2006年 東大数学 文系第3問(整数、3文字の3乗の和、存在証明)

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2006年 東大数学 文系第3問

昨日も書いたのですが、

「戦意喪失した人には、勝利はつかめない」

「自分の運命を他人に預けようとする人には、勝利はつかめない」

 

勝利は強気とイケる気からやってきます。そして、それは根拠のあるものでなければなりません。

そこで、根拠ある自信をつけてもらうため、今日から東大の整数問題の解説を連続アップします。

 

今日は初回ということで、基本的な問題のこちらをどうぞ。

 

よくあるタイプの整数問題。まずはこれを解けるようにするところからスタートしましょう。

 

整数問題には2つの方針しかない。

では、(1)から見ていきますが、非常に典型的な問題。

x+y+zやxyzを見たら、大小比較から不等式を作り、このように候補を絞り込みます。

 

x+y+zに関して、小さい方と大きい方、

xyzに関して、小さい方と大きい方

というように、4つの不等式を作って、使えるものだけ使えばよいです。

 

問題集の解答には1つしか載ってないかもしれませんが、自分で解く際には4つ全て試してよいでしょう。

 

不等号を作ったら場合分け

さて、不等号ができたら、候補が絞り込めます。

今回は、xy≦3となりますから、(x、y)=(1,1)、(1,2)、(1,3)の3通りしか解がありません。

 

このように、解を有限個の候補に絞り込むことを、日本語で「整数問題を解く」と言います。

 

あとは場合分けして、一つずつ調べていけばOK。

教科書や問題集の例題のような問題でした。

3文字の3乗の和

さて、(2)に行きましょう。

次数が3に上がり、解が存在しないことの証明をします。

 

ここで注目したいのは、3文字の3乗の和です。

大学受験において、3文字の3乗の和が登場したら、いつもこれ!という式変形があります。

これです。

数学では頻出ですから、この式に関連した知識を必ず頭に入れましょう。

 

3文字の3乗の和を利用した解法

では、この式を利用した解法をご覧ください。

 

この解法のポイントは、何度も書きますが、知識があるかどうかでしょう。

しかも、赤枠の中の変形は、閃きでは絶対に思いつけない変形でしょうから、やはり覚えておかなければなりません。

では、他の解法に行きましょう。

 

別解:相加相乗平均の利用(3文字)

ほとんど同じですが、別解として相加相乗平均の利用をする解法があります。

これも、知識を覚えていれば使いこなせる解法です。

「数学は暗記だ」

「いや、数学は暗記ではない」

という論争がありますが、暗記って大事ですねぇ。

文系受験者でも、暗記で点数が取れるという、好例です。

 

別解:(1)と同様の変形

では、おまけの別解を載せましょう。

(1)と同様に変形すると解けます。

 

(1)と違って、x≦y≦zの不等号がありませんが、

画像のように「一般性を失わない」と但し書きを描けば、大小を決めてOK。

これでも解けますね。

 

では、全体の手書きの画像をどうぞ

まとめ

(1)は基本に忠実に式変形するだけ。

(2)は「これを見たらいつもこれ」という知識を使うだけ。

 

どちらも簡単に思えるようにしましょう。

整数問題の初日としては、良いですね。では、また明日。

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不安に襲われている受験生へ告ぐ

本ブログもたくさんの人に読んでもらっているようで、悩み相談のお問合せがたくさん来ています。

「〇〇点なんですが、足切り大丈夫ですか?

「〇〇点から、逆転合格できますか?」

 

はっきり言おう。そんなの分からない。

自分の点数は事実に過ぎない。

低い点数でも「逆転できない」と思うか、「十分逆転できる」と思うかは、人それぞれであり、主観なのだ。

 

そこで、受験生に次ぐ。

下記の幣塾の教えを読み、あと1カ月の使い方を考えよ。

「戦意喪失した者に、勝利はつかめない。」

「自分の運命を他人に預けようとする者に、勝利はつかめない」

 

 

整数分野の解説を連続アップします

さて、勝つ気十分な受験生を合格に導くため、このブログでも応援企画を開始します。

去年末には、東大で頻出の確率の解説記事を連続アップしましたが、これからは整数の問題について、連続アップします。

 

確率と整数は、東大で必ず出るといわれており、非常に対策しやすい分野でもあります。

直前からでも、十分にレベルアップが見込めるため、数学に悩むあなたも、逆転のきっかけにできるはず。

 

もう一度言っておこう。

「戦意喪失した者に、勝利はつかめない。」

「自分の運命を他人に預けようとする者に、勝利はつかめない」

 

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東大の足切りライン、予備校の予想が出た!

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東大の足切りラインの予備校予想が出た!

連日騒いでいる、東大の足切りラインですが、予備校の予想が出ましたね。

東進のものも出たようなんですが、まだ確認してないので、河合と駿台だけ。

 

さて、これをどう見るかなのですが、とりあえず昨日も貼った過去データ10年分を見ながら、コメントしてみましょう。

 

東大文系の足切り予想

文系はこちら

文Ⅰは過去データよりも少し高い予想。とは言っても、600点程度なので事実上は足切りナシとみなしてよいでしょう。

 

文Ⅱ

過去データよりも高めの予想。700点を超える予想なので、足切りに引っかかる人は出るでしょう。

 

文Ⅲ

注意!

過去10年のデータの最大値を超える予想が出ています!

河合も駿台も740点を超える予想です。これは、かなり多くの人が文Ⅲに流れましたね。文Ⅰを逃げて文Ⅲに出願予想した人が、多いのでは!?

足切りを避けたければ、文Ⅰ受験の方が安心なのですが、果たして・・・?

 

 

東大理系の足切り予想

理系はこちら

理Ⅰ

概ね例年並みか、やや高めと言える予想ですね。理Ⅰは募集人数が多いため、毎年安定しやすいと思います。

 

理Ⅱ

こちらも例年並みかやや高めくらい。理Ⅰより少し低めというところまで、そっくり。

 

理Ⅲ

注意!

ここ例年より、かなり高めの予想が出ています。これは注意。理Ⅰや理Ⅱよりも足切りが高くなるのは、ここ10年で見られない現象です。

もしかしたら、足切り付近の理Ⅲ受験生が理Ⅰや理Ⅱに流れるかも!?

