2019年 東大数学 理系第6問(2) (解と係数の関係、複素数平面の3方針)

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2019年 東大数学 理系第6問(2)

昨日の(1)の解説に引き続き、(2)に行きましょう

解と係数の関係を使おう!

(2)は、bとaの関係式を求める問題。
これは、解法の方針が立てやすいかと思います。
なぜなら、
・(1)で4つの解の情報が絞り込めている(実数解2つ、共役な虚数解2つ)
・aやbは、4次方程式の係数
ということから、解と係数の関係を使うというのは、発想としては自然。
早速、解と係数の関係を立式してみましょう
 

教科書の範囲外のことは、証明が必要なのか?

しかし、ここで問題が一つ。
4次の解と係数の関係の式って、そもそもご存じでしょうか?恐らくほとんどの受験生が、立式したことがないのでは?
 
よく受験数学界では、
「教科書に載っていないものは、証明なしで使ってはならない」
と言われていますが、これ、出典はどこの誰からなのでしょうか?「ウワサ」以上の説得力を持った説明を聞いたことがないのですが。
「ウワサ」でなければ「常識」でもなんでもよいです。つまり明確に大学側で減点をしているという明確な証拠がないという意味です。
 
そもそも、教科書に載っていないような高度な定理なんかを、証明して答えを導いている模範解答すら、見たことがないのですが。マボロシ~。
 
例えば、こちらのYahoo!知恵袋のページを見ても、アンサーは良いことを言っていると思うものの、明確に証拠が出されていません。
 
僕も生徒の頃はどこかの先生にそう習いましたが、そういう「ウワサ」ばかりではっきりとした証拠が見つかりませんでした。
 
では、今回の問題。
4次の解と係数の関係を使いたいのですが、教科書には2次か3次までしか載ってません。
そもそも教科書にもレベルがあって、2次しか載ってない教科書もあれば、3次も載っているものもあります。
載っていたとしても、3次は「研究」とか「発展」の内容として載っているので、必ず学習する内容ではないページに収められているかもしれませんし。
 
「数学は答えが明確に出る」ということを言う人もいますが、いやいや出ません。
グレーなことばかりです。

解と係数の関係を求めよう

いずれにしろ、4次の解と係数の関係を証明すればよいんでしょ?
ということで、証明してみましょう。
 
さて、手元にある、数研出版の教科書では、2次の解と係数の関係の証明が載っています。しかし、「使えない」
なぜかというと、解の公式で実際に解を出して、和と積を求めているからです。
 
これでは、4次方程式の解の公式を知らないと証明できません。
 
確かに、解の公式で導き、和と差をとれば分かりやすいですが、一般的ではありません。普通は、恒等式で証明します。
同じ数研出版の教科書でも、なぜか3次は恒等式で証明してました。(発展内容ですが)
これを応用して4次の解と係数の関係を証明すればよし。これで安心ですね。
(僕の手書きの解答では、超簡単に証明っぽいことを書いておきました。)
 
ちょっと思ったんですけど、「証明せよ派」の方々は、解答欄のスペースについては、どのように言及しているのでしょうか?
東大の解答用紙は、第3問と第6問だけ2倍のスペースが与えられているので、広々と書けるのですが、もしや、証明スペースまで見越して第6問に設置されている!?
 

場合分けと「一般性を失わない」

長々と「解と係数の関係」について書いてしまったので、後半はテンポよくすすみましょう。
(1)で「実数解2つ、共役な虚数解2つ」と証明できたので、これを使います。
そして、条件3を眺めると、
(ⅰ)αとβが実数で、γとδが共役な虚数解
(ⅱ)αとγが実数で、βとδが共役な虚数解
の2通りが考えられます。
 
実際は、他にもパターンがありますが、結局上の2つと同じ条件に集約されてしまうので、上の2つだけでよくなります。このような時に記述で「一般性を失わない」と書くと便利ですね。
 

