません。なぜなら、③は点M(N)そのものだからです。(平面αは辺ABと辺ADにおいて、中点M(N)を通るというのが定義です)

つまり、M(1,1,0)をx=0に射影して(y、z)=(1,0)です。

 

これを書き込んだら、あとは面積を計算するだけ。別に難しいところはないので、一気に手書きの解答をご覧ください。

(1)からの分全てを掲載します。

 

 

 

いやいや、それにしても難しい問題でしたね。

空間図形の問題って、解説記事を書くのにめちゃくちゃ時間がかかるんですが、今回のは最長記録だったと思います。

実際は、中学生の計算だけで解けてしまうところが、またいやらしい問題。さすがの東大クオリティだったと思います。

射影や空間図形の話題は苦手にする人がとても多いので、ぜひよく復習してください。

では、明日からは、通常通り1日1問のペースに戻します。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(2) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、昨日の(1)の解説に続きまして、(2)の解説に行きましょう。

(1)の解説はこのリンクから

切断面は何角形?

(2)の問題は、切断面が八角形になるpの範囲を求めよというものです。

(1)が大きなヒントになっているのですが、お気づきになったでしょうか?

まずは、(1)の結論の図をもう一度ご覧ください。

 

点Pに対して、左側を平面αが通るか、右側を通るかで場合が分れています。

そして、これが八角形になるかならないかの境界線になるのです。

 

どういうことでしょうか?

平面と直線の共有点は、点

これも(1)と同様、空間図形の基礎的な考え方を使います。

平面と直線の共有点は、点になるというものです。

 

(1)の結論の図は、y=0の切断面のみを表していますが、本当は八面体です。八面体には12本の辺がありますから、そのうちいくつかを平面αが切断しているはずです。

 

ということで、(1)の図に、書かれていない八面体の辺(をy=0に射影したもの)を赤色で書き込んでみました。実際には、紙面から手前向きの辺と、奥向きの辺があるのですが、対称性からy=0上では1本の線分に見えています。

y=0上にある辺は青色です。)

例えば、2<p<3の場合はこちらです。

 

 

平面αが、①②③④と4回八面体の辺と交わっているのがわかるでしょうか?

このうち、①と④は青色(y=0上の辺)の交点で、②と③は赤色(y=0上にない辺)との交点です。

 

①と④はy=0上で平面αと交わっているから数え方は簡単なのですが、②と③はそうはいきません。②と③は対称性からy<0とy>0に1つずつ交点があるはずなので、2つ分と数えます。

つまり、1+2+2+1=6となり、切断面は6角形であることが分かるのです。

 

これを、p=3の時と、3<p<4の時でも書いてみると、

p=3では6角形、3<p<4の時は八角形になることがわかります。

よって、(2)の答えは3<p<4となるのです。

ちなみに、先取りして(3)の序盤をお見せすると、x=0に射影した図はこのようになり、確かに八角形であることが分かります。

 

立体的に考える方が難しい

ということで、答えが出たわけなんですが、立体的な図を描いて、切断面が8角形になることを理解することはできるのでしょうか?

もし実物大のものを用意して、カッターか何かで切断したら一番わかりやすいのでしょうが、入試会場ではできません。

やはり、頭の中にイメージするか、計算用紙に「立体的な図」を描いて考えるしかありません。

 

僕も、手書きの解答を作るときに、あれこれ試して描いてみたんですが、どうにも上手く示せずに時間を浪費しましたし、読者の皆様に分かりやすいような図に仕上がりまっせんでした。

 

やはり、立体は平面図形に切断して、その上で考える方が良いのでしょう。

切断自体は小学生や中1で習う技術なのですが、奥が深いものですね。

 

ということで、明日は(3)に参ります。

 

 

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2019年 東大数学 理系第3問(1) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問