 

 

「足切り大丈夫でしょうか」系の質問に関して

足切り付近の点数を取ってしまった受験生から、たくさんご連絡をいただいています。いつも見て下さり、ありがとうございます。

そして、申し訳ありませんが、「〇〇点なのですが、文□に出願して大丈夫でしょうか?」などの質問には、「はっきりと」お答えできません。僕は予想はできても予言はできないからです。

過去のデータや、今年の傾向から見て、なんとなく、ふわっと、これくらいの点数に

なりそうな「気がする」くらいのことなら言えますけど、責任はとれませんので悪しからず。

ということで、また速報が入り次第、記事を書きますのでお楽しみに。

 

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東大の足切りライン、過去10年分の推移のデータまとめ。正確に予想する方法。

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東大の足切りライン

東大受験をする際、気になるのが足切りライン。

昨日は、東大の足切りラインを最も正確に予想する方法という記事を書きました。

しかし、何をするにも情報収集が大事。

ということで過去データを貼り付けましょう。

 

文系。

2次で最も難しい文Ⅰが最低をキープしているのが特徴。

どこに出すにも740点を取れば、足切りにかからないのが読み取れます。

 

 

理系。

毎年約700点前後をウロウロ。年によっては740点を超えるデータもある。

 

とこんな感じ。

さて、このデータを見て、どう判断しますか?

 

現在の状況を知るために、過去の歴史を探ることは必須中の必須ですが、今年のデータが得られるならそれに越したことはありません。

そして、今年のホットなデータを得ることも可能なのです。

 

それが、昨日書いた東大の足切りラインを最も正確に予想する方法という記事です。

 

センターの追試が終わったら、すぐに国公立の出願が始まりますが、足切りライン前後の点数になったけど、どうしても東大受験をしたい人は、上のリンクの記事を読まれたし。

 

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東大の足切りラインを最も正確に予想する方法

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センター試験が終了

受験生の皆さん、お疲れさまでした。
センター試験が終わり、ついに東大受験も最終局面に入りつつあります。
次の関心事はいわゆる「足切りライン」。
そこでこの記事では足切りラインについて、最も正確に予想できる方法をご紹介します。

予備校の足切りラインは外れるのが当たり前

センター翌日の昼現在、全国の受験生が学校や予備校に集まって、自己採点をしていることでしょう。そして各社が受験生の自己採点数値を回収しています。
2~3日中に大学合格判定サービスを発表されて、その中に、東大の足切りラインの数値予想が入っています。

しかし、予備校の足切りラインは外れるのが常識
なぜなら、予備校の予想ラインを見て、全国の東大志望生が出願を決めるからです。
例えば、足切り予想が高ければ出願を避ける、低ければチャレンジする、など。

ちなみに、去年の足切りライン予想は、こちらの記事に書いてあります。
センターの足切り予想ラインの各社比較(3年分)

では、予備校の足切りライン予想よりも正確に予想するには、どうしたらよいのでしょうか?

東大の足切りラインを最も正確に予想する方法

では、本題。どうやって、足切りを予想するかです。
それは、東大に届いた願書の数の情報を、毎日チェックする事です。

東京大学は、届いた願書の数を毎日HPに更新してくれます(休日以外)これを見ながら、足切りになりそうかチェックが出来るのです。

具体的に話した方が分かりやすいと思いますので、例えば文Ⅰ。
文Ⅰは定員が400人程度で、倍率が3.0倍です。
つまり、願書が1200通以上届いたら足切りが実行され、点数が良い順に1200人だけが受験資格を与えられるのです。(足切り通過)
1200通を越えなかったら、全員に受験資格があります。(足切りなし)
そして、1200通を大きく超えたら、足切りラインが高くなることが予想出来ます。

この方法のメリットとしては、単なる予想ではなく、東大の発表するデータ、つまり信頼出来るソースから判断が出来る事です。

1次資料としては文句ありません。

デメリットとしては、正確な数値は分からない(と言っても、結果が出てみないと、世界中の誰にも分からないんですが)
そして、締め切りギリギリにならないと、予想出来ないという事でしょう。

こちらのサイトをご覧ください。
去年の入試の際の、願書の届いた数をグラフにしてくれています。(ページの真ん中辺りの、東大出願者数推移)

センターが思うように取れなくて、どこに出願しようか迷っている方もいるかと思います。
どうしても東大を受験したいなら、締め切り直前まで、東大のHPをチェックして、判断すれば足切りに引っかからない可能性の高い科類が分かります。

最近は足切りラインがやや下がっている傾向にありますが、何が起こるか分かりませんので、ご注意を。
昨年も好評だったので、今年も毎日願書の数を集計してアップしていこうと思います。
どうぞお楽しみに。

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センターリスニングのアレ、貼っちゃるww

なんじゃこりゃ

とりあえず、これも貼っておこう

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躾(しつけ)について

躾(しつけ)について

こんちゃ!

「躾(しつけ)」について、実感していることを書こうと思います。

以前、「子どもを叱るのは、なぜそれをしてはいけないかを子どもが説明できるようになるまでは、やっても理解しないから無駄」と聞いたことがあります。
また、理解できる年齢になる前に叱るのと「好奇心を持ったこと自体を否定された」と思って、好奇心が弱まるとも聞いたことがあります。

なので、よっぽど危険な状況でなければ、当分は叱らないでおこうと思っています。

ただ、叱るんじゃなくても、「コレはダメだよ」と教えたくなる時があります。

1歳5ヶ月の娘は今、歩くのと、ソファや椅子に立つのが大好き!

なので、外出先ではソファに上りたがると靴を脱がせ、歩きたがると靴を履かせ、またソファに上りたがると靴を脱がせと大変です💦

でも面倒に感じながらもサボらずにやっていると、嬉しいことがありました♫

私のいない場でも、ソファに上る前に自分で靴を脱いだとパパに教えてもらいました♫
ルールって理解してくれるんですね!

また、最近はダイニングテーブルの椅子に立つのが大好き!

