２０１７年　東大数学　文系第４問　理系第４問　の解説（過去問とそっくり）

２０１７年　東大数学　文系第４問　理系第４問

２０１７年　東大数学　文系第４問　理系第４問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

実は、この問題の解説を書くのは２度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の１９９７年の問題と、前回の２００３年の問題の流れで見てほしかったからです。「いやいや、今回は共役な無理数がないじゃないか」と思うかもしれませんが、ありますよ、ちゃんと。ｐに対し、－１／ｐが登場していてわかりづらくなっていますが、計算してみるとちゃんと共役になるのです。ちなみに、ｐ＝２＋√５に対して、－１／ｐは２－√５になります。こざかしいマネをしてますが、東大の整数の歴史をたどれば、連想するのは当然なのです。

過去の問題と比較しよう

では、１９９７年の問題と、２００３年の問題と比較してみてみましょう。この２回で書いたのは、共役な無理数のｎ乗が登場したら、帰納法で整数だと証明させていました。その時に必要なのは、漸化式。もっと言えば、３項間の漸化式が得られて、強化帰納法を使うのでした。それを知っている前提でこの問題を見てみましょう。おやおや、（１）でａ１とａ２を求めているぞ。（２）では、ａ１ａｎをａｎ＋１とａｎ－１で表せとな。ということは、３項間の漸化式を作れということに他ならない。そして、（３）では自然数になることの証明。なんだ、同じじゃないか！！となるわけです。（２）の漸化式の作り方も、ａ１ａｎから作ろうとすると難しいけど、いつも通りの作り方をすると、ごくごく自然。

2017 文系第４問　因数分解

ということで、（３）までは瞬殺の問題なのでした。

（４）の発想も自然にユークリッド

では、（４）に行きますが、出題された当時は、ユークリッドの発想が難しいと噂になってましたが、そうですか？僕からしてみると、自然な発想なのですが。だって、最大公約数に絡む技術って、２つくらいしかないですもの。一つは最大公約数と最小公倍数をｇとｌっておいて、 ①ａ＝ａ’ｇ ②ｂ＝ｂ’ｇ（ａ’とｂ’は互いに素） ③ｌ＝ａ’ｂ’ｇ ④ａｂ＝ｇｌの４式を立てる方針。二つ目がユークリッドの互除法です。確かにユークリッドの互除法を漸化式に使う発想は難しい（というか慣れていない）かもしれませんが、着想はできるはず。ということで、手書きの解答です。

2017(4)文数　解説

ということで、今回は力を抜いてこれくらいで終わりましょう。いや～、過去問を解くのって大事ですね。

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