出ました、空間図形。

東大では毎年頻出のテーマです。

去年の空間図形(第6問)は非常に難しかったですが、今年もなかなかの難易度です。

そして、苦手にする人が多いということで、3回に分けてアップしていきます。

丁寧にわかりやすく解説するので、長くなりますがお付き合いくださいませ。

さっそく見ていきましょう。

空間図形は、ほぼ必ず切断する。

まずは、空間図形の問題そのものの考え方から行きましょう。

平面図形は考えやすいけど、空間図形になると苦手という方がいますが、

それ、恐らく人類全体の悩みですよ(笑)

 

平面に比べて情報量が多いし、

そもそも平面に描かれた問題文という活字から、実物しない空間図形をイメージして取り組むわけですから、解きやすいわけがない。

 

この時に役立つのが、切断です。平面で空間図形を切断します。

受験数学において、「切断とは次元を落とすこと」です。3次元の空間図形も、切断すると2次元の平面図形に早変わり。

すると計算用紙(2次元)にも正確に描けて、考えやすくなる、という寸法なのです。

 

平面との共有点はどうなる?

では、平面で空間図形を切断するとどうなるか。

切断が苦手だという人も多いのですが、ここで使うのは2つだけです。

・平面と直線の共有点は、点。

・平面と平面の共有点は、直線。

この、2つの簡単な事実をもとに考察します。

 

ちなみに、当たり前すぎて、上に含めませんでしたが、

・互いに平行でない2つの平面は必ず交わり、共有点が直線(交線という)になる。

・互いに平行でない直線と平面は必ず交わり、共有点が点になる。

というのも、大事ですよ。

 

もう少し応用して、(イメージしながら読んでください)

・平面αと平面βが平行な時、どちらにも平行でない別の平面との共有点(交線)は、互いに平行である。

なんかもよく使いますけどね。

 

ただし、どれも別に難しいことではありません。ちゃんと図を描きながら条件を整理すれば、当たり前のことばかりです。

(1)y=0の切断面① 四角形が登場

では、(1)の解説に入ります。

とりあえず、正八面体をxyz平面上に描いてみましょう。ちょっと複雑ですが、書かないよりはイメージできると思います。

八面体の辺は赤色y=0の切断面は青色で登場します。)

 

今回は、y=0の平面での切断を問いている問題ですから、y座標が0の点を調べます。

すると、PAECの四点が出てきますね。

ここで注目したいのは、PとA、AとE、EとC、CとPが全て正八面体の辺だということです。つまり、y=0で切断したときに、他の点を考慮しなくてよいということです。

ということで、y=0の図示では、四角形PAECを描けばOK。座標も全て問題文に書いてありますから、そのままzx平面に書き込めばすみます。

 

(1)y=0の切断面②直線と平面の共有点は点

次に、平面αとy=0の共有点の図示に参りましょう。

ここで大事なのは、平面αも、y=0も平面ですから、書き込む図形は「直線」です。y=0の中に、どのように書き込めばよいか考えながら、進みます。

 

平面αの定義を考えると、「点Mと点Nを通り、直線AEに平行」です。

点Aと点Eは、先ほど言った通り、y=0の上の点ですから、そのまま答えの図に登場します。

しかし、点Mと点Nはy=0の上にありませんから、答えの図にMとNは登場しません。

 

そこで、直線MNとy=0の交点を考えます。

と言っても、M(1,1,0) N(1、-1、0)ですから、中点がy=0にあるのがすぐにわかってラッキー。

その中点をLとおくとL(1、0、0)が、直線MNとy=0との交点であり、答えの図に書き込む点です。

 

ここでも、「平面と直線の共有点は、点」を使いました。

 

(1)y=0の図を描いてみよう。

では、平面αを、実際にy=0に書き込んでみます。

するとこうなりますね。

(今後、平面αは緑色で登場します)

 