(椅子の上に立って発見した枯露柿を喜んで食べる幸呼)

昨日はついに、テーブルにも上ろうとしちゃいました。
我が家ではテーブルはNGにしたかったので、「テーブルはダメ!」と言って、上った途端に無理矢理下ろしました。

「ギャー!」と泣いて、上りたがるのですが、3回ほど繰り返すと、上らなくなりました。
やっぱりルールって理解してくれるんですね!

もちろん、今回のことはたまたまかもしれなくて、今後も靴でソファに上ろうとしたり、ダイニングテーブルに上ろうとしたりすることはあるでしょう。
でも「本当はママ的にNGなんだろうな」というのは理解して、時々好奇心が優ってしまうだけな気がします。

こういうのに気づけると、子育てって楽しいですね^ ^

ちなみに、ダイニングテーブルの椅子に立つことを危ないと思ってフォローの体勢をしていたら、家事が何もできなくなります。
なので、「まぁ落ちても治る程度のケガをするくらいでしょ」と思って、放っています。
(カーペットなので大したケガもしないと思います)

「一度落ちたら、椅子の上に立つのは危ないと思ってくれるかな」と期待していました。

すると、落ちた途端に泣いたのですが、、、ママに抱っこを求めるのでもなく、速攻で再び上りたがりました(・・;)
泣いたのも、痛くて泣いたのではなく、椅子の上が楽しかったのに、椅子の上にいないことが嫌だったようです。。。

意外なリアクションでした。
子育てって面白い。

大学受験の先生がセンター試験を受けたからこそ気付けたリアルなアドバイス

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センター試験を成功させて、入試を突破しよう!

産経新聞社のウェブサイトで私のコラムが配信されています。

バックナンバーはこちら。

第1弾:大学入試センター試験に間に合う!1カ月で膨大な知識が覚えられる暗記法(上)

第2弾:大学入試センター試験に間に合う!1カ月で膨大な知識が覚えられる暗記法(下)

第3弾:1カ月でセンター試験の英語の得点が50点上がる方法

第4弾:ピリピリする受験生を成功に導くために親がすべき7つのこと

第5弾:合格しない人から合格する人になれるイメージ戦略

第6弾:センター試験で頭が真っ白になるのを防ぎ、実力が発揮できる方法

第7弾:大学受験の先生がセンター試験を受けたからこそ気付けたリアルなアドバイス

大学受験の先生がセンター試験を受けたからこそ気付けたリアルなアドバイス

12月から毎週配信されております、産経新聞のウェブサイトでの「受験戦略家コラム」、最終版が配信されました!

今回のタイトルは「第7弾:大学受験の先生がセンター試験を受けたからこそ気付けたリアルなアドバイス」です。

 

今日の内容は、センター試験当日を有利に過ごすためのアドバイスです。
持ちもの、心構え、当日の過ごし方のイメージトレーニングなど、最終チェックをしましょう。

第7弾:大学受験の先生がセンター試験を受けたからこそ気付けたリアルなアドバイス

 

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センター試験を成功させて、入試を突破しよう!

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バックナンバーはこちら。 

第1弾:大学入試センター試験に間に合う!1カ月で膨大な知識が覚えられる暗記法(上)

第2弾:大学入試センター試験に間に合う!1カ月で膨大な知識が覚えられる暗記法(下) 

第3弾:1カ月でセンター試験の英語の得点が50点上がる方法    

第4弾:ピリピリする受験生を成功に導くために親がすべき7つのこと  

第5弾:合格しない人から合格する人になれるイメージ戦略
 

第6弾:センター試験で頭が真っ白になるのを防ぎ、実力が発揮できる方法

センター試験で頭が真っ白になるのを防ぎ、実力が発揮できる方法

12月からはじまった、産経新聞のウェブサイトでのコラム、第6弾が配信されました!

今回のタイトルは「センター試験で頭が真っ白になるのを防ぎ、実力が発揮できる方法」です。

 

センター試験で最も怖いことは、頭が真っ白になり、点数を100点単位で落としてしまうこと。

これでは努力が水の泡です。

 

そうならないために、事前に準備できることをまとめいます。

どうぞご覧あれ~。

第6弾:センター試験で頭が真っ白になるのを防ぎ、実力が発揮できる方法

 

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2015年東大理系数学第六問の解説(数Ⅲ、積分、ハサミウチの原理、極限)

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2015年東大理系数学第六問の解説(数Ⅲ、積分、ハサミウチの原理、極限)

2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説

さあ来ましたよ。文系の人が卒倒しそうな数式のオンパレード!

「場合の数・確率」の問題かと思わせる文字の量です。

 

どうすれば、その解法が思いつけるか

僕はこれまで、入試の解説を聞いたり読んだりした時に、

「そうすれば解けるのは分かるけど、その発想にならないんだよ!!」

と思ってきました。皆さん、いかがでしょう?

そういう過去があるので、今までもなるべく「発想の仕方」とか「解法の思いつき方」を意識して書いてきました。

 

そのヒントとして、問題を解くときの心構えが2つあります。

①問題のカラクリを見抜こうとしよう!

②似たような特徴を持つ定理や性質を連想しよう!

 

要するに見抜いて連想するわけですが、大切なのは、見抜けるかどうかより、見抜こうとしているかどうかです。

入試本番中は見抜けないといけませんが、入試までは訓練期間。訓練中に意識してやったことが、本番では無意識で出来るのです。

 

ただぼーっと問題文を眺めていて見抜いたことは、ただのラッキー。カラクリが見抜けない時こそ、問題文をじっくり見て見抜こうとする姿勢を取って下さい。

 

読解と精読

突然ですが、読解力はありますか?

