２０１９年 東大数学 理系第３問（２） （空間図形、平面で切断）
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２０１９年 東大数学 理系第３問（２）
では、昨日の（１）の解説に続きまして、（２）の解説に行きましょう。
切断面は何角形？
（２）の問題は、切断面が八角形になるｐの範囲を求めよというものです。
（１）が大きなヒントになっているのですが、お気づきになったでしょうか？
まずは、（１）の結論の図をもう一度ご覧ください。
点Ｐに対して、左側を平面αが通るか、右側を通るかで場合が分れています。
そして、これが八角形になるかならないかの境界線になるのです。
どういうことでしょうか？
平面と直線の共有点は、点
これも（１）と同様、空間図形の基礎的な考え方を使います。
平面と直線の共有点は、点になるというものです。
（１）の結論の図は、ｙ＝０の切断面のみを表していますが、本当は八面体です。八面体には１２本の辺がありますから、そのうちいくつかを平面αが切断しているはずです。
ということで、（１）の図に、書かれていない八面体の辺（をｙ＝０に射影したもの）を赤色で書き込んでみました。実際には、紙面から手前向きの辺と、奥向きの辺があるのですが、対称性からｙ＝０上では１本の線分に見えています。
（ｙ＝０上にある辺は青色です。）
例えば、２＜ｐ＜３の場合はこちらです。
平面αが、①②③④と４回八面体の辺と交わっているのがわかるでしょうか？
このうち、①と④は青色（ｙ＝０上の辺）の交点で、②と③は赤色（ｙ＝０上にない辺）との交点です。
①と④はｙ＝０上で平面αと交わっているから数え方は簡単なのですが、②と③はそうはいきません。②と③は対称性からｙ＜０とｙ＞０に１つずつ交点があるはずなので、２つ分と数えます。
つまり、１＋２＋２＋１＝６となり、切断面は６角形であることが分かるのです。
これを、ｐ＝３の時と、３＜ｐ＜４の時でも書いてみると、
ｐ＝３では６角形、３＜ｐ＜４の時は八角形になることがわかります。
よって、（２）の答えは３＜ｐ＜４となるのです。
ちなみに、先取りして（３）の序盤をお見せすると、ｘ＝０に射影した図はこのようになり、確かに八角形であることが分かります。
立体的に考える方が難しい
ということで、答えが出たわけなんですが、立体的な図を描いて、切断面が８角形になることを理解することはできるのでしょうか？
もし実物大のものを用意して、カッターか何かで切断したら一番わかりやすいのでしょうが、入試会場ではできません。
やはり、頭の中にイメージするか、計算用紙に「立体的な図」を描いて考えるしかありません。
僕も、手書きの解答を作るときに、あれこれ試して描いてみたんですが、どうにも上手く示せずに時間を浪費しましたし、読者の皆様に分かりやすいような図に仕上がりまっせんでした。
やはり、立体は平面図形に切断して、その上で考える方が良いのでしょう。
切断自体は小学生や中１で習う技術なのですが、奥が深いものですね。
ということで、明日は（３）に参ります。
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