【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン　文系第一問

世界一早い東大模試解説を実施します！
東大受験生の皆さん、昨日の東大模試はいかがでしたでしょうか？
夏の東大模試は、一大イベント。
受験生を心から応援企画ということで
「世界一早い東大模試解説」を書きます。

僕のキャパシティ的に、数学を毎日一問ずつしかアップ出来ませんが、今週は毎日アップしますので、どうぞお楽しみに。（多分、毎日・・・）
※今週は河合の東大オープン、来週は駿台の東大実戦に行く予定です。

昨日の東大模試の数学解説。まずは問題全体を眺めよう！
では、早速昨日（厳密には一昨日）実施された問題の解説です。まずは文系第一問の問題はこちらでした。

まずは、問題の全体を眺めましょう。
ふむふむ、３次関数と直線があって、交点の内分点の軌跡とな。
最後に面積計算か。
このくらいざっくりとでも良いので、必ず初めに全体を見てください。
問題としては、よくあるタイプです。

河合の公式解答ってどうよ？スタンダードな解法はこうだと思うけど。
まずは（１）。
３次関数と直線が、ｘ＞０で異なる2点で交わる問題です。
グラフの交点の問題は死ぬほど見てきたと思いますが、原則として一手目は一択で決まりです。連立しましょう。

中学２年生で習う、
「関数のグラフのｘ座標 ＝ 連立方程式の解」
という事実、非常に大切です。
今、大事だな～と皆さんが思ってる、数倍は大切だと思って下さい。
意外と受験生の皆さん、スルーしています。（これ、後でも出てきます。）

連立したら、方程式が出てきます。
方程式は右辺を０にするのが大原則。やってみると、左辺がｘでくくれますね。
要するに、ｘ＝０で解を持つ（つまり、ｘ＝０に交点がある）ことがわかりました。

しかし求める条件は、「ｘ＞０に異なる２解を持つ」ですから、ｘ＝０は無関係。
よって、くくったカッコの中の「２次式がｘ＞０に異なる２解を持つ条件」を満たせば良いとわかります。

ここまでは、超基本事項しか登場してませんので、迷わず到達してほしいところなのですが、ここからは迷う所です。

二次方程式がｘ＞０に異なる２解を持つ条件に関しては、教科書で２度も登場します。さあ、皆さんどの部分か分かりますか？
１度目は、数Ⅰの２次関数の最後の最後。「解の配置の問題」と言われる、アレです。
２度目は、数Ⅱの複素数と方程式です。解と係数の関係の部分で登場します。
２つとも分からなかったら、要復習。必ず２つとも出来るようにして下さいね。

ということで、この２つがスタンダードな解法だと思うのですが、昨日配られた河合塾の解答解説の冊子には、どちらも載っていませんでした。
まあ、確かに計算は簡単なんですけどね。受験生にとっては復習しづらいのでは？せめて別解で載せておいてほしいと思うのですが。ちょっと不満です。

だから、手書きの解答には載せておきました。
河合塾の（僕がスタンダードではないと思う）解法は１番で、
二次関数の解の配置の解法が２番、
解と係数の関係を使う別解が３番、
そして４番には、方程式をグラフの交点だと見る解法を載せてあります。

４番についてですが、さきほど大切だと言いましたよね。
中学２年生で習う、「関数のグラフのｘ座標 ＝ 連立方程式の解」
というルールを利用しています。
普通は「グラフの交点を出せ」と言われたら、連立方程式を立てますが、今回は逆に利用しています。
方程式を見た時に、グラフをイメージしています。これが中々出来ないのです。
この法則だけ知ってると、解法の幅が広がりますし、かなり計算が楽になることがあるんですけどね。なかなか使いこなせません。
日ごろから方程式を見たら、必ずグラフをイメージしておくと良いと思います。

これも、普通は解と係数の関係では？
では次に（２）の問題に行きましょう。
軌跡の問題です。
軌跡の問題は、満点回答を作るのが難しいですね。特に、範囲が限定されている時。
今回もそのパターンなのですが、（１）でｋの範囲が０＜ｋ＜１と限定されています。
すると、それに伴い、求める軌跡の方程式も、全体を動くとは限らなくなります。