東大理系を目指す人は、大抵国語が苦手です(笑)私も元々理系でしたから、国語がイヤな気持ちがよく分かるのですが、、、。

アメブロで「読解をしよう」というのを書いてますので、読解力がないなと感じる方は、是非そちらもご覧くださいませ。

 

さて、そのシリーズで私は、精読と読解の違いを連呼しています。

精読とは、文章に書かれている情報を読み取ること

読解とは、文章にかかれていない情報を読み取ること

です。

数学も同じで、文章に書かれている事も、文章に書かれていない事も読み取る必要があります。文章に書かれていないことを読み取れるとき、上に書いたような「見抜いた」感じがすると思って下さい。

その意味で、数学も国語も非常に似ています。

 

とりあえずグラフは書いてみる

数学の解説授業を聞いていると、先生がグラフを書くときと書かないときがありますね。「このグラフを書いてみると・・・」とか「このグラフは書かなくても良いから・・・」と言って、授業が進みます。

その判断、皆さんはどうしているでしょう。

 

グラフを書かなくて良いかどうかは、答えまでの道筋を知ってるから判断出来るものですね。答えまでの辿り着き方がわからないうちから、判断出来るとは限りません。
ひとまず、手当たり次第書いてみるというのが良いでしょう。訓練中の身ならなおのことです。

ということで、gのグラフを書いてみるとこうなります。
2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説

グラフから読解しよう!

グラフを書くのが精読なら、ここから情報を読み取るのが読解。何がわかるでしょうか?
山になっているとか、線対称(偶関数)とか色々分かりますが、一番大切なのはy≧0だという点です。
なぜなら、その後f(x)と絡ませるからです。

不明な関数は、深く考えずに

f(x)の正体は不明。しかし、定義域と値域が分かっています。

こういうときは、-1/n≦x≦1/nと、p≦y≦qの長方形に収まってる関数なんだろうなぁと思っておけばOK。
余り深いことを考えず次に進みましょう。

積分の不等式についてのまとめ

2つの関数の積があって、それが積分されています。さらに、不等式でpとqに挟まれていますね。
こういう問題は定石の手段があります。こういう定石の手段を一つ一つ押さえていくのが数学の勉強なんですけどね。

今回の場合、f(x)が不明な関数です。不明な関数を積分する事は不可能。よって、p≦f(x)≦qとしてしまいます。
これにgの関数を掛けて、不等式を作ってしまうわけです。これ、よくあります。

ちなみに、この時g(x)≧0だったことが効いてきます。
負の数の不等式を単純に掛け算することは出来ませんからね。不等式の積分が問題文に見えた瞬間に、g(x)≧0じゃないかと予想出来るようになったら、中々の実力です。

ちなみに、東大で理系を目指すならば、不等式を見た瞬間に「ハサミウチの原理」を連想できなければ、失格だと思いましょう。
特に、「不等式と極限」を同時に見て連想できなければ、大反省。

どちらかが隠されて登場することも、よくありますから、片方だけでも反応出来るようになっておいてくださいね。(見抜いて連想する、の話の続きです)

あとは、gの関数の積分が出来れば、(1)は終わり!
積分計算も、それほど難しくないので、計算に気を付けて終わりです。

 

見抜こうとすると、見えないものが見抜ける=問題が解ける

では(2)へ。
問題文を見ると、何となく(1)に似てるな~というのは気付けるでしょう。
gと同じように、hの関数も定義域によって違う関数を組み合わせてるし、インテグラルの中身を見ても、二つの関数の積になっている。
多分、(1)が誘導になってて、(2)をと言うんだろうな~と思えると思います。
(というか、数学の問題は全て誘導だ、というのが、私の口癖ですが)

 
但し、気付きづらいのが、gとhの関係ではないでしょうか?これは、パーッと眺めていたら気付けない方も出て来るでしょう。
何か隠されているのでは・・・?と疑って「見抜こうとする姿勢」が、効果を発揮します。

問題を出題する人の心理に立つと、良くわかります。
出題者はいつも、どれくらい露骨にヒントを出そうかなと悩みます。こんなに露骨だと簡単になっちゃうけど、隠し過ぎると難しい。
少し考えれば気付くレベルに、何とか落ち着かせるようと工夫します。
だから解く側も、「何が隠されてるのか??」と疑ってみる事が大切。つまり見抜こうとしないといけません。

今回の問題は、gを微分するとhになっています。
係数や、sinとcosの関係がヒントです。これに気付いた瞬間、勝利が見えてきます。

さて、最後に書かれているインテグラルの中身ですが、hとlogの積だと思わず、(gの微分)とlogの積だと思うと、次の一手が想像できます。
それが、部分積分。

gの部分を積分したら(1)が使えるけど、どうしたら・・・?と発想を広げた所に答えがあります。
ちなみに、hのグラフを書いてみると分かりますが、正になったり負になったりして、(1)の結果が使いづらいですね。この辺りから発想しても良いかも。

ボーっと歩いていると道端の石に気付けませんが、石を探そうとすると見つかります。
不等式と極限からハサミウチの原理も連想できていれば、完答は間近。

あとは、手書きの解答をご覧くださいませ。
2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説
2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説

色々と工夫の多い問題でしたね。とても勉強になります。

やや難しい問題、と評されることが多いですが、計算はそれほど難しくありません。やはり発想を得るところが難しいでしょう。
日ごろから見抜く姿勢を心がけることによって、養われます。
差がつく問題だと思いますので、是非しっかり復習を!

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2015年東大理系数学第五問の解説(整数、二進法、コンビネーション)

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2015年東大理系数学第五問の解説(整数、二進法、コンビネーション)

今日は2015年の理系数学、第5問
シンプルなので、登場した時はそれなりに話題になった問題です
2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

1行の問題。そして、問題の意味は分かりやすいのですが、証明がやたら難しい!!
予備校の講評でも難問題指定されていましたね。
いくつかコメントしていきましょう。

2015年にちなんでる問題

問題の解説ではありませんが、2015年の入試問題だけあって、2015を使っていますね。昔からコテコテの出題パターンです。
(とは言っても、ポイントになるのは、2016が32で割れても、64で割れないということなんですけどね)

次の入試は、2018年の出題ですから、2018にまつわる問題が出るかもしれませんね。
2018=2×1009 で、2017は素数でした。2019は3×673です。
覚えておくと得する!?

コンビネーション抜群!

2015Cmにおいて、mを1から順番に変えていくと、分母と分子がキレイに2で割り切れていくことが分かります。

2015C1=2015は当たり前で奇数として、
2015C2 =2015×2014÷2で、2015×1007
こういう感じでしばらく続けていくと、必ず分母と分子がキレイに2で割り切れてしまいます。

しかし、問題文を読むと、いつかは分子の方が分母より2がたくさん登場して、偶数になるらしい。
ということは、2がたくさん登場する数を探せばよいということで、2015になるべく近い4の倍数、8の倍数、16の倍数、32の倍数・・・と探していきます。

32の倍数が消滅!?