(ⅰ)はすぐに棄却、(ⅱ)で進める

さて、場合分けしたところで、解答を進めます。
この解答を作る前に、河合塾と東進の解説を読んでみたんですけど、かなり読みにくく、分かりづらい。
答えが分かってる僕でも、読み取るのにストレスを感じるくらいなので、分かりやすくまとめなおしました。
 
(ⅰ)を知れべ手見ると、条件3と照らし合わせて、すぐに棄却されます。
(実数)=(虚数)という、あり得ない等式が出るからです。

複素数の3方針を思い出そう

ということで、(ⅱ)に全ての可能性を込めて解答を進めます。
しかし(ⅰ)のように、すぐに解答が進むわけではありません。試行錯誤して上手くいかない方法をいくつか試すことでしょう。
 
このような場合、思い出すのがコレ。
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
複素数平面の3方針です。
 
今回は、②の直交座標形にするとうまくいきます。(③極形式 が適切でなさそうなのは、何となくお分かりでしょうか?)
 
やはり条件3に代入して進めると、見事、筆が進みそうな等式が出てきます。
これで、場合分けをして解答を進めると、見事答えが導けます。
では、最後までどうぞ。
では、明日は(3)の解説です。長いなぁ。
(これ、実際の入試では解答用紙に書き切れるのか??)
 
 

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2019年 東大数学 理系第6問(1) (第1手をどうするか?。有名事実を覚えよう)

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2019年 東大数学 理系第6問

では、2019年最後の問題
頻出の複素数平面です。
しかし、見たことのない条件がたくさん!これは難しい問題でした。
さて、第1手として、あなたはどうする?

条件や方針の整理

まず、与えられた情報を整理してみましょう。
 
条件1:α、β、γ、δは全て違う複素数
条件2:その4つが解となる、4次方程式
条件3:αβ+γδは純虚数
の3つです。
 
そして、複素数平面では、必ず3通りの方針が存在します。
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
 
これらをもとに、式をいじっていくということですね。
 
そして、証明したことは
「α、β、γ、δのうち2つが実数で、残りの2つは共役な複素数である」
ということ。

第1手の付け方

さて、この問題、何が難しいって、第1手の付け方です。
すぐに正解の方針が思い付いたとしたら、偶然かヒラメキでしょう。あまり類題がない問題です。
 
先ほどまとめた情報の中で、特に情報量が多い、というか厳しい条件は「条件3:αβ+γδは純虚数」でしょう。これを中心に問題を解いていくのでしょうが、純虚数の条件ではイマイチ方針が不明。
 
例えば、純虚数に関する条件としては「共役なもの同士を足して0」というものがありますが、αβ+γδを共役にしたものを作って和を取ったところで、新たな複素数が4つ生まれてしまい、困ってしまいます。
 
こんなことを考えていると、方針が立たなくて時間が刻々と過ぎてしまう。
ということで、あまり長く考えているヒマもないですから、飛ばして別に行っても良い問題だと思います。

とりあえず、共役な解を持つ事実を指摘してみる

大きな方針が立たないということで、まずは必ず使いそうな事実から始めてみましょう。
実数係数の方程式の場合、共役な複素数の両方が解になる」というものです。
 
ちょっとだけ注意しておくと、実数係数に限った話です。複素数係数では成り立たないのでご注意を。

3つの可能性しか残されない

すると、共役な複素数解が2個セットで同時に出てくることになるので、虚数解が1個しかない」とか「虚数解が3個」の可能性はないのです。
これで少しだけ話が進んで
(A)実数解が4つ
(B)実数解が2つと、共役な虚数解が2つ
(C)共役な虚数解のセットが2つ
という3つの場合しか考えられないことになります。
 
この中で、証明したいのは(B)のパターンになることで、必ずこの3つのうちどれかが成立するので、
(A)と(C)の可能性を排除すれば、残った(B)の可能性のみが残されて(1)が解けることになります。
 