書き込んでみると、結構簡単♪

なにせ、点Lを通り、直線AEに平行な直線を求めるだけですから。

ということで、四角形PAECも、同じ図に書き込むと、こうなります。

平面αは、辺PCと交わるか、辺PAと交わるかが分からないので、場合分けをします。

ただし、これも図示してみようとすると、当然生じる疑問なので、難しくありません。(というか、場合分けをしないと描けない)

 

一応、(1)の答えの全体像をお見せしておきましょう。

(1)はこれで終わり。では、明日は(2)の解説に行きますね。

 

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2019年 東大数学 文系第2問 (絶対値の外し方、領域図示、傾きに注目)

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2019年 東大数学 文系第2問

 

今日は、文系第2問です。

なにやら複雑そうな問題ですが、一つ一つ解読していきましょう。

問題文で分かるものは、どんどん求める。

問題文を読むと、不思議な直線lの定義があります。なぜこういう記述をしたかよくわかりませんが、とにかく簡単なので求めてしまいましょう。x+y=4です。

 

次に、条件1において、ベクトルの内積が登場していますが、点Aも点Pも、問題文中に成分が定義されていますから、そのまま計算してしまいましょう。2x+2yですね。

すると、8≦2x+2y≦17ですから、辺々2で割って、直線の帯になる領域が得られます。

 

また、条件2において、点Oと直線lの距離cも簡単に求められちゃいます。

点Oはもちろん(0,0)ですし、直線lはx+y=4ですから、点と直線の距離の公式を遣ったら、c=2√2と求められます。

 

とこのように、なんかよくわからないうちに、色々な値が計算できてしまいます。

このようなものは、正確に計算するだけで部分点が(わずかながらでも)もらえますから、一気に計算してしまいましょう。

 

このブログでは、「手を動かす前に通読しろ!」という主張をいつもしていますが、このレベルの簡単な値であれば、むしろすぐに求める方が賢いでしょう。

具体的な値が分かった方が、見通しがよくなることが多いからです。

点と直線の距離の絶対値の外し方

さて、具体的に数字がわかる部分は、上で全て計算しましたから、他の部分に行きましょう。

dに関しては、点Pの座標が(p、q)ですから、具体的な数字になるわけがありません。考えても仕方ないので、これも計算してしまいます。

すると、分子に中身が文字式の絶対値が登場します。

 

|p+q-4|ですが、この絶対値の外し方をご存じでしょうか。

一番簡単なのは、右辺ごと2乗してしまうことですね。ただ、この場合は次数が上がってしまうので、常におススメする方法ではありません。

 

他には、場合分けをする方法ですね。当然、中身が正の時はプラスで外し、中身が負の時はマイナスをかけて外します。

これは、必ず外れるので、通常使う方法なのですが、場合分けが出てきて面倒です。

 

最後は、直線と点の位置関係を見る方法です。

点と直線の距離の公式の分子は、点を直線の式に代入したものになっています。

だから、点が直線より上にあるならプラスで外し、点が直線より下ならばマイナスで外す、という方法が有効です。

 

今回の問題は、点Pが直線lより上にあるか、下にあるかは不明なのですが、条件1の結果の式をよく見ると、絶対値の中身が正になる条件が得られます。

つまり、(条件1)かつ(条件2)の論理を考えると、絶対値が外れてしまうのです。

これを深堀して言うと、点Pは常に直線lより上側にあることが、結果的にわかるということですね。

ちなみに、点Pと直線lの位置関係が分かったところで、この問題を解くには不要な情報なのですが、知っておくと得する問題もあります。

領域Dを図示して、面積を計算

分かったところで、領域Dを図示してみましょう。直線と放物線の位置関係を注意して、共有点を求めつつ図示しましょう。

 

また、面積計算は、東大で頻出(というか、ほぼ必ず使う)1/6公式を利用すれ

ば、簡単です。

とりあえず、ここまで手書きの解答をどうぞ。

「cosΘの範囲を求めよ」の背景とは?