と言っても、東大模試に限らず、入試問題や模試の問題ならば、求めた式全体が答えになるような、簡単な問題は出ないと思って良いと思いますがね。

具体的な解法としては、「ＸとＹをパラメータで表し、そのパラメータを消去する」しかありません。
求める動点ＲがＰとＱの内分点ですから、ＰとＱをパラメータで表すことから始めます。

さて、ここでまた河合塾の解法に触れておきましょう。
（１）でも書いた通り、スタンダードな解法が紹介されてません。（が、確かに計算量は減ります。）
だから、（２）もあまりスタンダードな解法で書かれてません。
「なるほど、こういう風にも解けるんだな。勉強になったな。」
と思う分には構いませんが、解けなかった方は先にスタンダードな解法を学んでほしいと思います。

スタンダードなのは、解と係数の関係を用いる解法です。
２次関数や３次関数などに別の関数が交わっていて、その交点の中点（や内分点）の軌跡を求める問題は、非常に頻出です。
そして、普通はこういう時に、解と係数の関係を用います。
（これは一応別解として載ってました）

交点を求める時には連立する（今日は何度も言ってます）のですが、その連立後に求められた方程式の解が、そのまま交点のｘ座標になります。
これを解の公式で求めるのではなく、αとかβでおいて計算を進めます。

と言っても、あまりイメージが湧かないと思いますので、手元の４ＳＴＥＰで類題を載せておきます。これが、解と係数の関係を使って軌跡を求める、簡単な問題です。

では手書きの解説を載せましょう。
河合塾が紹介している（１）の流れを踏襲した解法を１番、
スタンダードな解法の解と係数を使っているものを２番に書きましたので、どうぞ。

Ｘの範囲を見つけるのが、少し難しいかもですね。
ちなみに、解と係数の関係を利用する解法では、あえて式をたくさん立てています。
実際はこのうち数本を使えば求められますが、皆さんが方針を立てやすいかなと思い、あえてたくさん立てています。
目的の式が出るならば、どれを立てて、どれを利用しても良いです。

（３）で学ぶことは、積分の工夫。
では（３）へ。
これは普通の問題ですね。（２）まで解けた方には楽勝でしょう。

面積を求めよと言われていますから、グラフの大小を求めます。ｘｙ座標で、どっちが上で、どっちが下か調べるということですね。

そして、インテグラルの中に、（上の関数）－（下の関数）　を書いて、計算を実行すればＯＫ。やることは簡単です。

でも、積分計算が多少面倒ですね。
インテグラルだけ立てて、計算を省いて、部分点をもらうのも、良い作戦かもしれません。

今回の積分計算に関しては、工夫も出来ます。
数Ⅲを知ってれば、２つは思いつくでしょう。一つは部分積分、一つは置換積分です。

数Ⅱの内容しか知らない方は、仕方なく地道にやるのも一つの手段かもしれません。
工夫の仕方も、あの試験時間の緊迫した中、思いつけるほど簡単ではない気がしますので。

一応手書きの解答には２種類載せました。

あ、接線ｍの方程式の出し方には触れてないですが、大丈夫ですよね。
グラフの大小を調べるのも、面積を分割する発想も難しくないはずです。ちょっと手間ですが、頑張りましょう。

講評
では、最後に一言。
問題としては典型的な問題なのですが、高得点は難しいかもしれません。
軌跡の範囲の絞り方、積分計算などなど、神経を使う計算が多いからです。
１０点取れればまあまあ、１５点取れる人はそうそういないでしょう。

今回の河合の東大模試、文系数学には全般的に言えるんですが、ちょっと難しかったですね。そこそこ難易度の高い問題ばかりでした。
本番より、少し難しいと思っても良いのでは？という印象。まあこの辺は、色々な意見があるでしょうけど。

では、明日は第２問に行きます。お楽しみに。