と、読んだり聞いたりすれば簡単そうに聞こえますが、ここまで発想するのも結構難しいと思います。
やはり、150分の試験時間の中で、前半で取り掛かる問題ではない気がしますねぇ。
 
では、(1)の解答をどうぞ
 
先ほどの解答の方針に気付いてしまえば、あとはスムーズに筆が進みます。
ポイントは最も厳しい「条件3:αβ+γδは純虚数」から手を付けることでしょう。
もし上手くいかなくても、複素数平面の3つの方針
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
のうち、②や③を利用して解こうとするのも良いでしょう。
 
では、長くなったので(2)と(3)は次の記事へ

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2019年 東大数学 理系第5問(微分、解の配置、不等式の証明、極限、ハサミウチ、微分の定義)

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2019年 東大数学 理系第5問

 
今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題(笑)
極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。
では、解説していきましょう。
 

微分しても解を持つ条件がうまくいかない

では、(1)から見ていきましょう。
よくある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。
なければ、中間値の定理で、yが負になるxの値と、yが正になるxの値を求めれば終わりなのになぁ。
 
「ただ一つの」と言われているので、仕方なく微分して増減表を描く路線に行きます。
いつものように、(左辺)-(右辺)をf(x)とおいて、微分します。
しかし、x≦0の様子がいまいちわからないのです。
(x≧0では、単調増加になるのがすぐにわかります。)
 
「あれ?どうしよう、x≦0の範囲をどうやって調べればよいかわからないぞ」
ということで、もう一回微分しても、中々うまくいかない。
ここで困ってストップした人が多かったでしょう。

工夫をしてみよう

そんなときは、別の工夫が必要です。
そこでご紹介するのが、元々のグラフのイメージをすること。
つまり、y=cosxと、y=x^2n-1のグラフをイメージします。
と言いつつ、本当はグラフのイメージは、どんな問題でも必ず行うことなんですけどね。微分したり、差をとったりと、ちょっとでも変形したら必ずイメージをするのが標準です。
 
さて、この2つのグラフをイメージする(描いてみる)とこうなります。
 
すると、確かに解(交点)は、0≦x≦1に1つしかないだろうというのが分かります。
これを利用して、解の配置条件を絞っていきます。

不等式で挟もう

さて、グラフを利用しながら、上手く解の存在条件を考えていきます。
今回は、皆さんでも理解しやすく、発想しやすいように、cosの値域から絞ってみました。
こんな感じです。
簡単にまとめると、
・-1≦x≦0の時は逆符号になる
・0≦xの時にはf(x)が単調増加
という二つを利用して、解が一つしかないことを示しています。

(2)は瞬殺!!

サービス問題。かなり簡単です。
「cosan>cos1を示せ」とありますが、0≦x≦π/2の範囲でcosは単調減少関数ですから、an<1を示すのと同値です。
 
でも、これって(1)で既に示しています。ということで瞬殺。
これは問題というより、(3)の誘導として設定された問題でしょう。

 

(3)良問!!よく復習しよう!

では、最後の(3)。これが極限の問題として、非常に良い問題です。
このように、別種の関数の交点に関して、極限を求めさせる問題は良いですね。実力差が出る問題です。
 
あまり見たことがないという方は、勉強不足を恥じましょう。確かに教科書傍用の問題集には載ってないかもしれませんが、模試や入試としては頻出です。
慣れていれば、ちょっと手を動かしていくだけで解けると思いますので、よく復習してください。

anの極限は、いつも通りの流れで簡単♪

では、解説です。
まずはanの極限ですが、そのまま極限値を求めようとしても求められません。
このパターンの問題で、よくある解法としては、
①元々与えられている方程式に代入して、anに関する関係式を得る
②不等式で閉じて、ハサミウチの原理を利用する
の2STEPでしょう。
 
