２００５年　東大数学　文系第２問（割り切れる＝倍数、互いに素の条件）

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２００５年　東大数学　文系第２問

昨日のスタンダードな整数問題に続いて、今日も割とスタンダードな問題をどうぞ。

さてさて、キーワードが満載。

これをどう見る！？

「割り切れる」条件は、割り切れる＝倍数

まず、「割り切れる」条件を言い換えることからです。

「割り切れる」と言われるとき、私がまず思いつくのが「〇〇の倍数」と言い換えること。

今回は１００００で割り切れる条件なので、１００００の倍数と言い換えます。

すると、ａ＾２－ａ＝１００００ｋ（ｋは整数）と表現できます。

これで等式ができました。

連続２整数は互いに素

さて、（積）＝（整数）の形が作れたので、次は因数分解をして候補の絞り込みをします。

左辺を因数分解し、右辺を素因数分解すると

ａ（ａー１）＝２＾４×５×４　（※）

となります。

ここで大切なのが「連続２整数は互いに素」だという事実です。ｘとｘ＋１など、連続する２整数は必ず互いに素になるのです。

これは、超有名事実。知らなければならない常識です。

証明はこちら

これを利用すると、ａとａー１が互いに素だと分かります。

また、ａは奇数という条件があり、右辺の１００００の素因数が２と５だけなので、

ａ＝５＾４の倍数　⇔５＾４ｃ

ａー１＝２＾４の倍数　⇔２＾４ｄ

と表せます。

これを、（※）の式に代入すると、１次の不定方程式が出てきます。

不定方程式の解法

さて、不定方程式が登場しましたが、今回は教科書に登場するようなユークリッドの互除法が利用できるパターンの式。

（わからない人は、教科書を参照のこと。必ず載っています）

ということで、満たす整数解を一つ見つけて、一般解を求める流れになります。

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回の問題は、

「割り切れる条件」を倍数表現に直せるか

互いに素の条件を使いこなせるか

の２点にありました。

これさえ使えれば得点が取れるのですが、決してハードルの高い問題ではありません。むしろ基本知識として覚えるもののはず。

整数問題は難しいイメージがあるかもしれませんが、実は使うのは基本的な知識ということがよくある。

知識不足を感じた人は、今から学びなおすのをおススメします。

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