2021年東大入試 大総括!その③(文系数学)【個別の有料販売】

2-2文系数学

【敬天塾オリジナルレーダーチャート】

【各社の難易度比較】

【科目全体の講評】

総合難易度 やや難

トピック① 高得点が取りづらい
第2問(2)や、第4問(2)(3)などは純粋に難しい問題。また第1問の円と3次関数が絡む問題や、第3問の通過領域の問題は新傾向と言ってよい問題です。
こういう問題が多いと、満点や高得点が取りづらくなります。
数学で高得点を取って逃げ切ろうという作戦だった受験生には不利な問題だったことでしょう。

トピック② 部分点が取りやすい
一方で、白紙答案にもなりづらい問題でした。
第1問は、満点は難しくても、連立するとかグラフを描こうとして微分するなど、数点の部分点なら簡単です。
第3問(1)は非常に簡単で、基本的な実数解の条件を使うだけでした。
第4問も(1)も合同式や余りの式を立てることは難しくなく、(4)は(2)や(3)を解かなくても答えることができる問題でした。

このように、去年(2020年)の問題と比べて、部分点が取りやすい問題だったと思います。

体感として、もともと数学が苦手で部分点狙いだった人にとっては、去年より簡単になったと感じただろうし、数学が得意で高得点を狙っていた人にとっては、かなり難しいと感じたセットだったのではないかと思います。

トピック③ パターン問題がなくなり、その場で考える問題ばかりになった。
「見た瞬間に方針が定まってあとは計算するだけ」のような問題は1問もなく、ゴチャゴチャ手を動かして、やっと概要が掴めてくる問題が増えた印象です。

もしかしたら、東大が典型パターン問題を封じに来ているのかも!?
それにしても、手を動かしていれば方針がちゃんと定まってくるレベル設定になっており、毎年ながら東大の先生方の問題作成能力は圧巻です。
また、一般の難易度判定では、純粋に問題の難しさばかりが論じられることが多いのですが、敬天塾ではどれくらい時間がかかるかも重視します。
今年の問題は、難易度そのものも高いと思いますが、方針を定めるのに時間がかかる上に、計算量もそこそこ多いということで、時間が圧迫されやすい問題も多かった印象です。

トピック④ 設定が難しくなっている
第1問では、円と3次関数の共有点の個数の問題が出題されました。
一般的な問題集では、座標上で円と絡むのは、点か直線か円。たまに放物線。しかし今回は、3次関数との共有点ということで、他にあまり出題例のない問題でした。
また、第2問の場合の数の問題ですが、とても抽象度の高い問題で、事前に見たことがない設定だったと思います。
また、第3問では、東大ではお馴染みの通過領域の問題でしたが、これまで出題されてきた解法では通用しにくいタイプの問題でした。(詳しくは後述)
第4問でも、2つのコンビネーションの式を比較させ、偶数の数を数えさせるという、目新しい問題でした。

トピック⑤ だから、完答は難しい。部分点を稼ぐ勝負
知らない設定ということもありますが、もう一つ。
後半になると計算量が増えたり、場合分けが面倒になったり、論理が展開したりと、完答が難しい問題ばかりでした。
そのため、いかに部分点を稼ぐかが大事な印象。
もちろん、第3問の(1)みたいな、絶対取らなきゃいけない問題は、最重要なのは前提です。

トピック⑥ ある程度、最近の傾向を踏襲してきた
しかしながら、ある程度は予想通りの出題だったと言えます。

例えば、第2問に場合の数が出ましたが、敬天塾としては、「場合の数が出る(確率ではない)」と予想して、生徒向けに対策を促してきました。これは過去問を見ていれば自然な発想
第3問の通過領域も、新傾向になるのは予想の範囲内で、今年最も力を入れて対策していました。
第4問の(1)の合同式も予想通りだし、整数の理論に絡む問題が出るだろうというのも、予想通りでした。

ということで、過去問は解くだけではなく、分析して傾向を掴むのも重要
「とにかく過去問を解け」と絶叫する(される)場合は、もう一歩踏み込んで「東大側の心理」まで迫ってみると良いのでは?
「過去問=解くもの」という発想だと、傾向の予想は出来ませんが、過去問を何度も並べて見返してみると、意外と予想できるものだな、というのが今年の問題の印象でした。

【設問別の講評】

文系第1問 3次関数と円、実数解の個数

難易度 やや難

設問別講評では、細かい解法は説明しません。
後日アップロードされる解説記事などを参考にしてください。

見てびっくり、解いてびっくり!
なんと、円と3次関数の問題。さっきも書きましたが、円は3次関数とは絡まないのが普通です。
点や直線、円と同時に出るのがせいぜいで、放物線と絡むパターンですらちょっと難しいパターンに分類されます。
ちなみに、円と放物線が絡むのは、たいていは放物線の軸が円の中心を通るパターンに限られていると思います。もっと言うと、放物線の軸がy軸に一致し、円の中心もy軸上にあるパターンが多いでしょう。端的に言えば、対称性が保たれているパターンです。
それが、飛び越して3次関数と絡むとは、ビックリです。(浮気すんな)

しかし、解いてみると、しっかり関数や方程式の理論が分かっていれば大丈夫な問題なようです。
詳しい解説は、後日アップする解説記事に任せますが、基本的な放物線の理論や関数の理論が理解できていれば、しっかり基本問題に帰着するという、神設定!!!

一見難しそうなので、手を出したくなくなるのですが、手を付けた「勇者」にはちゃんと救いの手を差し伸べるという、東大の問題作成能力には脱帽です。

また、声を大にして叫んでおきますが、この問題は絶対に来年以降に受験する生徒は何度も解きなおし、分析しまくってほしい問題です。
後で「対策法コーナー(【2021年入試の傾向を踏まえると、今後の対策はどうする?】)」がありますが、この問題は別解がものすごくたくさん考えられますし、どの方法をどんな理由で判断するか、考えれば考えるほど勉強になります
別解がたくさん登場すると、どの方法を取るかの判断に時間がかかります。
予備校の難易度判定では簡単めな判定になっていますが、敬天塾では、計算量、発想力、解法の判断力、初見の設定への対応力など様々加味して、やや難と判定しておきます。

文系第2問 集合と場合の数

難易度 (1)は標準、(2)はやや難~難

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