今回もこの流れに漏れず、そのまま計算できます。
 
ほら、知ってれば簡単でしょう。いつもこの流れなので、よく覚えてくださいね。

bnの極限はもっと簡単♪♪

では、bnの極限ですが、これはanよりもっと簡単♪
先ほど作った不等号の直前の式を、両辺n乗すれば終わりだからです。
ということで、こちら。
 
cの極限
では、最後にcの極限です。
aの値とbの値は求められているので、そのまま代入してしまいましょう。
すると、分母と分子に差の形が現れましたね。
 
ここでビビっと反応できなければ、東大受験生としてはNG。これまた典型的な形が登場しました。
ズバリ、「平均値の定理」や「微分の定義」を利用して極限を求める形です。
 
厳密にいえば、分母は差の形になっていなくても、分子が差の形になっていれば、反応しなければならないパターンですね。
 
解き方としても、スタンダードです。
分母がanー1となっていますから、分子も似たような形になってほしいところ。
そこで、分子がg(an)-g(1)となるような関数g(x)を探します。
 
bnの極限を求めるところを参考に、g(x)の正体を探せば、答えはもうすぐ。微分して1を代入したら答えです。
 
ということで、手書きの解答をどうぞ。
それにしても、先生としては教え甲斐のある一問ですねぇ。授業でぜひとも扱いたい問題。
生徒としても、ぜひ習得したい問題。
教育的な価値の高い良問だと思いますので、ぜひマスターして下さい。
 

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2019年東大数学文系第問(ベクトル、領域図示、1文字固定)

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2019年 東大数学 文系第4問

なんと、3連続でベクトルの領域図示の問題が出ました!これは驚き。

これまで入試では、それほど頻出で扱われなかったタイプの問題でしたので、今後、問題集などで例題や類題が増えるでしょう。

 

では、詳しくみていきます。

有名な図形の図示

まずは、領域D、つまり |x|+|y|≦1の領域図示ですが、これは即答したい問題。超有名な領域です。

 

ちゃんと書こうとすると、xの正負と、yの正負によって4つの場合分けをすればよいでしょう。

但し、僕の解答では、xとyに関して偶関数になっていることを利用して簡潔に書きました。

このように、ダイヤモンド型になるのです。

これは、解けないとマズイ問題。さっさと書いて、次に行きましょう。

動点が2つあるときは、1つ固定

次に、領域Eの図示に入ります。

点Pと点Qが領域Dを動き、OPベクトルとOQベクトルの差を取ったベクトルの通過領域を求める問題です。

 

さて、この問題のややこしいのは、点Pと点Qが動くところです。つまり動点が2個あるというところ。

このような問題が登場したら、鉄則があります。

「動点が2つあったら、1つを固定せよ!」

 

これは、数学において、非常によく使う技法です。

2変数関数も、1つ固定

ちょっと脱線して、同じように2つ動くものがあった時に、1つを固定して考える典型問題をご紹介しましょう。

恐らく、多くの高校生にとって、初めて登場するのがこのタイプの問題でしょう。

 

(青チャートⅠAより)

 

xとyの両方が変数の時、はじめどちらかを定数とみなして1変数関数と見ながら最大値(最小値)を求め、固定した文字を変数に戻して最大値(最小値)を求めます。

 

2つ動くものがあったら、1つ固定。

しっかり覚えておきましょう。

領域Eを描いてみる。

ということで、点Pと点Qのどちらかを固定して領域を考えてみましょう。

分かりやすい方を選び、点Qを固定してみました。

 

すると、上の図のように、点Qを領域Dにおいての原点とみなしたような、ダイヤモンド型の領域が描けます。

固定した点を動かす

さて、この次は、先ほど固定した点Qを動かします。

つまり、ダイヤモンドの中心(点Q)を、ダイヤモンド(領域D)の形に動かすのです。

すると、このような形になり、領域Eの完成です。

 

 

(2)は記述が難しい!

