【世界一早い東大模試解説】２０１７秋　東大オープン　文系第４問

自由度の高い問題に気を付けろ！

だいぶ遅れてしまいましたが、河合の東大模試の最後の問題です。

まずはいつも通り、問題からどうぞ

与えられているのは、放物線の式と、その内部に正方形があるということだけ。

文字変数をどのようにおけば良いのか、分かりません。

こういう自由度の高い問題は、初手が大切！

初手で失敗すると、その後の計算が全て狂います。

例えば、辺の長さを文字で置くか、角度を文字で置くかで、天と地ほど計算量が減る問題なんて、山のようにあります。

だから、ちょっと計算してみて、解答出来そうだったらそのまま、計算量が増えそうだったら、もう一つの方法でやってみるのがオススメ。

ということで、少し時間のかかる問題ではあります。

文字の置き方の例

といっても、この問題はそこまで困らないかもしれません。

というのは、点Ａと点Ｂが軸の乗っかっているからです。

軸の上に点があるときは、その座標を文字でおくのが、定石。

まず、点Ａを（０、ａ）　点Ｂを（ｂ、０）とおいて計算を進めて大丈夫でしょう。

しかし、軸の上の点（つまり切片）を後で求める場合もあります。

例えば、直線の方程式を求めてから、ｘ＝０やｙ＝０をだいにゅうして求める場合。

この場合、直線の傾きを（ｍかなんかの）文字でおいて、直交条件を使うことになりますが、面倒そうな気配がプンプン。

あまりやる人はいないでしょう。

別解として、放物線の上の点をｔでおくものも載せておきました。

これでもＯＫ。

手書きの解答を見てもらえばわかりますが、結局点Ａと点Ｂを文字でおいた場合と、全く同じ結論が得られます。

正方形の条件

つぎに、正方形の条件を考えます。

と言っても、実は正方形の条件は、教科書で習いません。

近いものとして、平行四辺形の条件があります。

四角形ＡＢＣＤが平行四辺形ならば、ベクトルＡＢ＝ベクトルＤＣ

正方形は、「平行四辺形」かつ「長方形」かつ「ひし形」ですから、

これに長方形の条件と、ひし形の条件を加えても求められるかもしれません。

が、そんなことより、座標を書いて、図形的に処理したほうが楽です。

ｘｙ座標はそもそも直交した軸で構成されていますが、正方形も同様。

実は、とても相性の良いもの同士です。

よって、「あまり難しいことを考えず、絵を描いてみたら出来ちゃった」となると思います。

とりうる範囲の問題は、グラフを描こう

次は、正方形の面積を求めますが、これも簡単。別に困らないと思うのでスルーします。

面積を求めたら、その取りうる値を求めるのが、最後の手順ですね。

「取りうる値を求めよ」と言われたら、基本的にはグラフを描きます。

グラフを描かずに答える問題もありますが、グラフを描く手順を省略していることがほとんど。

出来れば、グラフを必ず書いて答えたい所です。

今回は、Ｓがａの４次関数になります。

なので、必然的に微分するしかなくなるので、あまり困らないかもしれませんが、一応まとめておきましょう。

とりうる値を求めよ、最大値（最小値）を求めよ、と言われたら、グラフを描こう

※グラフを描かずに、相加相乗やコーシーシュワルツの不等式などを使うこともあります。

ちなみに、取りうる値の範囲や、最大値最小値だけならば、グラフの代わりに増減表で代用出来ます。

次数下げの方法

定義域の右端が、やや面倒な値になります。

無理数を４次式に代入するのですが、この方法は超基本ですが、いくつか解法があるので、手書きの解答には３パターン載せておきました。

①本当に代入して計算する

②２次式＝１次式の形を作って、何度も代入する。

③割り算をして、余りの部分だけ計算

もちろん、①の方法は計算量が膨大になるので、あまりオススメされません。

②や③の方法を習得しておきましょう。

ということで、手書きの解答です。

解ければ早いし、解けなければ０点に近い、差がつく問題ですね。

こういう問題を解けるようになると、一気に合格に近づきます。

よく復習をしましょう。

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