２００６年 東大数学 文系第３問（整数、３文字の３乗の和、存在証明）
目次
２００６年 東大数学 文系第３問
昨日も書いたのですが、 「戦意喪失した人には、勝利はつかめない」 「自分の運命を他人に預けようとする人には、勝利はつかめない」 勝利は強気とイケる気からやってきます。そして、それは根拠のあるものでなければなりません。 そこで、根拠ある自信をつけてもらうため、今日から東大の整数問題の解説を連続アップします。 今日は初回ということで、基本的な問題のこちらをどうぞ。 
よくあるタイプの整数問題。まずはこれを解けるようにするところからスタートしましょう。
整数問題には２つの方針しかない。
では、（１）から見ていきますが、非常に典型的な問題。 ｘ＋ｙ＋ｚやｘｙｚを見たら、大小比較から不等式を作り、このように候補を絞り込みます。
2006年東大数学 文系第3問 赤枠_000045
ｘ＋ｙ＋ｚに関して、小さい方と大きい方、 ｘｙｚに関して、小さい方と大きい方 というように、４つの不等式を作って、使えるものだけ使えばよいです。 問題集の解答には１つしか載ってないかもしれませんが、自分で解く際には４つ全て試してよいでしょう。
不等号を作ったら場合分け
さて、不等号ができたら、候補が絞り込めます。 今回は、ｘｙ≦３となりますから、（ｘ、ｙ）＝（１，１）、（１，２）、（１，３）の３通りしか解がありません。 このように、解を有限個の候補に絞り込むことを、日本語で「整数問題を解く」と言います。 あとは場合分けして、一つずつ調べていけばOK。 教科書や問題集の例題のような問題でした。
３文字の３乗の和
さて、（２）に行きましょう。 次数が３に上がり、解が存在しないことの証明をします。 ここで注目したいのは、３文字の３乗の和です。 大学受験において、３文字の３乗の和が登場したら、いつもこれ！という式変形があります。 これです。
3
数学では頻出ですから、この式に関連した知識を必ず頭に入れましょう。
３文字の３乗の和を利用した解法
では、この式を利用した解法をご覧ください。
2006年東大数学 文系第3問 解法１_000046この解法のポイントは、何度も書きますが、知識があるかどうかでしょう。
しかも、赤枠の中の変形は、閃きでは絶対に思いつけない変形でしょうから、やはり覚えておかなければなりません。 では、他の解法に行きましょう。
別解：相加相乗平均の利用（３文字）
ほとんど同じですが、別解として相加相乗平均の利用をする解法があります。 これも、知識を覚えていれば使いこなせる解法です。
2006年東大数学 文系第3問 解法２_000047「数学は暗記だ」 「いや、数学は暗記ではない」 という論争がありますが、暗記って大事ですねぇ。
文系受験者でも、暗記で点数が取れるという、好例です。
別解：（１）と同様の変形
では、おまけの別解を載せましょう。 （１）と同様に変形すると解けます。
2006年東大数学 文系第3問 解法３_000048（１）と違って、ｘ≦ｙ≦ｚの不等号がありませんが、 画像のように「一般性を失わない」と但し書きを描けば、大小を決めてOK。 これでも解けますね。 では、全体の手書きの画像をどうぞ 2006年東大数学 文系第3問 全部_000049
まとめ
（１）は基本に忠実に式変形するだけ。 （２）は「これを見たらいつもこれ」という知識を使うだけ。 どちらも簡単に思えるようにしましょう。 整数問題の初日としては、良いですね。では、また明日。
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