具体的には、2015C4 、2015C8 、2015C16 、2015C32 ・・・と探していくのですが、
32の倍数が初めて登場するはずの1984が、一つ飛び越して64の倍数になっています。

これは、もしかしてm=32が答えなのかも!?
と思って証明を始めていくのが、自然な発想なのではないかと思いますね。

証明が難しい

答え(の候補)は分かったのですが、これを記述しようとすると、かなり難しいです。
中学入試のように、mを32まで一つ一つ代入して計算しても、満点解答になるのですが、あまりにも時間がかかりすぎる。

さきほど書いたとおり、2015Cmの分母と分子がキレイに2で割り切れていくのが、何とか記述出来れば良いのですが・・・
ということで、あまり見た事はないかもしれませんが、手書きの解答のようになります。

但し、この証明難しいのは、2015より一つ上の2016に注目いなければ書けない所です。
2015Cmというと、2015より小さい整数には着目出来るのですが、逆の2016が32の倍数になっているのがポイントです。

これに気付くのは相当大変かと思いますね。
少なくとも、教科書には記述されていない考え方のような気がします。
ということを踏まえて手書きの解答をご覧くださいませ。

2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

合格点を取るためには・・・?

大学入試の数学では、答えはわかってるのに、記述出来ないということが往々にして起こります。この問題もその通りで、答えが32になるのは分かってても、それを証明出来なくて困る問題です。

こういう問題に対して、満点を取れる解答の書き方を学ぶのは大事なのですが、入試の限られた時間の中では、手を出さない方が得策でしょう。

入試というのは、合格点を取る事が目的であって、全ての問題に正面からぶつかる必要はありません。
戦争で言えば、敵を全滅させなくても良い。相手の大将に降伏させれば良いのです。

落としてはならない城がある
という言葉を、大先輩から教えて頂いたことがありますが、まさに入試でも同じ。
僕だったら、32と推論した根拠を解答用紙に書いておいて、証明の方針だけ書いて終わるような気もしますね。

短時間で解けるのが最高ですが、長時間で解ける問題は、罠になり得ます。
この見極めの訓練も非常に大切でしょう。

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2015年東大理系数学第四問の解説(漸化式、連立方程式、フィボナッチ数列)

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2015年東大理系数学第四問の解説(漸化式、連立方程式、フィボナッチ数列)

2015年 東大入試数学 理系第4問 解答解説

(1)は簡単

さあさあ、出ましたね漸化式。それも、結構複雑そうタイプ。
問題文の1行目に登場する、分数や二乗が入ってる漸化式なんて、まず見た事ないでしょうし、(1)に登場する漸化式はもっと複雑です。
ただし、(1)はやる事が明確!
「nによらない事を示せ」というのは、「数列の順番が変わっても値は変わらない」ということ、もっと言えば「定数の数列」ということです。
具体的な解法としては、与えられた数列を別の数列に置いて操作するのが、やりやすいでしょう。後でご覧頂く手書きの解答では、問題文の中にpとqが見えるので、その次のrを使ってます。n+1番目とn番目の値が同じだと示せれば、完了です。

 

(2)難しそうで、ただの連立方程式

次、(2)ですが、漸化式を作れという問題。
でも、僕からしてみれば、ただの連立方程式です。式が複数あって、不要な文字を消し、必要な文字だけ残せば自然と答えが出ます。

そして、計算過程で使う方法も、せいぜい代入法と加減法くらいなもの。方程式の解法については、こちらの記事に書きましたので、よろしければどうぞ。
この東大の問題に関してで言うと、問題文の式、(1)で使った式(定数は3でした)の2種類ありますが、求めたい関係式が、Pn-1が登場する関係式ですから、その2種類の式を変形していても絶対に求められません。
よって、使える2種類の式の順番をずらして、n-1が登場するようにしましょう。
手書きの解答には、最短最速で解答が出せる方法かどうかわかりませんが、ストレートな考え方と計算方法を踏まえて、確実に答えが出る解法を載せておきましたので、少しややこしいのかもしれませんが、ご了承下さい。

(3)漸化式の証明 ⇒ 帰納法

さて、最後に(3)ですが、「二つの漸化式が、実は同じ値でした」というのを証明する問題ですね。

pの数列が、実は簡単な漸化式だったといのが(2)の結論でしたが、(3)で登場するqの数列もシンプル漸化式ですから、同じになるというのも、納得かもしれません。
さて、解答の方針ですが、帰納法が一般的でしょうね。
なぜ帰納法という発想になるかと言うと、言おうと思えば様々ありますが、大学受験生ならば
数列とか漸化式とか整数が絡む証明問題は、帰納法を使え!
というくらいの認識で、それほど間違えないでしょう。漸化式と帰納法は非常に相性が良いのです。
さらに、細かい計算過程の方針を言うと、pとqの数列が等しいと言いたいので、どちらかに統一します。
手書きの数列では、qに統一しました。
また、qの数列に統一した後も、順番がバラバラなので、端っこの順番を真ん中に寄せるように変形すると上手く行くでしょう。
さらに愚直な方法として、pとqの数列の一般項を出して比較しても良いでしょう。ということで、手書きの解答の最後の余白に計算して載せておきました。確かに一致しますよ。
ということで、正解を導き出すまでの思考の仕方はこれくらいで良いでしょうから、細かい所は手書きの
解答でどうぞ。

2015年 東大入試数学 理系第4問 解答解説

フィボナッチ数列登場

最後に、(3)で登場したqの数列は、よく見るとフィボナッチ数列ですね。数学オタクの大好物ですが、数学に興味がない人から見ると変人に見られます(笑)
フィボナッチ数列っていうのは・・・と語りだすと、長くなりすぎるので今日はここまで。いずれ、そういう特集で記事をかけたら面白いんですけどねー。

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2015年 東大数学 理系第3問の解説(微分、積分、共有点の個数、体積、回転体)

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いきなり余談

先日、私のHPを見て東大に入学したという方とお話したんですが、印象に残ってる記事として、本シリーズを挙げてくれました。

この、東大入試数学の解説を書くのって手間がかかるんですよね。
東大入試を解きなおして
問題の解法やポイントを整理し直して
ブログの本文の部分と手書きの解答に書く部分を決めて
手書きの解答を作って(これが一番大変)
それをスキャンして

と、一つの記事を書くのに3~4時間かかるので、余裕のある時にしか出来ないのです。見知らぬ誰かのためになっていると知れて、非常に救われましたね。

他の塾や予備校の数学の解説とは、意識的に差別化して書いていますので、そういうポイントに注目してもらえると非常に有り難いと思うのですが、皆さんお分かりでしょうか?