さて、(2)に行きましょう。OPとx軸のなす角Θに対して、cosΘのとりうる値の範囲を求めよ、という問題です。

これはsinやtanではダメです。なぜなら、Θの範囲を考えると、0<Θ<πの範囲なので、sinやtanでは、同じ角度が2つ登場してしまうからです。

 

さて、このような場合に考えることは何でしょう。傾きです。

このような問題のタイプは「線形計画法」などと言われますが、領域の共有点の問題と見せかけて、「傾きに注目する」問題です。

 

領域Dと共有点を持つような直線を求めて、その時のcosΘを求めるという流れを踏まえれば答えになります。

ということで、手書きの解答はこちら。

まとめ

今年の問題の特徴なのですが、方針自体は簡単に立つのに20点取るために必要な計算量が多い問題が目立ちました。

理系もそのような印象でしたし、計算量が多い問題を求めるのは、今に始まったことではなく、少し前から求められてきた能力です。

 

計算力は、幼少期の訓練が重要。

そうなると、中学受験の相対的位置づけが大事になる気がしますね。

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2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問(座標と図形、元と式の本数、最大最小)

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2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問

今日も解説行きましょう。

文系第1問と理系第2問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。

 

文系の問題はこちら

理系の問題はこちら

 

 

共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。

 

まずは、この話のカラクリを解説しましょう。

 

直角にかかわる図形が出たら、座標を設定せよ!

理系の問題を再度ご覧ください。

ただ単に正方形が与えられ、辺の上を点が動いています。

これを図形の問題として解くこともできるのですが、ここで大切なポイントがあります。

それは

「直角関係の図形が登場したら、座標を設定せよ!」

 

正方形、長方形、直角三角形や立方体など、角度に直角を含むような図形を見かけたら、座標の設定を考えるのです。

これにより、式の処理がとても簡単に済むことが多々あります。

 

それを踏まえて、文系の問題をみてみましょう。

問題文の中に、すでに座標が設定されていますね。

つまり、理系の問題は、「座標の設定ができるか?」という考え方を問われていたわけです。

 

元と式の本数を数えよ!

座標を設定すると、pとqとrの3文字が登場することが分かります。

このように、不明な量(連立方程式の時に登場する文字の数)を元と言います。中2で習ったアレは、2元連立方程式と言ったりしますよね。

 

これに対して、三角形の面積が1/3という条件が2つ。つまり、等式が2本立つことが分かります。

 

さて、3つの元に対して、2本の式が立ちますが、この数字が大切です。

解ける連立方程式では、元=式の本数

通常の連立方程式では、元の数と式の本数が等しくなって、全ての元の値が求められます。

例えば、

2x+3y=10

x-y=5

のような連立方程式ならば、2元で2式なので、xとyの値が求められる、といった具合。

このように、元=式の本数 の場合、連立方程式が解けるのです。

 

元ー式の本数 で残る文字の数が分かる。

この問題では、3元と2式の問題でしたが、このような時にはどうなるでしょうか?

結論から言ってしまうと、3-2=1と計算して、1文字分の不明量が残ると考えます。

公式化するなら、「元ー式の本数=残る文字の個数」だということです。

 

今回は、pとqとrの3元でしたが、どれか1つの元だけ残して、他の2つを消去するのです。

すなわち

①pとqを消去して、rを残す

②pとrを消去して、qを残す

③qとrを消去して、pを残す

の3方針が立つのです。

どれを採用しても、最後には1文字の問題になります。

文系(1)のカラクリを解き明かそう

これを踏まえて、文系(1)の問題をご覧ください。

「qとrをpで表し」とありますね。これは、上の3方針のうち

③qとrを消去し、pを残す

を採用する問題だということですね。

 

ちなみに、理系ならqを残す方針でも解けますね。お好きな方でどうぞ。

 

開始数分でここまで読め!!

そして、求めるのは何でしょうか?

