2019年の東大数学【理系】を全て解いたので、簡単なコメント

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2019年 東大数学【理系】の簡単な分析

文系に引き続き、理系の問題にコメントしていきましょう。

文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。

確率が復活せず!!

とにかく、これが一番の話題でしょう。

確率が2年連続で出題されませんでした。しかも文系では出題されたのに。

これまで毎年必ず出てたのに、なぜ!?

 

基本的な計算問題が再登場

確率の代わりに、第1問に定着したのが、基本的な問題。

去年の第1問も衝撃的でしたが、今年の第1問もとても話題になりそう。

 

10~20年のスパンでも、計算力を問う問題が散見されていましたが、今年も顕著にみられました。

整数、空間、複素数平面など頻出分野が登場

そして、頻出分野はやはり出題。

整数、空間図形、複素数平面が出題されました。

やはり、東大理系を対策するには、必ず押さえなければならない分野。受験生の皆さんは、ちゃんと対策しましたか?

 

2019年東大数学 理系第1問

では、1問ずつコメントを。

去年の問題ほどではないですが、基本問題。数字や難易度を下げれば、教科書の例題と同じパターンに分類されてしまいます。

 

しかし、難易度はかなり高いでしょう。計算が面倒ですし、20点満点取るためにはそれなりの時間が必要。

現時点では、簡単だったという評価が多い気がしますが、僕はそれほど簡単だと思いません。

 

むしろ、第1問にこの問題が登場したのは、ある意味ワナでしょう。

入試では、1問目に計算が面倒な問題が登場した場合が、一番失敗しやすいのです。

 

計算に没頭して、予想以上の時間が取られてしまう、ということが起こりうる。

これを回避するには、日ごろから「計算が面倒な問題はワナ」「飛ばせば飛ばすほど、点数が最大化される」という基本動作を身に着けておくことです。

 

といっても、そういう戦略的な指導って、まだまだ珍しいみたいですが、残念。

 

2019年東大数学 理系第2問

文系と共通問題(一部)です。

文系では、PQRの座標が設定されていて、(1)で変数の扱いのヒントがありました。

 

しかし、座標の設定は、手足を動かすようにできなければなりません。

対策の仕方は簡単。

直角に関係する図形(正方形、長方形、直角三角形)が登場したら、座標を設定せよ

と覚えておけばよいのです。

 

変数の消去の仕方も、「全て立式してから考える」というのを徹底すれば、自然と決まります。

 

基礎をしっかり解いている良問だと思いますね。

 

2019年東大数学 理系第3問

 

体積の問題。

点がたくさん登場して、平面の切断に関してもイメージしづらく、(出題者の意図は違って)変なところで難易度が上がってしまった問題のような気がします。

 

八面体に関しては、過去にも出題されているので、解いた受験生も多いと思いますが、実は対策が難しい分野でもあります。

 

なぜなら、現在の受験数学は、図形的な考察よりも数的処理の考察を重視するからです。

この問題は、それほど図形的な考察が多い問題ではありませんが、立体図形は抽象度が高くなり、点数は低かったのではないでしょうか。

 

2019年 東大数学 理系第4問

文系と共通問題っぽいけど、理系だけの出題。

東大では最近頻出のユークリッドの互除法を使うと、(1)は瞬殺です。

 

(2)は多少、論述力が必要なので、やや難易度が高いですが、東大入試としては標準レベルでしょうか。

来年の入試でも、最大公約数は絶対に対策が必要でしょう。

 

2019年 東大数学 理系第5問

 

頻出の「微積分」の分野に、一応入る問題。しかしメインは極限です。

第2問も後半で微積分を使いますが、数Ⅲではないですし。あ、第1問も「積分計算」ではありますね。

 

今回は、具体的にわからない解を文字でおいて、極限を取るという典型問題です。(1)では、(左辺)-(右辺)をして、微分をするといういつもの流れでよいと思いますが、その正負や大小がやや面倒なきがします。

一方、(1)が解けたら、(2)は簡単。

(3)は、予測は簡単ですが、慣れていないと時間がかかるでしょう。

 

2019年東大数学 理系第6問

最後に複素数平面の問題。

条件1は良いとして、条件2も解となる方程式ですから、問題なし。

しかし条件3が変な条件です。

 

αβ+γδという見慣れない式と、虚部が存在するという条件をどう使うか、ぱっと見でよくわかりません。

 

結局、僕はさんざん色々試して、それぞれの複素数を直交系に直したら筆が進みましたが、初手が思い付かなくて挫折した受験生が多そうです、非常に。

 

まとめ

問題のラインナップとしては、すごく難しい問題がないのに対し、去年の第1問みたいなものすごく簡単な問題もありませんでした。

計算量も多く、発想力も必要という、盛りだくさんの内容でした。ごちそうさま。

 

 

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2019年 東大数学【文系】の簡単な分析

ついに東大入試でしたね。

まだ受験生は終わってないですが、来年の受験生や保護者の方、同業者の方など注目しているでしょうから、例年のように簡単なコメントをしようと思います。

理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら

 

ベクトルの領域図示が3年連続で出題!

まずは、ニュース的な話題から。

最大の話題は、これでしょう。なんとベクトルの領域図示に関わる問題が3年連続で出題されました。

2018年の問題と解説はこちら

2017年の問題と解説はこちら

 

まさか3年連続で出るとは・・・。今後、受験数学界のトレンドに入りそうな予感がします。

来年も出ると踏んで対策をするか、もう出ないと踏むか、悩みどころでしょう。

 

確率は復活!!

一方、去年はまさか、出題されなかった確率が復活!

しかし、理系ではまた出題されませんでした。。。

確率は、共通問題になることが多かったんですが、これは驚きましたね。

 

またも、領域図示が出題!!

そして、去年3問も出題された、領域図示がまた出ました!

1問だけですが、かなりの頻度。やはり、これも今後のトレンド仲間入りなのでしょうか!?