・一問ずつの解答(技術、戦術レベル)だけではなく、その年の問題を全て解説する。(先生は、解説出来る問題しか解説したくないという心理があるので)
・同じ年度の問題を横に並べて比較検討し時間配分や、点数配分に言及する(作戦レベル)
・解答の流れだけではなくて、どうしたらその解答が思いつくかという、発想の得方に力点を置く。
・あっと驚く(つまり、先生だけが思いつくような)素晴らしい解答ではなく、教科書の勉強を地道に積んだ生徒が書きやすい解答を優先する。

などなど、僕なりに気を遣って書いてました。
あんまり同業者に見られたくないポイントもあるんですけど(笑)、まあそういうところも含めて楽しんで読んでもらえれば良いかなと思いますね。

では、前置きが長くなりましたが、2015年の第三問です。

2015年 東大数学 理系第3問の解説(微分、積分、共有点の個数、体積、回転体)

2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

一読して最後まで予想がつく

読んだ第一印象として、あまり悩まず、最後の方まで予想が付く問題。
だって、グラフが接する条件を求めて、定数の値を出すのが(1)。んでもって(2)で求積して、(3)で特定の値の時に限定するわけです。
しかも、回転体の体積って、中学受験とか、高校受験じゃないんだからと。
教科書の章末問題でも、同じ流れの問題が出るんじゃないかというくらい、非常にスタンダードな流れの問題。

解く上で考えること その①必ず部分点を取る

こういう問題に出くわしたら、少なくとも2つの事は思いましょう。

1つは、必ず部分点を取るべき問題だということ。
この問題のレベルで、全く手が付かないようでは、かなりマズイでしょうね。計算が煩雑で手がストップしてしまうことはあるかもしれませんが、方針が立たなくてストップするのは非常にマズイです。
計算が面倒でなければ、満点を狙ってもおかしくない問題ですから。

解く上で考えること その①計算が面倒になることを警戒せよ

もう一つは、計算が面倒になるかもな、と警戒すること。
いや、もちろん解いてみなければ分からないんですよ。積分の計算過程まで、問題文から予想出来なくても良いですし、する必要はあまりないと思います。
しかし、東大入試って煩雑な計算をさせることも多いですし、このシンプルな問題で計算が簡単で終わる事はないだろうと、少なくとも警戒はしましょう。

逆に、物凄く計算が簡単になるように、数字が設定されているとしたら、絶対に高得点を取らなくてはならない問題になります。取らなきゃ死亡、取っても差を付けられる問題ではないというくらいに思って良いでしょう。

2曲線の共有点が1つになる条件

では、一つ一つ見ていきますと、(1)は「2曲線の共有点が1点のみになる条件」を求める問題。
これが、二次関数と直線だったら、判別式が0だけで終わりなんですけどね。
残念ながら極値や凹凸、漸近線などを知らない(という振りをして)解かなければならない問題です。

logの方に関しては、教科書に書いてあるグラフですから、グラフの凹凸や漸近線など知ってる前提で進めて良いですが、
ax^pの方は、(どうせ、あんな形になるだろう)とほとんどわかっているにも関わらず、ちゃんと調べなきゃいけない曲線です。

さて、2つの関数の共有点の個数を調べる時には、別々にグラフを書いて調べたりしませんね。
差を取った関数のグラフを書くのが定石です。

差を取って、微分して、増減表を書いてみると、一度だけ極小値を取って、両端は単調増加になる関数だと判明しますね。
あとは、両端の極限を取ってみると、どちらも正の無限大に発散。ということは、極小値でx軸に接するしかないという結論になります。
以上、回り道したように思えますが、予想通り接する条件になりました。めでたしめでたし。
細かくは、手書きの解答で確認して下さい。

積分計算して終わり♪

次に(2)ですが、(1)で得た情報をもとにグラフを書いて、該当する部分を確認して、積分計算をすれば終わりですね。
そこで、やはり出ましたよ。(log)^2の積分計算!これは面倒ですね。

さて、僕が常日頃言ってる事ですが、面倒な計算は罠(の可能性が高い)です!
面倒な計算は、やたらと時間がかかる割に、計算ミスの可能性が高い。
つまり無暗に時間を使って、1点も得られない可能性があるわけです。

こんな問題に優先的に時間を使うのは下策だと思うのですが、受験生はマジメですから、生じた問題には手を出してしまうんですよね。
「落としてはならない城がある」と言う言葉を、よく覚えておいてください。

等式を解いて終わり♪♪♪

但し、この問題に関しては(3)があります。
しかも、(3)は非常に計算が簡単な可能性が高い!(2)の計算結果を、=2πとするだけですからね。
ということは、(2)で正解出来れば(3)も正解出来るわけです。

「(2)は罠だから時間をかけすぎるな」と言いましたが、(2)さえ解ければ(3)までの点数がもらえる。そのメリットを見越して、あえて(2)以降に時間を多めにかけるなら、作戦としてアリでしょう。

以上、手書きの解答以外で必要な部分は触れました。あとは下の画像を見ながら、細かい計算の仕方を確認しておいてください。
2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

まとめ

計算は、やはり結構面倒ですね。
相当慎重にやらないと、失敗する可能性は高いでしょう。

過去問演習って言うのは、レベル感のチェックや、時間配分の検討、過去の出題傾向を把握するなんて、当たり前中の当たり前です。やって当然。
この問題では、是非とも面倒な計算にかかる時間のチェックをしてほしいですね。
そして、自分は本番の緊張状態の中、この複雑な計算を正確に当てられるのだろうかとも、考えてほしいと思います。

