２０１２年　東大数学　文系第３問　理系第２問の解説

２０１２年　東大数学　文系第３問　理系第２問

今日も行きましょう。２０１２年の確率です。（文理で全く同じ）
昨日の記事で書いた確率の問題に続いて、図形と確率漸化式の問題です。 昨日は触れませんでしたが、図形と確率の問題が出たら、必ず考えることがあります。 それは何かというと・・・

対称性の利用

対称性です。 数学では非常によく強調されるポイントですが、やはり大事！ 現在、１２年分の確率の問題を連続アップ中ですが、対称性に注目して解く問題が頻発します（お楽しみに）   さて、「対称性」と一口に言いますが、主に２種類の対称性があります。 それは ・図形の対称性（線対称・点対称） ・式の対称性（いわゆる対称式） の２つです。   しかし、この問題で注目してほしいのは３つ目の対称性、すなわち「確率の対称性」です。   そして面白いのは、この３つの対称性がリンクして登場することです。   この問題は、正三角形を図のように分割した図形が登場しますが、 線対称
     
図のようにＱ’の部屋を設定すると、ＱとＱ’が線対称になります。そして、Ｑに到達する確率と、Ｑ’に到達する確率が完全に等しくなる。 つまり、「図形の対称性」と「確率の対称性」が同じように登場します。 さらに、後で漸化式を立式すると、「式の対称性」まで登場する。 というように、３つの対称性が同時に登場するという、非常に面白い問題なのです。  

【超頻出】偶奇の場合分け

そして、もう一つ。 これまた、超頻出テーマなのが「偶奇の場合分け」です。 受験生に嫌われるテーマではありますが、残念ながら東大では超頻出なのです。「偶奇を克服せずして東大合格はない」という意識で取り組んでください。   この問題で、どのように登場するかというと、やはり図形の対称性と関連して登場します。 図のように、奇数の時と偶数の時で、到達する部屋が違います。
2012年東大数学　文系第３問　図_000066
   
図形の点の移動と、偶奇は非常に相性がよいので、絶対に押さえておきたい知識です。 このブログを愛読してくれている読者であれば、前回の記事（２０００年の文系第３問）にも同じことが登場しているのがご理解いただけるでしょう。  

確率漸化式の解法

では、気になる解法ですが、対称性と偶奇の性質を大いに利用します。 まず、先ほどの図のようにＱ’の部屋を設定。 そして、Ｐ、Ｑ、Ｑ’の部屋にｎ秒後にいる確率をＰｎ、Ｑｎ、Ｑ’ｎと設定します。 すると、Ｐｎ、Ｑｎ、Ｑ’ｎの遷移図が描けます。   そこで、２本の式を別に立てます。 １つ目は、先ほどからずっと言っている、Ｑの部屋とＱ’ｎの部屋の対称性から立てられる ｑｎ＝ｑ’ｎ   ２つ目は、確率の問題ならば必ず成り立つ式、全て足せば１です。 ｐｎ＋ｑｎ＋ｑ’ｎ＝１   これらを連立して漸化式を解くと解けるという仕組みでした。   では、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

  くどいですが、この問題は、対称性、偶奇、確率漸化式という頻出パターンを全て押さえているという点で、東大数学に確率の黄金パターンに則った問題でした。 この問題をもとに、応用として明日以降の問題をご覧くださいませ。

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