 

2019年東大数学 文系第1問

では、1問ずつコメントを。

第1問は、理系と共通問題(一部)でした。

 

理系と比べると、誘導がかなり丁寧なのがわかるでしょう。

 

座標に設定するのも、問題文に明記されているし、(1)が設定されているおかげで、残す文字がpであるところも悩まなくて良い。

ということで、典型的な東大の問題といった感じ。

 

難易度もそれほど高くなく、部分点も取りやすいので、平均点は高くなるでしょう。

類題としては、2017年のこの問題でしょうか。かなり似ていると思います。

(難易度としては、これの方がやや高いか!?)

 

2019年東大数学 文系第2問

では第2問

 

これも部分点が取りやすい問題。

内積の計算や、cやdの値を求めるところ、条件1の条件図示などは、それほど難しくないので、サクサク進みます。

 

難しいのは、条件2の図示でしょうか。

点と直線の距離の公式の分子に絶対値が登場し、右辺にp-1の2乗。絶対値を外すのが、やや難しくなりそうで、手詰まりした受験生が多かったことでしょう。

条件1を考慮すると、絶対値が外れてしまうので、一気に領域図示までたどり着けるという問題でした。

 

(2)のcosの値は、接線の傾きを求めるのでしょうが、これもあまり難なく気付ける問題。(1)が解ければ、(2)もそのまま解けた人が多いような気がする。

 

2019年東大数学 文系第3問

復活した確率の問題。

しかし、東大の確率にしては、難易度が低いような気がします。

というのも、nが登場せず、具体的な数字だけで計算するからです。場合分けが(1)から登場しますが、それほど難しくなく、センターの難しめの問題と同じレベルと言っても良し。

 

一方、(2)は場合分けが面倒になりそうな問題ですね。

恐らく、ここで分からなくなって困った問題が多いでしょう。

ここで、突き進むか、止まるか、悩むところでしょうが、悩んだら止まるのが受験においては正解。

 

2019年東大数学 文系第4問

そして、3年連続で登場したベクトルの領域図示。

動点のベクトルが複数登場する処理を聞くタイプは、去年の問題とそっくりでした。

2018年のベクトル領域図示の問題

 

ただし(2)の証明は、内容の理解より、記述の仕方が難しい問題のような気がします。

現代文、古文や漢文、英語の英文和訳などでも、なんとなく分かっていることを言語化するのが難しい問題が頻出しますが、数学でも同じ。

まだ解説記事を書いていないですが、1997年のこの問題も、内容に理解よりも記述が難しい問題ですね。

 

まとめ

2016~2018年の3年で、簡単な問題が続いたというのが定説だと思いますが、今年もその傾向は引き継いだとみてよいでしょう。

詳しい解説記事も、どんどんアップしていくので、どうぞお楽しみに。

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2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問 の解説(漸化式、帰納法、整数の証明、背理法

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2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問

入試前日ですが、少しでもためになるようにと、今日もアップします。

 

 

今日も整数問題。

そして、これも東大で頻出パターンです。

 

本質的に同じ問題

これまでは、共役な無理数のn乗のパターンを書いてきましたが、今日は別の問題です。

しかし背景として同じ考え方を使っています。ぜひ、1997年の問題2003年の問題2017年の問題と比較してください。

 

これまでの3問は、帰納法で証明するために、3項間の漸化式を作っていましたが、この問題も(1)で漸化式を作らせています。

 

今回は、一見、30項間漸化式ではなく、anとbnの混合した漸化式ですが、実は3項間漸化式です。

このような、2種混合漸化式は、片方を消去してもう片方だけ残すと、3項間の漸化式が登場するのです。

(実際するかどうかは別)

 

また、(2)では、「anとbnが正の整数であることを証明せよ」という問題があります。これも、過去の3問と同じ。

 

ということで、①漸化式を作り、②帰納法で証明、③整数であることを証明などの点で、本質的に同じ問題なのです。

 

漸化式の作り方を、そっくりそのまま覚えよう

では、その漸化式の作り方ですが、これは超有名な方法です。そのまま覚えてほしいですね。

nに対して漸化式が定義されている時に、n+1の場合を2種類で表現して、恒等式で比較します。

 

具体的には、このような方法。

「2種類の式を作り比較する」という点が重要です!

 

「互いに素」の証明は、背理法を利用!

では、(2)の証明の最後に行きましょう。

「互いに素」の証明は、ほとんどテンプレで背理法をつかいます。

 

その理由ですが、「互いに素」な2数は立式ができないから。

xとyが互いに素というのは、「xとyに1以外の公約数を持たない」ですね。つまりxとyの間に関係式が立てられないのです。

 

そこで、背理法で条件を否定しますと、「xとyが1以外の公約数を持つ」となりますね。すると、

x=x’g

y=y’g (ただし、x’とy’は互いに素、g≧2となる自然数)

となり、最大公約数gを介して、xとyが関係を持てるわけです。

 

帰納法で背理法をはさめ!

さて、最後ですが、この問題の一番難しいところです。

それは、帰納法と背理法を同時に使わなければならないところです。

帰納法自体が、使ってよい式と使っていけない式で混乱しやすい技術なのですが、さらに背理法を同時に使うと、かなり混乱してしまうでしょう。

 

そこで意識するのは、背理法や帰納法の記述している範囲を明確に定めて使うということです。

 

これを意識して、手書きの解答をご覧ください。

帰納法のn=k+1の場合の中に、青い枠で背理法を利用しているのが分かるとおもいます。

 

 

まとめ

キーワード

漸化式、帰納法、整数の証明、あたりはいつも同じ。

これに加えて、背理法の利用法が加わった面白い問題でした。

とても良い問題ですので、ぜひ使えるように勉強してください!