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2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

2015年 東大数学 理系第1問の解説(通過領域、解の存在条件、包絡線)

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2015年東大理系数学第一問の解説(通過領域、解の存在条件、包絡線)

2015年東大数学入試問題理系第1問解答解説

まずは通過領域をマスターしよう

出ました!!頻出問題の、通過領域です。ただし、入試問題ではよく見ますが、教科書では登場しません。
教科書レベルを超えたテーマとしては、絶対に扱わなければならないテーマでしょう。
受験生は、絶対に身につけて下さい。

ちなみに、このHP上では、通過領域を体系的にマスターしてもらえる記事をアップしています。
通過領域をマスターしよう① 解の配置で解く
通過領域をマスターしよう② すだれ法(ファクシミリ論法)と包絡線
どうぞご覧くださいませ。

包絡線より解の配置

この問題も、包絡線を使って解く事も出来るんでしょうけど、ちょっとやってみたら面倒そうだったので止めました。
昔に比べて、数学の入試問題が簡単になったなんて話もありますが、この問題も解の配置だけで問題が解けてしまいますし、解の配置で解けない問題は存在しないので、解の配置が最優先!

中には包絡線を利用して解くとスッキリ簡単に解ける問題もあるので、身につけるに越したことはありませんが、解の配置をマスターすることが最も重要です。

一応、解の配置よりも包絡線の方が圧倒的に簡単に解ける例を1つ挙げておきます。
「y=2tx-t^2 が、t≧0の範囲で動くときの通過領域を求めよ。」

解の配置で解くときの流れ

ということで、問題文を見た瞬間に、解の配置の問題だと気付くのは良いとして、その後はaで降べきの順に整理しますね。
すると、aの2乗の係数に、xが含まれてるので、aの2乗の係数が0になるか、0にならないかで場合分けをする必要が出ますね。

なぜなら、aの2乗の係数が0だと一次方程式になり、aの2乗の係数が二次方程式になり、解の存在条件の求め方が全く異なるからです。

そして、二次方程式になる時(aの2乗の係数が0出ない時)は、少なくとも1つa>0に解を持たなければならないので、
重解にになるときと、ならないときに分けて、重解にならない時は、1解なのか2解なのかで分けて・・・と、まあ場合分けが面倒くさいです。

しかし、解の配置の問題で、面倒な場合分けを処理させる問題も、これまた頻出のテーマなので仕方ありません。丁寧に式変形を追って下さい。僕も面倒で嫌いです。

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

通過領域の問題は、最後の図示の時に、これまで求めて来た領域がピッタリとパズルのピースを当てはめるように、過不足を補いながら埋まっていくのが、ちょっと気持ち良いですね。
ダブるように、場合分けをしても構わないんですけど、ダブらないように場合分けをすると、最後の図示もダブらずに出てきます。
通過領域の練習問題としてよい問題でした。

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2018年 東大理系数学 第6問の解説(空間図形、2次不等式、積分、切断面)

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2018年 東大理系数学 第6問の解説(空間図形、2次不等式、積分、切断面)

まずはいつも通り問題をどうぞ。
東大理系では昔から空間図形が頻出だと言われています。そして、たまに物凄い難問が含まれます。(一方で、易しい問題もありますが。)
その点で、この問題は実に東大らしい問題だと思いますね。
・空間図形の共通部分
・単なる積分計算で終わらない。
・小問構成。
・基本の組み合わせで解ける。
・空間図形ばかりでなく、別単元の考えも用いる
などなど、よく練られた問題だと思いました。
入試で出題されたら、得点し辛いような気もしますが、これからの受験生にとって練習問題として非常におススメ。
まだ解いていない方は、ぜひチャレンジしてみて下さい。

(1)切断=次元下がる、移動=次元上がる

では(1)から見ていこうと思いますが、(1)は図形が共通する条件。実は、この問題が一番重たかったりします。
空間図形の超重要な定石の手段として「切断して平面図形にする」というのがありますが、ここでも非常に効果的です。ちなみに、座標を一つ固定するとか、z=tの平面で考えるとか、全て切断してるのと同じです。

空間図形を切断すると平面図形になりますから、グッと解きやすくなるということです。
 
ちなみに、切断すると次元が一つ下がり、移動すると次元が上がります。言い換えれば、切断は次元を一つ下げる行為で、移動は次元を一つ上げる行為なのです。
この問題は、球が移動しているので4次元になるかと思いきや、4時限目の時間は固定されている(別に時間の前後を意識しなくて良い)ので、結局3次元の問題です。

xyzどこの軸で切断する?

次にどの軸で切断するかの判断なのですが、皆さんは何を基準に判断してますか?
今回はV1とV3の共通部分の体積を求めるのですが、ポイントはどの軸に対して動いているか、を考えること。すなわちV1とV3の移動に関係ないy軸方向で切断するのが良いyのです。

y軸で切断するということで、y=tを代入してみると、その切断面が円になります。
そりゃそうです。球を切断したら、必ず円になりますから。
 
最終的に求めるのはV1とV3の共通部分ですが、いきなりでは難しいので別々に書いて考えるのも良いでしょう。
空間図形は紙に図示するのが難しいからと言って、頭の中で空間図形をイメージして取り組む人が多いですが、紙に描いた方が圧倒的に解きやすくなります。
というか、空間図形の問題の解答力は、紙に書く力とかなり相関があるような気がしますね。
 

半径で場合分け

さて、y=tの切断面には円が二つ登場するわけですが、同一平面上に書こうとすると半径の大きさが気になるはず。
そこで、半径を場合分けして図を描けば、(1)が解けます。
では、手書きの解答をどうぞ。

(2)円が図形を含む条件=中心から遠いところを探す

(2)は、(1)の延長の問題です。今度はV2が登場しますので、先ほどの図にV2を書き込もうとすれば、方針が立ちます。
V2が、V1かつV3を含むということで、先ほどの共通部分の中で、中心から最も遠い場所を探せば答えが出ます。
円は中心からの距離が等しい点の集合ですから、図形的な処理をする場合、中心からの距離を考えるのがセオリーです。

