2005年 東大数学 文系第2問(割り切れる=倍数、互いに素の条件)
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2005年 東大数学 文系第2問
昨日のスタンダードな整数問題に続いて、今日も割とスタンダードな問題をどうぞ。
さてさて、キーワードが満載。
これをどう見る!?
「割り切れる」条件は、割り切れる=倍数
まず、「割り切れる」条件を言い換えることからです。
「割り切れる」と言われるとき、私がまず思いつくのが「〇〇の倍数」と言い換えること。
今回は10000で割り切れる条件なので、10000の倍数と言い換えます。
すると、a^2-a=10000k(kは整数)と表現できます。
これで等式ができました。
連続2整数は互いに素
さて、(積)=(整数)の形が作れたので、次は因数分解をして候補の絞り込みをします。
左辺を因数分解し、右辺を素因数分解すると
a(aー1)=2^4×5×4 (※)
となります。
ここで大切なのが「連続2整数は互いに素」だという事実です。xとx+1など、連続する2整数は必ず互いに素になるのです。
これは、超有名事実。知らなければならない常識です。
証明はこちら
これを利用すると、aとaー1が互いに素だと分かります。
また、aは奇数という条件があり、右辺の10000の素因数が2と5だけなので、
a=5^4の倍数 ⇔5^4c
aー1=2^4の倍数 ⇔2^4d
と表せます。
これを、(※)の式に代入すると、1次の不定方程式が出てきます。
不定方程式の解法
さて、不定方程式が登場しましたが、今回は教科書に登場するようなユークリッドの互除法が利用できるパターンの式。
(わからない人は、教科書を参照のこと。必ず載っています)
ということで、満たす整数解を一つ見つけて、一般解を求める流れになります。
ということで、手書きの解答をどうぞ。
まとめ
今回の問題は、
「割り切れる条件」を倍数表現に直せるか
互いに素の条件を使いこなせるか
の2点にありました。
これさえ使えれば得点が取れるのですが、決してハードルの高い問題ではありません。むしろ基本知識として覚えるもののはず。
整数問題は難しいイメージがあるかもしれませんが、実は使うのは基本的な知識ということがよくある。
知識不足を感じた人は、今から学びなおすのをおススメします。
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