 

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問 の解説(過去問とそっくり)

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。

 

 

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

 

実は、この問題の解説を書くのは2度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の1997年の問題と、前回の2003年の問題の流れで見てほしかったからです。

 

「いやいや、今回は共役な無理数がないじゃないか」

と思うかもしれませんが、ありますよ、ちゃんと。

 

pに対し、-1/pが登場していてわかりづらくなっていますが、計算してみるとちゃんと共役になるのです。

ちなみに、p=2+√5に対して、-1/pは2-√5になります。

こざかしいマネをしてますが、東大の整数の歴史をたどれば、連想するのは当然なのです。

過去の問題と比較しよう

では、1997年の問題と、2003年の問題と比較してみてみましょう。

この2回で書いたのは、共役な無理数のn乗が登場したら、帰納法で整数だと証明させていました。

その時に必要なのは、漸化式。もっと言えば、3項間の漸化式が得られて、強化帰納法を使うのでした。

 

それを知っている前提でこの問題を見てみましょう。

 

おやおや、(1)でa1とa2を求めているぞ。

(2)では、a1anをan+1とan-1で表せとな。ということは、3項間の漸化式を作れということに他ならない。

そして、(3)では自然数になることの証明。

 

なんだ、同じじゃないか!!

 

となるわけです。

(2)の漸化式の作り方も、a1anから作ろうとすると難しいけど、いつも通りの作り方をすると、ごくごく自然。

ということで、(3)までは瞬殺の問題なのでした。

 

(4)の発想も自然にユークリッド

では、(4)に行きますが、出題された当時は、ユークリッドの発想が難しいと噂になってましたが、そうですか?

僕からしてみると、自然な発想なのですが。

 

だって、最大公約数に絡む技術って、2つくらいしかないですもの。

 

一つは最大公約数と最小公倍数をgとlっておいて、

①a=a’g

②b=b’g(a’とb’は互いに素)

③l=a’b’g

④ab=gl

の4式を立てる方針。

 

二つ目がユークリッドの互除法です。

 

確かにユークリッドの互除法を漸化式に使う発想は難しい(というか慣れていない)かもしれませんが、着想はできるはず。

 

ということで、手書きの解答です。

 

 

ということで、今回は力を抜いてこれくらいで終わりましょう。

 

いや~、過去問を解くのって大事ですね。

 

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2003年 東大数学 文系第3問 理系第4問(整数と漸化式、帰納法、1の位、周期性)

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2003年 東大数学 文系第2問 理系第3問

受験直前期で多忙のため、頻度が落ちてますが、書く気はまんまんなのです。

お待たせしました。

今日は2003年の整数です。

 

前回の1997年を読んでない方は、先にそちらをどうぞ。

 

では、問題です。文系はこれで、

 

 

理系はこちら

 

ぱっと見、似てることはお分かりでしょう。

しかし、実は与えられた式がちょっとだけ違う!!(文系は+1に対して、理系はー1の部分があるでしょ!?)

凝った作りしてますね。実はこの違いで、問題が大きく分岐する問題でした。

 

それでは、解説行きましょう。まずは文系から。

理系の問題は、文系の後に描きますが、文系の部分を読んでから進んでくださいね。

 

共役な無理数を、n乗して足すと整数←有名事実

まず(1)ですが、これは前回の1997年の記事をとほとんど同じです。

そして(2)の前半では、Snが正の整数であることを示すのですが、Snが正だというのは一瞬で証明できるので、Snが整数であることを示すのに全力を出してよくなります。そして、そのために必要なので、漸化式を作るという流れになります。

そして、ここまで含めて1997年と同じです。

 

と言いつつも、ちょっとだけ補足をしておきましょう。

1997年の問題では、具体的にaとbの値を求めませんでしたが、求めようと思えば求められました。

今回の2003年の問題でも、2次方程式を解けば、共役な二つの無理数解が得られます。(2+√3と2-√3)

 

あまり知られてませんが、「共役な複素数」という言葉があるように、「共役な無理数」と言い方もします。無理数の符号が逆の2数を「共役な無理数」といいます。

 

そして、共役な無理数を、それぞれn乗して和を取ると(つまり、今回のSnのこと)、必ず整数になるのです。

 

これを証明させるのが、1997年の問題であり、今回の2003年の前半部分なのです。(大雑把に言えば)

 

具体的には、3項間漸化式を立てて、強化帰納法で証明するというもの。

細かい計算はこうです。

 

これは、有名な証明ですし、東大で頻出ですから、ぜひとも覚えてしまいましょう。

 

証明法その2

せっかくなんで、これの証明法の別バージョンをご覧ください。こちらも有名な証明法です。

方針としては、αのn乗の「有理部」と「無理部」を数列で表し、βのn乗と一致することを示して、和を取るわけです。

いずれにせよ、結論が整数になるので、しっかり覚えておきましょう。

 

文系(2):1の位の数を求める2つのキーワード

では、(2)の後半。Snの1の位を求める問題です。

 

さて、1の位を求めると聞いて、何を思い出すでしょうか?

キーワードを2つ覚えてください。

 

1つ目が「合同式」の利用ですね。(東大数学では、超頻出です。)

 

1の位の数というのは、10で割った余りと全く同じです。

よって、mod10を計算すればよいことになります。

 

そして、2つ目のキーワードが「周期性」です。

中学受験でも、1の位を計算させることがありますが、中学受験から全く進化せず、東大受験だろうがやることは同じ。周期を探すのです。

 

今回は、

S1≡4

S2≡4

S3≡2

S4≡4

S5≡4

S6≡2

 

となるので、どうやら、4、4、2・・・と続くのではないかと予想します。

 

周期性の証明方法2つ

あとは、これが延々と続くことを示せばよいのですが、この証明方法が2つあります。

 

1つ目は、漸化式をいじって証明するというものですが、これはラッキーでないと証明できません。

今回の漸化式をいじってみましたが、うまくいかなかったので挫折しました。

 

もう一つは帰納法です。

さっきのに比べて、かなり面倒臭いのですが、確実なので仕方なくても帰納法を使いましょう。

このようになります。

 

文系(3)またまた1の位

では、文系の最後の問題に行きましょう。今度はα^nの1の位を求めよ、となっています。

Snは整数でしたが、α^nは無理数のn乗ですから整数になりません。果たしてどう証明するのでしょうか。

 

この問題は、問題集や参考書に同じパターンが載ってないので、難しかったと思いますが、βがものすごく小さい値だということを利用します。

本番でこの発想が出てきたら、大興奮するでしょうね。

 

具体的には、βは0から1の間の数です。これだけ調べられればOK。

だって、Snから1未満の数を引いたのがα^nだとわかるわけですから、Snの1の位から1を引けば、答えが出ます。

 