さて、次は(2)の問題ですが、これは簡単ともいえるし、難しいともいえる、珍しいタイプの問題。

予備校の判定では簡単な問題に判定されるかもしれませんが、僕は結構難しいと思います。

 

では何が難しいかというと、「記述するのが難しい」のです。

東大では、現代文や古文、漢文などを中心に、「何となく頭では分かっているけど、言語化しようとすると難しい」という問題が出ますよね。

 

この数学の問題も、同様。

言われてみれば、(1)と同じ領域になりそうだけど、どうやって記述して証明すればよいかわからない、という問題です。

具体的にして、記述する

このような場合、どうするかというと、一定の方法論があります。

具体的にして証明するのです。

 

今回は、点A(a、b)とおき、OSベクトルと、OTベクトルを表現します。

すると、OUベクトルが自然と、(1)と同じように表現できて終わり。

 

言われてみれば簡単だけど、自分で書こうとすると困ってしまう問題ですね。

では、手書きの解答です。

 

 

はじめのダイヤモンド型の領域までで終わってしまった受験生も多かったような気がしますが、数学の基本的な考え方はあまり多くありません。

基礎の積み重ねで、応用問題が解けます。ぜひ、直感ではなく、方法論に基づいた勉強を続けてください。

 

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2019年東大数学理系第4問(整数、最大公約数、ユークリッドの互除法)

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2019年 東大数学 理系第4問

では、今日は理系第4問です。

(1)は東大らしく、ユークリッドの互除法

(1)から早速、東大らしさが全開の問題です。

大好物の「最大公約数」の問題。当然「ユークリッドの互除法」を使います。

 

「当然」と書きましたが、「え?そうなの?」という人のために少し書いておくと、新課程になり「ユークリッドの互除法」が指導範囲内になった瞬間から、東大では超頻出問題になりました。

過去問を参照すればわかります。

 

キーワード「最大公約数」から連想しよう

また、「最大公約数」というのも、超キーワード。

最大公約数に関連する問題は、主に2パターンしかありません。

一つ目は「ユークリッドの互除法」を利用するパターン。

 

もう一つは、最大公約数をg、最小公倍数をlを置き、4式1条件を作るパターンです。

具体的には、aとbの2整数に対して

・a=a’g (式①)

・b=b’g (式②)

・l=a’b’g (式③)

・ab=gl (式④)

・a’とb’は互いに素 (条件①)

という、4式と1条件です。

これを色々いじって求めるパターンもあります。

 

ただし、東大で「最大公約数」が登場したら、まず「ユークリッドの互除法」を疑ってよいでしょう。それくらい偏って頻出です。

(1)は瞬殺!

では、(1)に互除法を利用してみましょう。

すると、簡単にn^2+1と、4の最大公約数を考えればよいことが分かります。

 

4には約数が1と2と4しかないので、ここで3択です。

また、素因数が2だけですから、2の剰余類で場合分けするのも自然な発想。

ということで、偶数(2の倍数)と奇数(2の倍数でない)で場合分けをすると答えです。

とても自然な流れで答えが出ました。

 

(2)平方数の処理

次は(2)

さっき、最大公約数を求めた2数が、掛け算されていますね。そして、全体が整数の2乗にならないことを示せというもの。

ここで登場した、「整数の2乗で表せる数」のことを「平方数」と言います。

 

さて、2つの数の積が平方数になためには、どのような条件が必要でしょうか。

教科書や、参考書ではあまり類題を見たことがないでしょうから、受験生にとっては難しかったと思います。

ここでは、

補題「互いに素なxとyについて、xyが平方数⇔xとyがともに平方数」

という性質を使って解説しようと思います。

 

偶数の場合

(1)の結論として、偶数と奇数で場合分けをしたので、(2)でも場合分けをしましょう。(誘導に乗ります)

 

nが偶数の場合、命題①により2数はともに平方数となりますから、

n^2+1も、5n^2+9も平方数となるはずです。

 

しかし、n^2+1は絶対に平方数になりません。

手書きの解答では、ちょっと「ウマイ」方法で解説を書きました。

 