文系では、CR/OQで、理系ではDR/AQとなってますが、文字に直せばどちらもr/qの値です。

 

しかし、上記の方針から、rもqもpで表すので、結局は

「(何らかのpの式)の最大最小を求めよ」

という問題になります。

 

さて、ここまで長々と書いてきましたが、ここまでは問題を見て、開始数分で検討すことです。解きながら気づいてはいけません。このような訓練を徹底的に積むと、本番でも容易にできるようになるでしょう。

 

では、手書きの解答をどうぞ、ご覧ください。

 

結局は3次関数

求めるのが分数式だったのですが、pに統一してしまうと、なんと分母に文字が消えて、ただの3次関数になってしまいます。

ということは、定義域を求めて、増減表を描いて終わり♪

 

これは、取りたい問題でした(文理ともに)

 

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2019年 東大数学 理系第1問(定積分、置換、計算力)

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2019年 東大数学理系第1問

では、今日から1問ずつ、東大数学の解説をしていこうと思います。

この理系第1問は、今年の入試で一番話題になった問題でしょうね。

 

東大は計算力のある学生を求めている

第1問に、ただの定積分の計算問題。

これは、かなりのショッキングです。東大数学では、話題になる問題が度々登場しますが、これもかなり話題になるでしょう。

東大数学では、昔に比べて、思考力よりも計算力重視になったといわれますが、これもその流れを汲んでいるような気がします。

 

僕が東大の理系に入学したときに、初めの数学の授業で

「2の3乗根を、少数第2位まで求めよ。」

という問題を出されました。

 

要するに、3桁くらいの3乗の計算をひたすら繰り返し、2を超えるかどうかをチェックし続けるという問題です。

 

日本の数学教育の特徴は、計算力だという指摘を聞きますが、それも失われているのでしょうか。

これはワナだ!!

そして、このような計算が面倒な問題が、しかも第1問に登場したら、「ワナの問題」です。

 

(あ、これは計算すれば解けるかも!!)

と瞬間的に思って飛びつき、一生懸命に計算していたら、ついつい4~50分経ってしまった。しかも、入試が終わったあと見直してみると、計算ミスを発見。

 

これで、4~50分も0点解答を作るのに時間を浪費した、不合格の受験生が出来上がり、というわけです。

 

「計算量が多い問題こそ警戒せよ」

というのが、数学の入試の鉄則なのです。

解法は基本的

では、解くために必要な問題を解説しましょう。

複雑な積分が登場し、どうやって計算するか悩むわけですが、重要な特徴は

・インテグラルの中身が、積になっている

・1+x^2が分母にたくさん登場する

・かならず置換積分を実行する

という3点でしょう。

 

カッコを展開してから計算するのか、それともいきなり置換を実行するのか。

などなど、色々と試して計算をします。

 

結局は、いきなり展開しても、いきなり置換しても解法が存在するのですが、すぐに判断するのはやや難しいので、やはり試しながら気づいていくのがスタンダードな解法でしょうか。

tanの置換か、分母をひとまとめの置換か

このような問題の場合、2つの置換の方針があります。

一つは、1+x^2を見て、tanの置換を利用する。

もう一つは、分母をひとまとめに置換する(1+x^2=t)

の2つの方針が登場します。

 

色々なタイミングで、色々と試して、可能な計算方法を見つけてください。

 

一応、私が解いた解法を載せておきます。(多分、結構かんたんな解法だと思いますが、いかがでしょう)

 

まとめ

すぐに積分の方針が経てば、即取り掛かり20点もらう。

すぐに方針が経たなければ、即飛ばす

という、典型的な問題でした。

新高3生の練習問題としても、良い問題ですね。ぜひ取り組んでみてください。

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2019年の東大数学【理系】を全て解いたので、簡単なコメント

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2019年 東大数学【理系】の簡単な分析

文系に引き続き、理系の問題にコメントしていきましょう。

文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。

確率が復活せず!!