ということで、手書きの解答はこちら。

 

 

理系第4問(2):ただの計算問題だが・・・

では、調子にのって、理系の解説も一気に行きましょう

理系の(1)に関しては、文系の(1)とほとんど同じなので割愛。(2)からスタートします。

 

(2)の問いは、「β^3以下の最大整数を求めよ」というもの。

「え??要するに、数値計算するだけでしょ??」

ということで、非常に簡単な問題に思えます。

 

さっそくβに値を代入してみます。すると、かなり面倒臭い近似が必要な値が出てきました。(当たり前のように、字数下げを行いましょう。)

 

ということで、代入するのはおススメしません。

 

 

では、どうするかというと、もっと簡単♪

そもそもβの値が、-1<β<0を満たすので、3乗してもー1と0の間にあります。

これだけで証明終わり。

 

すぐに代入するっていうのは、良い結果にならないことが多いので、覚えておいてくださいね。

 

理系(3)いつものフォーマットで、正の整数を証明

では最後。

(3)では、α^2003以下の最大整数の1の位の値を求めます。

 

さて復習。

1の位と言ったら?合同式なので、当然のように合同式を使うのですが、

そもそも、Snが整数になるという証明がされていません。

ということは、合同式がまだ使えないということですから、まずはいつものフォーマットで、Snが正の整数になることを求めましょう。

 

これで、Snに対して、合同式を使えるようになりました。下準備完了。

-1<β^2003<0の証明

では、次の問題は、Snとα^nの関係です。

実は、(2)がフリになっていて、βの3乗でもほとんど0ならば、βの2003乗は、もっと0付近だろうということに気づかせたいのでしょう。

 

ということで、(2)と同様で、-1<β^2003<0を証明します。

これは、簡単に済ませましょう。

 

1の位は、周期性→証明

最後に、Snの1の位に行きましょう。

文系の問題と同じように、合同式で周期性を発見し、それを証明します。

証明法も、漸化式で済ませようと思ったら失敗したので、帰納法に進むのも同じ。

ということで、全体の解答をどうぞ。

 

 

まとめ

このタイプの問題が東大では頻出です。

整数の証明、帰納法、漸化式、あたりで問題を解かせる問題よく出ます。

まだ、このシリーズを続けて解説行きますので、どうぞ次回をお待ちくださいませ。

 

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和歌の本紹介 その3

和歌の本紹介の第3弾、今回は本格的な本をご紹介します。
私が和歌の勉強でお世話になっている
国民文化研究会(通称:国文研)が発行している本です。


小柳陽太郎著『名歌でたどる日本の心』
神話の時代から、昭和の時代までの和歌が解説されています。
様々な偉人のことを知る機会にもなりますよ。

明治~昭和に活躍された三井甲之(みついこうし)先生の一首をご紹介します。

ますらをの悲しきいのちつみかさね
つみかさねまもる大和島根を

(遠い古より次々に尊い生命が捧げられ、国の命が守られてきたという、祖国防護の悲願を歌い上げた名歌です。
この歌は靖國神社の「遊就館」にも壁面高く掲げられています)


そしてもう1冊、国文研の本をご紹介します。
夜久正雄・山田輝彦著『短歌のすすめ』
和歌のまごころを理解するのに最適な本です。
合宿の中で学生たちが初めて和歌を詠むための教科書であり、
その学生たちの率直な感想なども書かれてあります。

万年筆紛失を詠んだ和歌をご紹介します。
こんな感じで詠んでいいんだ♪と思いますよ。

カキナレタ万年筆ヲ見失ツテ
モノヲ書クノガオツクウニナツタ

(書き慣れた万年筆を見失って、ものを書くのが億劫になった)
現実の経験を平易な言葉で詠まれています。

今回の2冊が気になった方、ぜひ一緒に短歌の会に参加しましょう☆
毎月第4土曜日の朝10時から、
渋谷で短歌の会があります。
ご連絡くださいませ~☆

和歌の本紹介 その2

和歌の本紹介の続きです。
日本最古の和歌集である『万葉集』をわかりやすく紹介している本を2冊オススメします。


こちらの本は、イラストがかわいくてジャケ買いしました(笑)。
松岡文著『よみたい万葉集』
恋愛の和歌が多くて、読みやすいですよ。

君が行く道の長手を繰り畳ね焼き滅ぼさむ天の火もがも
(流罪になった夫が恋しくて、「あなたが行ってしまう道を焼き滅ぼす火があればいいのに」と言っています。天変地異でも良いから、なんとかして夫に帰って来て欲しいと祈る心、切ないですね)


もう1冊、訳がとっても面白い本をご紹介します♪
中村博著『万葉集みじかものがたり』
なんと、訳が関西弁です。
しかも、「5・7・5・7・7」で訳してくれています^^

例えば
《庭植えた 撫子(なでしこ)咲くん 楽しみや
お前や思て わし見よ思う》
我がやどに 蒔きしなでしこ 何度(いつ)しかも
花に咲きなん 見倣(みぞ)えつつ見ん
大伴家持

親しみがわく訳ですよね♪
『万葉集』が気になる方、ぜひ手に取ってみてください^^

和歌の本紹介 その1

和歌の本紹介 その1
こんにちは!