これなら、2行くらいで証明できるので簡単です。但し「ヒラメキ」に頼った解法に見えてしまうかもしれないので、もう一つご紹介します。

 

例えば、n^2+1=k^2(kは整数)とおいて、kが存在しないことを示す、という方針でも良いと思います。

このとき、n<kであり、(nーk)(n+k)=1 と因数分解できます。

しかし、1というのは、1×1か、(-1)×(-1)しか、積の候補がありません。

だから、nーk(小さい数)と、n+k(大きい数)の積が1になることはありません。

よって、このようなkは存在せず、n^2+1は平方数でないことが示せます。

最大公約数だから、4式1条件を作ろう

では、難しそうな奇数の場合。

と言っても、実は基礎の積み重ねで解くことができます。

 

というのも奇数の場合は最大公約数が2となりますが、

先ほども書いた通り最大公約数と言われたら、

①ユークリッドの互除法

②4式1条件を作る

という2方針しかありません。

 

ユークリッドの互除法は先ほど使ってしまったので、今度は4式1条件を作るのです。(手書きの解答では、結果として不要なので2式1条件しか載せていませんが、実際に解答を作る上では立てた方が良いです。)

 

 

ここまでは定石の手段。

そこで、2数の積を取ってみると、結局MとNがともに平方数でなければならなくなります。

 

ここまでは、何も不思議なことは起こっていません。最大公約数と言われたから、最大公約数の条件式を立てただけです。

発想力(難)5の剰余類で矛盾を示す

ここからは、解答が分岐するところ。

正直なことを言えば、理Ⅰや理Ⅱであれば、これ以降は解けなくても良い気がしますが、解説は書きます。

 

恐らくこの時点で式をゴチャゴチャいじて、色々試すのでしょう。

その中には、5n^2+9=2Nにn=2m-1を代入した式も登場すると思いますが、ここに注目してみました。

すると、Nの右辺に係数の10が登場します。

 

これに注目して、5を法とする合同式を取ってみると、Nが平方数でないことが証明できます。

 

発想が難しいので、(2)の前半までしっかり解答を描ければOKでしょう。

 

では、全体の解答です。

 

今回の数学の問題の中では、難しい問題になるのではないかと思います。

但しそれは満点を取る前提での話で、20点中10点を取るのは非常に簡単な問題。(12~13点くらいかも)

この部分点をしっかりとれるかどうかが、運命の分かれ目でしょう。

 

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2019年 東大数学 文系第3問 (確率、多角形グルグル、道順、中学受験で解ける)

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2019年 東大数学 文系第3問

では、今日は文系第3問です。復活した確率の問題。

確率の問題は、設定の読み込みに10分かけても良い

東大の確率だなぁっていう問題。

知らない設定が登場し、読み込んでカラクリを解き明かすのに時間がかかる。

複雑な場合分けが登場し、立式までに時間がかかる。でも計算はそれほど面倒ではない、といったところ。

 

ということで、うちの塾では「確率の問題が出たら、10かけてよいから設定の読み込みをせよ」と教えています。

 

さて、今回のカラクリやいかに!?

(1)は簡単。

(1)は簡単ですね。10回コインを振って、またAに戻ってくるという問題です。

1周するかどうか、1周するとしたら、右回りなのか、左回りなのか、という場合分けになりますが、これは簡単に理解できるでしょう。

これは受験生ならば解けなければならない問題ですね。解説は割愛。手書きの解答をご覧くださいませ。

(2)は場合分けが複雑

次は(2)の問題なのですが、これはかなり複雑です。

T「Fに少なくとも1回立ち寄る」という条件が加わりますが、これを処理するためには、複雑な場合分けが必要です。

 

版時計周りだとしたら、5回目にたどり着くか、7回目にたどり着くか。でも7回目にたどり着くとき、5回目にはFに移動してちゃいけないから・・・。

などと考え始めると、混乱してしまいます。

 