とにかく、これが一番の話題でしょう。

確率が2年連続で出題されませんでした。しかも文系では出題されたのに。

これまで毎年必ず出てたのに、なぜ!?

 

基本的な計算問題が再登場

確率の代わりに、第1問に定着したのが、基本的な問題。

去年の第1問も衝撃的でしたが、今年の第1問もとても話題になりそう。

 

10~20年のスパンでも、計算力を問う問題が散見されていましたが、今年も顕著にみられました。

整数、空間、複素数平面など頻出分野が登場

そして、頻出分野はやはり出題。

整数、空間図形、複素数平面が出題されました。

やはり、東大理系を対策するには、必ず押さえなければならない分野。受験生の皆さんは、ちゃんと対策しましたか?

 

2019年東大数学 理系第1問

では、1問ずつコメントを。

去年の問題ほどではないですが、基本問題。数字や難易度を下げれば、教科書の例題と同じパターンに分類されてしまいます。

 

しかし、難易度はかなり高いでしょう。計算が面倒ですし、20点満点取るためにはそれなりの時間が必要。

現時点では、簡単だったという評価が多い気がしますが、僕はそれほど簡単だと思いません。

 

むしろ、第1問にこの問題が登場したのは、ある意味ワナでしょう。

入試では、1問目に計算が面倒な問題が登場した場合が、一番失敗しやすいのです。

 

計算に没頭して、予想以上の時間が取られてしまう、ということが起こりうる。

これを回避するには、日ごろから「計算が面倒な問題はワナ」「飛ばせば飛ばすほど、点数が最大化される」という基本動作を身に着けておくことです。

 

といっても、そういう戦略的な指導って、まだまだ珍しいみたいですが、残念。

 

2019年東大数学 理系第2問

文系と共通問題(一部)です。

文系では、PQRの座標が設定されていて、(1)で変数の扱いのヒントがありました。

 

しかし、座標の設定は、手足を動かすようにできなければなりません。

対策の仕方は簡単。

直角に関係する図形(正方形、長方形、直角三角形)が登場したら、座標を設定せよ

と覚えておけばよいのです。

 

変数の消去の仕方も、「全て立式してから考える」というのを徹底すれば、自然と決まります。

 

基礎をしっかり解いている良問だと思いますね。

 

2019年東大数学 理系第3問

 

体積の問題。

点がたくさん登場して、平面の切断に関してもイメージしづらく、(出題者の意図は違って)変なところで難易度が上がってしまった問題のような気がします。

 

八面体に関しては、過去にも出題されているので、解いた受験生も多いと思いますが、実は対策が難しい分野でもあります。

 

なぜなら、現在の受験数学は、図形的な考察よりも数的処理の考察を重視するからです。

この問題は、それほど図形的な考察が多い問題ではありませんが、立体図形は抽象度が高くなり、点数は低かったのではないでしょうか。

 

2019年 東大数学 理系第4問

文系と共通問題っぽいけど、理系だけの出題。

東大では最近頻出のユークリッドの互除法を使うと、(1)は瞬殺です。

 

(2)は多少、論述力が必要なので、やや難易度が高いですが、東大入試としては標準レベルでしょうか。

来年の入試でも、最大公約数は絶対に対策が必要でしょう。

 

2019年 東大数学 理系第5問

 

頻出の「微積分」の分野に、一応入る問題。しかしメインは極限です。

第2問も後半で微積分を使いますが、数Ⅲではないですし。あ、第1問も「積分計算」ではありますね。

 

今回は、具体的にわからない解を文字でおいて、極限を取るという典型問題です。(1)では、(左辺)-(右辺)をして、微分をするといういつもの流れでよいと思いますが、その正負や大小がやや面倒なきがします。

一方、(1)が解けたら、(2)は簡単。

(3)は、予測は簡単ですが、慣れていないと時間がかかるでしょう。

 