「和歌の本を紹介して欲しい」という嬉しいご依頼をいただきましたっ!!
(素人ながら何十冊も和歌に関する本を読んでおりまして、勉強・発信しています。
過去には和歌について話して演説大会で準優勝をいただいたこともあります。)

そこで、初学者向けの本を何冊かご紹介しようと思います。

まずは、この依頼をしてくださった方が向上心溢れる方なので、
「ためになる」本を選びました。
「道歌(どうか/みちうた)」や「教訓歌」の本です☆

和歌の中には、生きる知恵を教えてくれる和歌がたくさんあります♪
それを集めた本を4冊紹介しますね。


斎藤亜加里著『親から子へ代々語り継がれてきた教訓歌』
この本のトップバッターで紹介されている和歌は、上杉鷹山のこちら
為せば成る為さねば成らぬ何ごとも
成らぬは人の為さぬなりけり

(やればできるよ!という応援歌ですね^^)


次も同著『道歌から知る美しい生き方』
私はこの本で出合ったこの和歌が好きです。
われ人に恵みしことは忘れても
人の恵みは永く忘るな

(私の大好きな言葉「かけた情けは水に流し 受けた恩は石に刻め」と同じです☆)


3つ目は岡本彰夫著『道歌入門』
これに載っていました故・田中角栄が色紙に好んで書いたと言われている道歌が印象的でした。
末つひに海となるべき山水も
しばし木の葉の下くぐるなり

(隠れた苦労が身を結ぶという意味です。泥臭い努力をされたんだろうなぁと感じます)

続いて、鹿児島旅行をした際に、
公園の石碑に何十首も書いてあった「日新公いろは歌」について。

髙城書房編『日新公いろは歌』
戦国武将の島津忠良が作り、薩摩藩の「郷中教育」の基本精神となったものです。
いにしへの道を聞きても唱えへても
わが行いにせずばかひなし

(立派な教えを聞いても、自分の行動に反映させないと意味が無いという意味です。本当にその通りですね!)

ちなみに、私が以前書いていました「和歌ブログ」もオススメです。
ゆる~い雰囲気で書いているので、ご笑覧ください♪

東大足切りライン発表!!意外な結末。文Ⅲ最高水準の高さ、理Ⅰと理Ⅱで逆転現象!

◆東大合格塾「敬天塾」◆

1期生合格率100%、塾生の約45%が東大に進学する塾) 

立ち上げ初年度から、東大合格者を輩出。

 1年後の東大合格を目指すなら、私の塾の門をたたけ!

一人の先生が、全科目のバランスが取れた最適な戦略を指導
日本一、東大の過去問を徹底的に分析
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東大の過去問を、上から見下ろす経験を毎週体験
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東大の足切りラインが発表された!!

東大の足切りラインを最も正確に予想する方法をもとに、毎日足切り状況の速報をアップしています。出願者数は東大のHPのこのページで、毎日更新されています。★

 

ついに足切りラインが発表!!

ちょっと意外な結末になりました。まずは、点数を見てみましょう。

 

文系では文Ⅰが最低に

最終局面で、文Ⅰに出願が殺到しましたが、結局文Ⅰは例年通り、足切りが低い結果になりました。
2012年と同じで、センターの平均点が高く、文Ⅰの足切りが上がるかという予想もありましたが、そうはならず。
 

文Ⅲが過去最高水準へ

そして、文Ⅲが過去10年で最高水準の高さでした。
文Ⅱと文Ⅲで出願を迷った人は、文Ⅱが正解という結果に。
僕も、文Ⅲでここまで高くなるとは思いませんでしたので、びっくりしました。
何度も書いていますが、文Ⅲだけは、出願数と足切りラインの相関が低いという、謎の科類なので、今年もその傾向が踏襲されました。

 

理Ⅰと理Ⅱで逆転現象!

また、びっくりしたのが、理Ⅰと理Ⅱで逆転現象!
例年、合格最低点も足切りラインも理Ⅰが高く、理Ⅱが低いのですが、今年は足切りで逆転しました。しかも20点以上。
これは驚き。
理Ⅰと理Ⅱで迷った人は理Ⅰが正解だったという、予想しづらい結末に。
 
 

各科類の予想の比較

では、足切り予想比較をしてみましょう。
予備校の予想は、出願前に発表されたもの。
私の予想は、受験生の志望のデータなどは一切考慮せず、出願数の過去データと今年の速報を比較しただけのものです。
 
文Ⅲは完全に予備校の予想が正確でしたね。さっきも書きましたが、なぜ文Ⅲだけ出願数と相関が低いのでしょう。
 
他の科類で言うと、文Ⅰと理Ⅲは最も高く予想、文Ⅱと理Ⅰは最も低く予想したという点で、多かれ少なかれ意味のある予想だったのではないでしょうか。
理Ⅱは駿台がピタリ賞ですが、僕も他予備校もほとんど同じ予想でした。
 

まとめ

足切り突破できた受験生、おめでとうございます。
多忙でして、中々ブログが更新できないのですが、最後まで東大受験生の応援をしています。
来年度の塾生の募集も行っておりますので、ご興味を持って下さった方、よろしければ塾生募集ページだけでもご覧ください。。

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皆さんが、本番で実力を発揮できますよう。
 
 

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1997年 東大数学 文系文系第1問(強化帰納法、3項間漸化式、対称式)

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1997年 東大数学 文系第1問

さて、数学の解説記事の復活です。整数問題の克服をさせていきましょう。

まずは問題からです。

 

 

これまで2回分、東大の整数問題を解説書きましたが、その2問は基本中の基本。

今回の問題からは、東大らしい整数問題を連続して扱います。

ちょっと古いですが、まずはこれをおさえると良いでしょう。

では、解説スタートです。

 

有名事実の証明問題!

さてこの問題、有名事実の証明をする問題です。
物理なんかでは、公式の証明自体が入試問題になることがありますが(典型的なのは、気体の分子運動論など)数学では、少し珍しいですね。
この問題に関しては、証明の過程まで含めて覚えてしまうのが良いでしょう。
では、具体的に流れを見ていきます。

 

問題の流れが、強化帰納法になっている。

これはどういう問題かというと、
a^n+b^nに対して、
n=2の時と、n=3の時に4の倍数となれば、あらゆるnで4の倍数となることを証明する問題です。
 
実は、n=2からスタートではなくて、n=1からスタートしても成立します。
つまり、

「n=1の時と、n=2の時に4の倍数となれば、あらゆるnで4の倍数となる」

というのが有名事実です。
 
この赤字の部分が有名事実なわけですが、よく読むとまさに「強化帰納法」そのものになっていることがわかりませんでしょうか?
 
数学的帰納法は、
n=1の時の成立を示すと、あらゆるnに対して成立することを証明する方法ですが、
これの発展版として、強化帰納法があります。
 
そして、帰納法でも、強化帰納法でも、証明するときによく使うのが「漸化式」です。
では、a^+b^nに関する漸化式はどうなるでしょう?
 

