2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問 の解説(過去問とそっくり)

 

 

2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。  

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

  実は、この問題の解説を書くのは2度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の1997年の問題と、前回の2003年の問題の流れで見てほしかったからです。 「いやいや、今回は共役な無理数がないじゃないか」 と思うかもしれませんが、ありますよ、ちゃんと。   pに対し、-1/pが登場していてわかりづらくなっていますが、計算してみるとちゃんと共役になるのです。 ちなみに、p=2+√5に対して、-1/pは2-√5になります。 こざかしいマネをしてますが、東大の整数の歴史をたどれば、連想するのは当然なのです。

過去の問題と比較しよう

では、1997年の問題と、2003年の問題と比較してみてみましょう。 この2回で書いたのは、共役な無理数のn乗が登場したら、帰納法で整数だと証明させていました。 その時に必要なのは、漸化式。もっと言えば、3項間の漸化式が得られて、強化帰納法を使うのでした。   それを知っている前提でこの問題を見てみましょう。   おやおや、(1)でa1とa2を求めているぞ。 (2)では、a1anをan+1とan-1で表せとな。ということは、3項間の漸化式を作れということに他ならない。 そして、(3)では自然数になることの証明。   なんだ、同じじゃないか!!   となるわけです。 (2)の漸化式の作り方も、a1anから作ろうとすると難しいけど、いつも通りの作り方をすると、ごくごく自然。

2017 文系第4問 因数分解

ということで、(3)までは瞬殺の問題なのでした。

(4)の発想も自然にユークリッド

では、(4)に行きますが、出題された当時は、ユークリッドの発想が難しいと噂になってましたが、そうですか? 僕からしてみると、自然な発想なのですが。   だって、最大公約数に絡む技術って、2つくらいしかないですもの。   一つは最大公約数と最小公倍数をgとlっておいて、 ①a=a’g ②b=b’g(a’とb’は互いに素) ③l=a’b’g ④ab=gl の4式を立てる方針。   二つ目がユークリッドの互除法です。   確かにユークリッドの互除法を漸化式に使う発想は難しい(というか慣れていない)かもしれませんが、着想はできるはず。   ということで、手書きの解答です。  

2017年東大数学 文系第4問1_000125
2017年東大数学 文系第4問2_000126

ということで、今回は力を抜いてこれくらいで終わりましょう。   いや~、過去問を解くのって大事ですね。  

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