2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問 の解説(過去問とそっくり)

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。

 

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

 

実は、この問題の解説を書くのは2度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の1997年の問題と、前回の2003年の問題の流れで見てほしかったからです。

「いやいや、今回は共役な無理数がないじゃないか」

と思うかもしれませんが、ありますよ、ちゃんと。

 

pに対し、-1/pが登場していてわかりづらくなっていますが、計算してみるとちゃんと共役になるのです。

ちなみに、p=2+√5に対して、-1/pは2-√5になります。

こざかしいマネをしてますが、東大の整数の歴史をたどれば、連想するのは当然なのです。

過去の問題と比較しよう

では、1997年の問題と、2003年の問題と比較してみてみましょう。

この2回で書いたのは、共役な無理数のn乗が登場したら、帰納法で整数だと証明させていました。

その時に必要なのは、漸化式。もっと言えば、3項間の漸化式が得られて、強化帰納法を使うのでした。

 

それを知っている前提でこの問題を見てみましょう。

 

おやおや、(1)でa1とa2を求めているぞ。

(2)では、a1anをan+1とan-1で表せとな。ということは、3項間の漸化式を作れということに他ならない。

そして、(3)では自然数になることの証明。

 

なんだ、同じじゃないか!!

 

となるわけです。

(2)の漸化式の作り方も、a1anから作ろうとすると難しいけど、いつも通りの作り方をすると、ごくごく自然。

ということで、(3)までは瞬殺の問題なのでした。

(4)の発想も自然にユークリッド

では、(4)に行きますが、出題された当時は、ユークリッドの発想が難しいと噂になってましたが、そうですか?

僕からしてみると、自然な発想なのですが。

 

だって、最大公約数に絡む技術って、2つくらいしかないですもの。

 

一つは最大公約数と最小公倍数をgとlっておいて、

①a=a’g

②b=b’g(a’とb’は互いに素)

③l=a’b’g

④ab=gl

の4式を立てる方針。

 

二つ目がユークリッドの互除法です。

 

確かにユークリッドの互除法を漸化式に使う発想は難しい(というか慣れていない)かもしれませんが、着想はできるはず。

 

ということで、手書きの解答です。

 

 

ということで、今回は力を抜いてこれくらいで終わりましょう。

 

いや~、過去問を解くのって大事ですね。

 

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