漸化式を作ってみよう

作り方は簡単です。
a^n+b^nに対して、基本対称式であるa+bとabを利用して、少し次数を下げながら等式をつくります。
 
ここで、登場するのが、n-1乗の部分と、nー2乗の部分です。
つまり、n乗と、nー1乗と、n-2乗の3つの部分の関係式(3項間漸化式)が登場するということです。
 
3項間漸化式に対して使う漸化式は、普通の帰納法ではなくて、強化帰納法です。ということで、a+bとabの値が欲しくなります。
 
それが、(1)の問題です。
つまり(1)は、(2)で強化帰納法を使う際に出てくる漸化式を作るために必要な値を求めさせる、誘導問題だということなのです。

 

(1)対称式から基本対称式を求めよう

では、(1)を見てみましょう。
普通の対称式の問題より、少し計算が面倒なだけで、本質はただの連立方程式の問題です。
a^2+b^2と、a^3+b^3の両方を、基本対称式で表し、加減法や代入法で一つずつ求めるだけですね。
これに関しては、あとで手書きの解答を見てください。

 

(2)漸化式を使えば、非常に簡単

そして(2)ですが、強化帰納法に、求めた値と漸化式を代入すれば、難しいところが全くありません。
「4の倍数と4の倍数を足したら、4の倍数になる」という、至極当たり前な事実を、わざわざ帰納法の中で示しているにすぎません。
 
ということで、手書きの解答をご覧くださいませ。
 
 

まとめ

今日は、次回以降の導入編
強化帰納法や、3項間漸化式を自分で作る技術などが、東大では非常に大事で頻出です。
よく復習してから、次回以降の問題をごらんくださいませ。

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全科類で足切り発生確定!文Ⅰに出願が殺到!東大の足切り状況速報2019年10日目

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東大の足切り速報2019年受験10日目

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ついに締め切り日。

ということで、今日の数字でほとんど出そろいました。

一応、集計に漏れた願書の分があるようで、明日にもちょっとだけ増えますが。

 

 

さあ、今日の速報値は!?

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

10日目の状況:理Ⅲ以外で足切り発生確定!

最終日、文系は文Ⅰに集中したようです。
確かに、予備校の予想では文Ⅰが低かったですし、例年も低い値です。殺到するのも無理はないかもしれません。
理系は理Ⅰも理Ⅱも同数くらいの出願がありました。確かに読みづらいところだったので、納得の結果かもしれません。
昨日の時点で、足切りが発生しない可能性のあった、文Ⅲと理Ⅰ、理Ⅲでも、足切りを超える願書が届いたようなので、足切りが発生します。

文Ⅰの状況

昨日から今日で、一番出願が増えた科類。
勢いが気になるところですが、過去のデータを見る限りやはり700点まで到達しない可能性が高い出願数と言えるのではないでしょうか?
センターの平均点が高かった2012年と同じように、足切りラインが高くなるのではないかと噂されていたようですが、そこまでの数字にはなりませんでした。

文Ⅱの状況

昨日から今日で100通弱の伸び。それほど出願は増えませんでした。文Ⅰに流れたせいでしょう。
しかし、ほとんど同数だった2011年は738点ですが、2018年は703点にとどまっています。
読みづらいですが、2011年はここ10年でもとびぬけて高い数字になったため、異常値とみるならば、せいぜい700~720点くらいに収まるのではないでしょうか。

文Ⅲの状況

例年、足切りが最も高くなる文Ⅲ。今年は予備校の予想が高かったため、願書の伸びが緩やかになり、低めの水準で落ち着きました。
ほとんど同数だった、2014年は657点と低い時もあれば、2011年は742点。かなりブレています。
そうなのです、実は文Ⅲは願書数と足切りラインの相関が、以上に低い科類なのです。

参考:東大の足切りラインと、出願数の相関係数を求めてみた

上記の通り、予想が非常に難しいので、勘にすぎませんが、720点前後になるような気がします。

理Ⅰの状況

最大の定員、最大の選抜人数を誇る理Ⅰですが、昨日から136件しか増えていません。これは文1よりも少ない数です。
もうほとんどの生徒が出願を済ませてしまっていたとみるか、東大を避けて他の大学に流れたとみるかはわかりません。
理Ⅱも150件程度した増えていないことを踏まえると、理Ⅱに流れたわけでもなさそうです。

過去データからの予想は、700~720点ほどでしょうか。

理Ⅱの状況

最終的には、高くも低くもない数字に落ち着きました。
近い数字としては、2011年の708点、2015年の708点、2017年の701点ですので、予想としても700~710点となります。
理Ⅰか理Ⅱか、迷っていた生徒もそれほど多数ではなく、均等に分散された印象です。

理Ⅲの状況

最も足切りから遠かった理Ⅲでも足切りが発生。しかし過去最低の数字でもあります。
ただし、予想としてはかなり低め。過去のデータから言えば、600点を切ってもおかしくないでしょう。

まとめ

今日でほとんど数字が固まりましたので、あとは結果を待つのみ。
今年も非常に多くの方にご覧いただいたようで、大変ありがとうございました。
これから東大の試験日までは、数学の入試の解説記事をアップしていこうとおもいます。直前期で、非常に忙しいのですが、1本でも多く配信できるよう頑張ります。
また、来年度の塾生の募集も行っております。
ご興味を持って下さった方、こちらが塾生募集ページですので、見るだけでもどうぞおねがいします。

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(あ、でも、明日も最終の数字の記事、アップしますよ。)
※はじめ、理Ⅲの倍率に入力ミスがあり、正しくない内容で記事を配信してしまいました。すみませんでした。

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文Ⅲと理Ⅰが足切り低くなる展開に!! 東大の足切り状況速報2019年9日目

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『笑う数学』が重版出来!!3刷になりました。

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東大の足切り速報2019年受験8日目

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ついに、締め切り前日の数字が発表になりました。

この後に出願する人はかなり少数でしょうから、もう数字が伸びることはないでしょう。

 

さあ、今日の速報値は!?

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

9日目の状況:出願数の伸びが少ない!