常に+不等式=最大最小問題

さて、ここでは2次不等式が出ますが、2次不等式が常に成り立つ条件ですね。これは最大最小問題にすり替えて解きます。
例えば、「クラス全員が赤点ではない」条件は、「クラスの最低点が赤点ではない」と言い換えられます。
これと同じで、「f(x)≧0が常に成り立つ」条件は、「f(x)の最小値≧0」と同値なのです。

この言い換えは、かなり使えます。頻出ですので、ぜひ知っておきましょう。

(1)よりは解きやすいような気がしますが、突然の2次不等式に驚かないように。
 

(3)珍しい! 空間図形×ド・モルガンの法則

次に(3)ですが、結論から言うとド・モルガンの法則を使います。
しかし、この発想が中々出ない方も多いのではないでしょうか?空間図形と絡める問題は非常に珍しいですので、個人的にはとても興味深いと思いました。
 
どこから連想するかと言えば、やはりSとTの定義からでしょうか。
SはV1の体積で、TはV1かつV2の体積ですが、これだけで全体の体積を求めるということは、V2の体積とかV3の体積、それらの共通部分など、難しいところもSとTを使って求められるはず。
この辺りから、集合を発想するのでしょうね。でも難しいなぁ
 
では、手書きの解答です。
 

(4)計算のみ!

最後の(4)ですが、(3)まで解けてしまったら、(4)はもらったようなものでしょう。
SとTを求めれば答えが出ます。きっと興奮して手が止まらないのではないでしょうか?
 
Sは簡単に求められます。
TはV1とV2の共通部分ですが、これも慣れていれば簡単。とは言っても、Tを求めるだけでもそこそこ難しい問題なんですけどね。(1)と同じように、切断してから図を描けば解けるでしょう。
 
最後に計算をして終わり。計算ミスが誘発されそうな雰囲気ですので、ご注意を。
 

まとめ

さて、さいごに一言ですが、ここまで読んできて(1)や(2)が解けなくても、(3)と(4)が解けるのに気づいたでしょうか?
東大は、小問構成の場合が多く、それらが誘導問題になっています。
しかし、(1)が解けなくても(2)が解ける場合も見受けられます。
 
いつも言っていますが、ペンを持つ前に問題文を最後まで読むこと!
(1)から取り組んで0点だった人も、(3)と(4)で10点くらいもらえるかもしれません。
(特に(4)のSを求めるところなら、カンタン!)
 
こういう、作戦面も含めて練習に良い問題でした。
東大理系を目指すなら、今後必須の問題でしょう。

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2018年 東大理系数学 第5問の解説(複素数平面、図形と座標、放物線)

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2018年 東大理系数学 第5問の解説(複素数平面、図形と座標、放物線)

さあ、東大頻出の複素数。苦手の人も多いと思います。行って見ましょう。
 
 

(1)の方針 複素数の図形は時間がかかる

図を描きながら、条件を追ってみましょう。まず、単位円上に点P(z)があり、円に対しての接線を引きます。その接線に対して、点A(1)と対称な点Q(u)を設定したあと、そのuに対してwを定義して、uやwに関する式を求めるというもの。
要するに、z → u → w の順に点を設定していくわけです。
uとwの関係式は問題文に与えられていますから、zとuの関係式を正確に求められれば(1)はもらいですね。
 
問題なのは、円の接線や、線対称が登場するところです。なぜかと言うと、座標の上で図形を扱う問題は厄介になり易いからです。
図形が登場すると解法が1つに定まらず、ハマらない解法で解くとやたらと時間がかかる事が多いのです。
 
予備校の模範解答では、簡単そうに解いてますが、それは模範解答だからであって、この模範解答に辿り着くまで、色々試さなければならないでしょう。時間がかかることを覚悟しなければならない問題です。
 

複素数zの範囲の絞り方が難しい

(2)では、zの条件を絞り、点R(w)の軌跡を求める問題です。
先ほども書きましたが、zとuの関係式も、uとwの関係式も、この時点では判明していますから、素直にwをw=x+yiとおきxとyの関係式を求めれば良いでしょう。
 
難しいポイントは、zの条件です。
zが単位円の上の一部だけしか動かなくなります。実部が1/2以下だけと言うことなんですが、これをwに反映するのが難しいのです。
予備校の解答も割れていましたし、どれも「そうすれば解けるのはわかるけど、なぜその発想になるのかがわからない」という感じ。複素数平面の入試問題では、こういうことがよくあります。
これに関して、少しまとめてみましょう

偏角か、絶対値か、a+biと置くか

複素数平面というのは、非常に汎用性が高い技術です。
まず、複素数をa+biとおくことがありますが、これはxy座標を意識した文字の置き方です。
これに対して、絶対値と偏角を利用するのは、極座標を意識した設定の仕方。
ということで、基本的に2種類の座標のどちらで解くかという判断が必ず生じます。
また、複素数の和と差は平行移動を表しますし、積と商は回転や原点からの距離の変換を表します。ということは、ベクトルみたいな計算の仕方もするし、三角関数も登場する。指数も登場するし、方程式の概念も使うし、図形も絡む。
ようするに、何でもアリの単元なのです。
 
そのため、解法が様々に分岐して体系的に学べないという、困ったことが生じます。本当に受験生泣かせの単元です。

2018年 東大理系数学 第5問の手書きの解答

今回は、入試問題の解説記事なので、解説や導出の全てを書く事は出来ませんが、予備校の解答速報では特定の解法しか登場していなかったので、私の手書きの解答では、3パターン載せておきました。
意外とゴリ押しでも行けてしまう問題だったかもしれませんね。
 
では、どうぞ。
 

補足として(2)解法3の、xとyの範囲の求め方を載せておきます。

微分しても良いでしょう。
図示の問題では、高得点を取る事が難しくなります。
この問題は、構成としてはスタンダードな問題なんですが、随所に混乱させるようなポイントが混ざっています。
その分、復習に非常に適した問題ですから、何度も解きなおしてみて下さいね。
 

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