２０１６年 東大理系数学 第６問（対称性、切断で次元を落とす、回転対称性）
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２０１６年 東大理系数学 第６問（対称性、切断で次元を落とす、回転対称性）
問題文は短くシンプル。でも、２０１６年で一番難しいとされている問題です。（東進によると） 僕個人としては、第５問の方がイヤだって感じるんですが、第５問と第６問が解きづらいというのは、揺るぎないでしょう。
空間図形の体積を求める問題２つのポイント
テーマは空間図形の体積を求める問題。いわゆる「求積問題」です。 東大は空間図形の問題が大好きです。良く出ます。僕が高校生の頃は、指導してもらってた数学の先生に、空間図形の問題を解かされまくってました。 空間図形の求積問題では、大きなポイントが二つあります。 ①対称性を考えよ ②切断して断面を考えよ
空間図形の体積を求める問題 ポイント①対称性
まず①の対称性に関して。 人間の頭っていうのは、一度に色々考えられません。複雑なものは苦手ですし、大きなものや、長いものも苦手。平面より空間が難しく感じるのは当然です。 そこで、数学の先生がよく注目させるのが対称性。 図形においての対称性というのは、一部の特徴が、他の場所にも全く同じように表れるという事です。 具体的には２種類あって、線対称と点対称。中学１年生の幾何で習います。 空間図形のように、イメージし辛く複雑な図形の時には、かなりの確率で対称性に注目すると簡単になります。全体を見る必要がなくなり、一部だけに注目すれば良くなります。
空間図形の体積を求める問題 ポイント②切断して次元を落とす
そして②の切断に関してです。 まず最も大切なことを言いましょう。切断というのは次元を一つ落とす行為です。 立体を切断すると、断面は平面になりますよね。３次元が２次元になるということです。 ちなみに、移動は次元を上げる行為です。点を移動させると線になり、線を移動させると立体図形になります。
回転対称性が出たら、輪切りして円にせよ
今回の問題は、点対称の発展版の、回転対称性があります。これに気付けば、かなり問題が非常に簡単になります。 そして回転対称性があるということは、輪切りにすると必ず円が出てくるという事です。その円の面積を求めて、積分すれば答えがでます。 という事はその円の半径さえ求められれば良いので、どうすれば最も合理的な方法で切断出来るか考える、という流れになります。 ここまでを踏まえて、手書きの解答をどうぞ。 
読んでわかる通り、私はｘ-ｚ平面で切断しました。これで、空間図形の問題が平面図形の問題に早変わりです。 こうして、問題を簡単にしていくわけですね。
点Pを設置して立式
さて、立式ですが、まずは点Ｐを設置するのは絶対です。 積分ですから動点Ｐ（Ｘ，Ｚ）を設定すると、なんと求めたい円の半径も、点Ｐのｘ座標そのものですね。という事で、インテグラルも作ってしまう。あとはＸとＺの関係式を作れれば良いわけですね。 手書きの解答のx-z平面を見て下さい。 点Ｐ（Ｘ，０，Ｚ）が設置してあって、Ｃ（０，０，１）が定点。これで直線が決定します。 あとは、長さ２をどのように表現するかが問題ですが、解答のようにＰＡの長さをを２まで動かすという事で処理出来ます。 この辺りの立式の仕方が少し難しいかもしれませんが、良く考えれば合理的な立式の仕方だと思いますので、復習をして下さいね。