今日のニュースとしては、足切りが発生確定した科類があるということですね。
具体的には、文Ⅰ、文Ⅱ、理Ⅱで、足切りが発生することが確定しました。(定員)×(倍率)の数字を超えたということです。
残りの、文Ⅲ、理Ⅰはギリギリ足切りが発生しない点数で、理Ⅲはまだまだ余裕がある状態です。
 
具体的に、一つずつ見ていきましょう。

文Ⅰの状況

文Ⅰですが、今日になり数字が急激に伸びました。ここ6年で最も多い出願数です。
2011年と2012年は、もっと高かったのですが、多すぎた異常値だとみなせば、過去最高水準だといえます。
文Ⅱや文Ⅲから流れてきた人も多いのでしょうね。足切りを気にしているのかもしれません。
過去のデータからいくと、650~700点の間に収まりそうです。(文Ⅰはいつも出願が少なくて、予想が難しいのです)
 

文Ⅱの状況

昨日から今日で、急増しました。文Ⅲの足切り予想が高く、過去の数値も高いため、文Ⅱに流れた人も多いのでしょう。
しかし、文Ⅰに流れた人も多いでしょうから、この流れがどう影響を与えるか、予想が難しいところ。
過去のデータからいくと、700~710に収まるような数値です。
今から郵便局に駆け込むなら、文Ⅲの方が安全でしょう。
 

文Ⅲの状況

文Ⅲは最後の伸びがいまいちでした。思ったより数字が伸びなかった印象です。
まだ足切り発生が確実でもないですし、過去の流れとは違う印象です。
もしこのまま伸びが遅ければ、700点未満になるかもしれません。
 

理Ⅰの状況

昨日に引き続き、過去最低水準の推移です。足切りが574点という極めて低かった2013年より少し多いだけの状態。
2017年とほぼ同じ数字ですが、この年は660点ですから、同じくらいに収まるかもしれません。
このままいくと660~700点になりそうだと、過去のデータから見えてきます。

理Ⅱの状況

例年とほぼ同じくらいの推移です。
元々は多めの推移でしたが、まあまあな数字まで回復してきました。
理Ⅰが少ないため、理Ⅱに流れたと思いきや、理Ⅱもそれほど多いわけではないので、出願を避けた人が多いのか!?
現時点では、過去データから700点~710くらいの気がします。
今から郵便局に駆け込むなら、理Ⅰの方が安全でしょう。
 

理Ⅲの状況

相変わらず過去最低の数字を記録し続けています。
足切りナシの可能性がかなり高く、発生したとしてもかなり低い数字になるのではないでしょうか。
予備校の予想から大きくずれそうです。
 
 
さあ、これで数字がそろいました。
文科、理科ともに東大への出願数が少ないため、足切りラインが全体的に下がりそうな傾向です。
さあ、どうなるのか!?
明日も速報ブログ書きますので、お楽しみに。
 

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安全に出願するなら、文Ⅰと理Ⅰか!? 東大の足切り状況速報2019年8日目

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さあ、ついに東大の足切りにおいて、もっとも重要な数字が発表されました。

今日は、土日月の3日分の願書が集計され、明後日が締め切りという、ギリギリ待てる日。

まだ出願をためらっている人も、今日の数字で決めるのがほとんどでしょう。

 

さあ、今日の速報値は!?

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

8日目の状況:出願数の伸びが少ない!

開始時には、過去最高水準で出願数が伸びていましたが、徐々に勢いが弱まり、今日の数字ではむしろ少な目の数字になった科類が多いような気がします。
どの科類もあまり差はないのですが、やはり当初の予測と同じで、
「足切りを超えるだけなら文Ⅰが安全」だと思います。
 
理系に関して言えば、なんと理Ⅰで過去最低程の数字を記録しました!
これはびっくり!
では理Ⅱに流れているかと言えば、理Ⅱもそれほど高い数字ではありません。
つまり、根本的な出願数が少ないということ。
 
理Ⅰはまだ足切り発生まで300通以上の余裕がありますから、足切りナシの可能性も出てきました。
最も足切りが低くなりそうなのは理Ⅲですが、理Ⅲは特殊なので理Ⅰと理Ⅱの比較をするなら、理Ⅰが安全な可能性が高そうな気がします。(ほとんど勘に近いのですが)
 
私のブログで、出願を考えている人もいらっしゃるようですが、私は予言者でもなければ、東大関係者でもありませんから、当てにしすぎないように。
僕の予想が当たらなくても責任は取れません。必ず自分の責任において出願するようにしてください。
 
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東大の足切り速報2019年受験5日目

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では、今日の速報値を見てみましょう。

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

5日目の状況:少し勢い弱まる

今年の出願は全科類で過去最高の高水準だと言い続けていましたが、少しだけその傾向が弱まったように思います。がまだまだ高い水準であることには変わりありません。
文Ⅰと文Ⅱでかなり高いままですが、文Ⅲは少し増加数が落ち着いたような気が。
理系は昨日と大きな傾向の変化なし。強いて言えば、理Ⅰより理Ⅱで少し出願数が緩やかになったともいえるでしょう。理Ⅲはとても少ないまま。
しかし、まだまだ分かりません。
特に、「文Ⅲが減ってるから文Ⅲにしよう」「理Ⅱが減ってるから理Ⅱにしよう」と思っている方は、要注意!
なぜなら、今年の東大の出願数の最大重要局面は、週明けの2月4日だからです。
東大は土日の営業を停止するため、次の速報が月曜日。
すると数日分の出願が一気に月曜日に集計されるので、一気に数値が跳ね上がるのです。
そして、週が明けるとあと3日で出願締め切り。ギリギリに出願する人は多いようで意外と少ないため、大きな傾向の変化は起こらないのが普通なのですが、
今年は違います。
2度目の大安が、週明けの2月4日にあります。
もしかすると、2月4日に出願して、2月5日に集計される数が跳ね上がる可能性も十分にあるからです。
ということで、警戒態勢は以前続けるのが善。
どうなることか。

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足切り高くなる傾向続く。警戒しよう。東大の足切り状況速報2019年4日目

