2020年東大数学 文系第2問の解説

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2020年東大数学 文系第2問

東大にしては、非常に珍しい「場合の数」の問題。必ずと言ってよいほど確率ばかり出るのに、場合の数が出題されました。
但し、場合の数も確率も似たような単元(基礎、応用の関係)なので、違和感はそこまでなかったかもしれません。

(1)重複の数え方が難しい!

では、問題の中身に行きましょう。

テーマとしては、格子点16個のうち5つ選び、条件にあうパターンは何通りあるかを数える問題。つまりアルアルのテーマです。
とりあえず全部で16C5通りがあるのは簡単として、難しいのは条件に合う場合を求めるところです。
選んだ5個の点を1つも含まない直線が2本存在するものを選ぶとな。
とりあえず、縦に2本、横に2本、縦横1本ずつ、の3通りがあるところまでは簡単。
次に、例えば縦2本の直線上に点が乗っからない場合を考えると、5個の点の配置私大では、3本目の乗っからない直線が出てきてしまう。
などなど考えると、場合分けや状況の整理をかなりていねいに行っていかないと、当たらないという問題です。
しかしながら、言い換えれば、別にそんなにひねりがないとも言えます。丁寧に場合分けをして、計算していけば当たる問題なので、
例えば、高校1年生が場合の数を履修し終わった段階で、練習問題として出題するなどというのは、効果的な使い方でしょう。

(2)どっちで攻める?

では(2)ですが、(1)は「2本存在する場合」に対して、(2)は「1本も存在しない」という問題です。
普通、このように問題が流されている場合、(1)を誘導として利用して(2)を解きます。
つまり、「1本存在する場合」や「3本存在する場合」を求めて、全体から引くわけですね。(余事象)
始めこれでやってみたら、面倒になり過ぎるかなと思い、手書きの解答では避けて書いたのですが、あとで思い付いたので追記しておきました。
手書きの解答では、余事象を使わず、全ての直線が点を含む場合の数を数えてますが、これもそれなりに面倒です。
これを正確に答えられるというのは、かなり高い数学力があると思いますね。
問題としては、そこまで変わった特徴がない問題ですね。
やはり、来年以降の対策としては、場合の数も出るというのが注目ポイントなのでしょうか。

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