2019年東大数学 理系第6問

最後に複素数平面の問題。

条件1は良いとして、条件2も解となる方程式ですから、問題なし。

しかし条件3が変な条件です。

 

αβ+γδという見慣れない式と、虚部が存在するという条件をどう使うか、ぱっと見でよくわかりません。

 

結局、僕はさんざん色々試して、それぞれの複素数を直交系に直したら筆が進みましたが、初手が思い付かなくて挫折した受験生が多そうです、非常に。

 

まとめ

問題のラインナップとしては、すごく難しい問題がないのに対し、去年の第1問みたいなものすごく簡単な問題もありませんでした。

計算量も多く、発想力も必要という、盛りだくさんの内容でした。ごちそうさま。

 

 

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2019年の東大数学【文系】を全て解いたので、簡単なコメント

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2019年 東大数学【文系】の簡単な分析

ついに東大入試でしたね。

まだ受験生は終わってないですが、来年の受験生や保護者の方、同業者の方など注目しているでしょうから、例年のように簡単なコメントをしようと思います。

理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら

 

ベクトルの領域図示が3年連続で出題!

まずは、ニュース的な話題から。

最大の話題は、これでしょう。なんとベクトルの領域図示に関わる問題が3年連続で出題されました。

2018年の問題と解説はこちら

2017年の問題と解説はこちら

 

まさか3年連続で出るとは・・・。今後、受験数学界のトレンドに入りそうな予感がします。

来年も出ると踏んで対策をするか、もう出ないと踏むか、悩みどころでしょう。

 

確率は復活!!

一方、去年はまさか、出題されなかった確率が復活!

しかし、理系ではまた出題されませんでした。。。

確率は、共通問題になることが多かったんですが、これは驚きましたね。

 

またも、領域図示が出題!!

そして、去年3問も出題された、領域図示がまた出ました!

1問だけですが、かなりの頻度。やはり、これも今後のトレンド仲間入りなのでしょうか!?

 

2019年東大数学 文系第1問

では、1問ずつコメントを。

第1問は、理系と共通問題(一部)でした。

 

理系と比べると、誘導がかなり丁寧なのがわかるでしょう。

 

座標に設定するのも、問題文に明記されているし、(1)が設定されているおかげで、残す文字がpであるところも悩まなくて良い。

ということで、典型的な東大の問題といった感じ。

 

難易度もそれほど高くなく、部分点も取りやすいので、平均点は高くなるでしょう。

類題としては、2017年のこの問題でしょうか。かなり似ていると思います。

(難易度としては、これの方がやや高いか!?)

 

2019年東大数学 文系第2問

では第2問

 

これも部分点が取りやすい問題。

内積の計算や、cやdの値を求めるところ、条件1の条件図示などは、それほど難しくないので、サクサク進みます。

 

難しいのは、条件2の図示でしょうか。

点と直線の距離の公式の分子に絶対値が登場し、右辺にp-1の2乗。絶対値を外すのが、やや難しくなりそうで、手詰まりした受験生が多かったことでしょう。

条件1を考慮すると、絶対値が外れてしまうので、一気に領域図示までたどり着けるという問題でした。

 

(2)のcosの値は、接線の傾きを求めるのでしょうが、これもあまり難なく気付ける問題。(1)が解ければ、(2)もそのまま解けた人が多いような気がする。

 

2019年東大数学 文系第3問

復活した確率の問題。

しかし、東大の確率にしては、難易度が低いような気がします。

というのも、nが登場せず、具体的な数字だけで計算するからです。場合分けが(1)から登場しますが、それほど難しくなく、センターの難しめの問題と同じレベルと言っても良し。

 

一方、(2)は場合分けが面倒になりそうな問題ですね。

恐らく、ここで分からなくなって困った問題が多いでしょう。

ここで、突き進むか、止まるか、悩むところでしょうが、悩んだら止まるのが受験においては正解。

 