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東大の足切り速報2019年受験4日目

東大の足切りラインを最も正確に予想する方法をもとに、毎日足切り状況の速報をアップしています。出願者数は東大のHPのこのページで、毎日更新されています。★

 

さて、今日の速報値を見てみましょう。

 

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

4日目の状況:足切り高くなる傾向続く

昨日は僕のブログでは珍しく、「足切りが高くなるかもしれない」と警戒信号を出しましたが、今日もその傾向は続いています。
昨日と同じで、文系では過去最高水準の出願数が並んでいますし、勢いが止まっていません。
文Ⅰは700点超えの可能性が十分にあるし、740点未満の文Ⅲ出願予定者は危険信号。特に文Ⅱは、738点を記録した2011年よりもかなり多い出願数です。
ちなみに、足切りラインが高くなるということは、合格最低点も高くなるということです。(単純に出願が多いので、当たり前。)
足切りを超えているから関係ないという話ではありません。お気を付けください。
そして、理系も昨日と同じで、理Ⅰと理Ⅱで多めの出願。
逆に理Ⅲは出願が非常に少ないですね。一番足切りが低くなる理Ⅲの中でも、かなり少ない方です。
理Ⅰ、理Ⅱともに、730点くらいまでは怪しいですが、理Ⅲは低めになりそうな予感。

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注意!!足切りラインが高くなる!?東大の足切り状況速報2019年3日目

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さて、今日の速報値を見てみましょう。

 

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

2日目の状況:警戒!!足切りラインが高くなりそうか?

昨日が大安だったため、今日の数値が重要と書いてきましたが、やはり高水準の数値が並びました。
 
文系は、文Ⅰ、文Ⅱ、文Ⅲともに、過去最高水準の出願数です。
今年は予備校の足切り予想が高かったのですが、それを超えるかもしれません。
740点未満の文Ⅲ出願予定者は、足切り覚悟になる可能性が、高まってきました。
お気を付けください。
 
そして、理系も荒れています。
理Ⅰ、理Ⅱは過去最高水準に出願が多く、逆に理Ⅲはかなり少なくなりました。
理Ⅲは予備校の足切り予想が例年より高かったため、少し理Ⅰや理Ⅱに流れてるかもしれませんが、それでは説明付かないくらいに理Ⅰと理Ⅱが多い。
理Ⅰ、理Ⅱともに、730点くらいまでは警戒すべきではないかと思います。
 
まだどうなるかわかりませんが、今日の速報でかなり動いたとみてよいでしょう。
 
 

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今日の17時に2日目の情報が公開されました。さっそく見てみましょう。

 

 

まとめたデータはこちら

文系

 

理系

2日目の状況:出願数は少な目だが警戒必要

文Ⅰ~理Ⅲともに、出願数は全体的に少なめ。
今の時点で予想するなら、「全体的に足切りが低め」となるでしょうが、果たしてそうでしょうか。
大安が今日だったので、出願をとどまっただけかもしれませんから、明日の数値に注目。
まだ出願まで時間があるので、様子を見るのが良いでしょう。
さすがに、まだ足切りラインを予想する段階ではないので、ステイ。
足切りラインまで予想したい人は、8日目を待ちましょう。

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東大の足切り速報2019年受験1日目

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東大のHPのこのページで、毎日更新されています。

 

さあさあ、ついに国公立大学の出願が始まりましたね。・

昨日、とある事情で更新出来なかったので、一日遅れましたが昨日の分です。

 

 

過去のデータとまとめるとこちら。

 

 

初日の状況

初日だけでは、はっきり言って何もわかりませんが、一つ言えるのは、過去のデータと比べて特にとびぬけた数値はないということ。

 

今日が大安の日だったので、明日の数値が高くなるでしょうから、明日からが面白い。

今日の17時にも、情報が更新されるでしょうから、早ければ今夜追加の情報をアップします。

ではまた。

 

 

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2005年 東大数学 文系第2問(割り切れる=倍数、互いに素の条件)

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2005年 東大数学 文系第2問

昨日のスタンダードな整数問題に続いて、今日も割とスタンダードな問題をどうぞ。

 

 

 

さてさて、キーワードが満載。

これをどう見る!?

 

「割り切れる」条件は、割り切れる=倍数

まず、「割り切れる」条件を言い換えることからです。

 

「割り切れる」と言われるとき、私がまず思いつくのが「〇〇の倍数」と言い換えること。

今回は10000で割り切れる条件なので、10000の倍数と言い換えます。

すると、a^2-a=10000k(kは整数)と表現できます。

これで等式ができました。

 

連続2整数は互いに素

さて、(積)=(整数)の形が作れたので、次は因数分解をして候補の絞り込みをします。

 

左辺を因数分解し、右辺を素因数分解すると

a(aー1)=2^4×5×4 (※)

となります。

 

ここで大切なのが「連続2整数は互いに素」だという事実です。xとx+1など、連続する2整数は必ず互いに素になるのです。

これは、超有名事実。知らなければならない常識です。

 

証明はこちら

 

 

これを利用すると、aとaー1が互いに素だと分かります。

また、aは奇数という条件があり、右辺の10000の素因数が2と5だけなので、

 

a=5^4の倍数 ⇔5^4c

aー1=2^4の倍数 ⇔2^4d

 

と表せます。

 

これを、(※)の式に代入すると、1次の不定方程式が出てきます。

 

不定方程式の解法

さて、不定方程式が登場しましたが、今回は教科書に登場するようなユークリッドの互除法が利用できるパターンの式。

(わからない人は、教科書を参照のこと。必ず載っています)

ということで、満たす整数解を一つ見つけて、一般解を求める流れになります。

 

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回の問題は、

「割り切れる条件」を倍数表現に直せるか

互いに素の条件を使いこなせるか

の2点にありました。

 

これさえ使えれば得点が取れるのですが、決してハードルの高い問題ではありません。むしろ基本知識として覚えるもののはず。

 

整数問題は難しいイメージがあるかもしれませんが、実は使うのは基本的な知識ということがよくある。

知識不足を感じた人は、今から学びなおすのをおススメします。

 

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