2019年東大数学 文系第4問

そして、3年連続で登場したベクトルの領域図示。

動点のベクトルが複数登場する処理を聞くタイプは、去年の問題とそっくりでした。

2018年のベクトル領域図示の問題

 

ただし(2)の証明は、内容の理解より、記述の仕方が難しい問題のような気がします。

現代文、古文や漢文、英語の英文和訳などでも、なんとなく分かっていることを言語化するのが難しい問題が頻出しますが、数学でも同じ。

まだ解説記事を書いていないですが、1997年のこの問題も、内容に理解よりも記述が難しい問題ですね。

 

まとめ

2016~2018年の3年で、簡単な問題が続いたというのが定説だと思いますが、今年もその傾向は引き継いだとみてよいでしょう。

詳しい解説記事も、どんどんアップしていくので、どうぞお楽しみに。

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2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問 の解説(漸化式、帰納法、整数の証明、背理法

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2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問

入試前日ですが、少しでもためになるようにと、今日もアップします。

 

 

今日も整数問題。

そして、これも東大で頻出パターンです。

 

本質的に同じ問題

これまでは、共役な無理数のn乗のパターンを書いてきましたが、今日は別の問題です。

しかし背景として同じ考え方を使っています。ぜひ、1997年の問題2003年の問題2017年の問題と比較してください。

 

これまでの3問は、帰納法で証明するために、3項間の漸化式を作っていましたが、この問題も(1)で漸化式を作らせています。

 

今回は、一見、30項間漸化式ではなく、anとbnの混合した漸化式ですが、実は3項間漸化式です。

このような、2種混合漸化式は、片方を消去してもう片方だけ残すと、3項間の漸化式が登場するのです。

(実際するかどうかは別)

 

また、(2)では、「anとbnが正の整数であることを証明せよ」という問題があります。これも、過去の3問と同じ。

 

ということで、①漸化式を作り、②帰納法で証明、③整数であることを証明などの点で、本質的に同じ問題なのです。

 

漸化式の作り方を、そっくりそのまま覚えよう

では、その漸化式の作り方ですが、これは超有名な方法です。そのまま覚えてほしいですね。

nに対して漸化式が定義されている時に、n+1の場合を2種類で表現して、恒等式で比較します。

 

具体的には、このような方法。

「2種類の式を作り比較する」という点が重要です!

 

「互いに素」の証明は、背理法を利用!

では、(2)の証明の最後に行きましょう。

「互いに素」の証明は、ほとんどテンプレで背理法をつかいます。

 

その理由ですが、「互いに素」な2数は立式ができないから。

xとyが互いに素というのは、「xとyに1以外の公約数を持たない」ですね。つまりxとyの間に関係式が立てられないのです。

 

そこで、背理法で条件を否定しますと、「xとyが1以外の公約数を持つ」となりますね。すると、

x=x’g

y=y’g (ただし、x’とy’は互いに素、g≧2となる自然数)

となり、最大公約数gを介して、xとyが関係を持てるわけです。

 

帰納法で背理法をはさめ!

さて、最後ですが、この問題の一番難しいところです。

それは、帰納法と背理法を同時に使わなければならないところです。

帰納法自体が、使ってよい式と使っていけない式で混乱しやすい技術なのですが、さらに背理法を同時に使うと、かなり混乱してしまうでしょう。

 

そこで意識するのは、背理法や帰納法の記述している範囲を明確に定めて使うということです。

 

これを意識して、手書きの解答をご覧ください。

帰納法のn=k+1の場合の中に、青い枠で背理法を利用しているのが分かるとおもいます。

 

 

まとめ

キーワード

漸化式、帰納法、整数の証明、あたりはいつも同じ。

これに加えて、背理法の利用法が加わった面白い問題でした。

とても良い問題ですので、ぜひ使えるように勉強してください!

 

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