実際は、文系受験者にとって、これはかなり難しかったのではないかと思いますね。恐らく(1)だけ解いて、(2)は0点のような答案が多いのではないだろうかと思います。

ビジュアル化① マス目を作る

予備校の模範解答では、場合分けを駆使して解いているものがありましたが、僕が読んでもあまり意味がわからない解答だったので、分かりやすさを重視して、2つビジュアル化した解答を用意しました。

(といっても、受験生が時間内にこれを思いつくかどうかは、微妙なのですが)

 

一つ目は、下のようなマス目を作って、道順の移動で考える方法です。

 

スタートのAの位置から、①~⑤のどこかの点(F)を通り、⑥~⑧の点(A)に辿りつくという場合分けです。

このようにマス目を作ると、一気に見やすくなりますね。今回は正八角体をグルグルする問題でしたが、多角形をグルグルする問題は良く出ますから、他の場合にも使ってみてください。

※ただし、①~⑤は「初めてFに到達する」という条件の下で場合わけします。

 

これで場合分けができますので、あとは計算して終わりとなります。

ビジュアル化② 中学受験方式

次は、中学受験で習う方式で計算するものです。

普通、このような道順の問題の場合、コンビネーション(nCr)で計算するのが一般的ですが、パスカルの三角形を利用して、足し算を繰り返す方法もあります。

 

まずは、通れない道をすべて消して、通れる道だけを残します。

そして、ある点に対し、一つ前タイミングにいる点の数字を2つ足しながら、ゴールにたどり着くのです。

すると、ゴールへの生き方が206通りになります。

 

あとは、2^10で割って、(1)の答えから引けばOK。

 

ということで手書きの解答をご覧くださいませ。

場合分けが難しいのですが、工夫をすると簡単になるというのも東大っぽい。

多角形グルグル問題は、このマス目の作り方を覚えておくと使えますよ。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(3) (空間図形、平面で切断、射影)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、(1)の解説(2)の解説に引き続き、(3)に行きましょう。

今度はx=0に射影する

(1)と(2)ではy=0に射影しましたが、今度はx=0に射影する問題ですね。座標平面上で(y、z)となっていて、ここから読み取れます。

ということは、(2)の答えを出すときに描いた図が、とても役立ちます。

再掲しましょう。こちら。

ちょっと見づらいですが、①~⑤の5つの交点があり、①と⑤は青色(y=0上で)の交点②~④は赤色(y=0上にない)交点でした。

この図Aをx=0に射影して、y≧0かつz≧0の部分の図を描けばよいという問題です。

解答を描く際には不要なのですが、分かりやすい解説のために、zy軸全体で図を描いてみました。①~⑤を射影した点を①’~⑤’としています。

 

ほら、確かに八角形でしょう。(本当の断面ではなく、射影後なのですが)

 

このうち、第1象限の部分だけ取り出して、面積を求めれば答えです。

射影前の座標を求めて、射影する

では、第一象限の面積を求めていきましょう。

そのためには、③’、④’、⑤’の座標が分からなければなりません。ということで計算を進めていきましょう。

 

まずは⑤’ですが、(2)の答えの図を使って求めます。

まずは⑤.

この図において、⑤の点はy=0上にありますから、射影後のy座標も0(確かに八角形のてっぺんにあります)

z座標に関しては、直線の交点として求めればよいので、直線CPと、平面αを連立して求めてください。

 

次に④ですが、y座標がわかりません。y=0でないことだけはわかってますが、具体的な値は不明。

よって、面倒ですが、ベクトルの直線の方程式を使って求めます。

 

 

最後③は、ほとんど計算が要りません。なぜなら、③は点M(N)そのものだからです。(平面αは辺ABと辺ADにおいて、中点M(N)を通るというのが定義です)

つまり、M(1,1,0)をx=0に射影して(y、z)=(1,0)です。

 

これを書き込んだら、あとは面積を計算するだけ。別に難しいところはないので、一気に手書きの解答をご覧ください。

(1)からの分全てを掲載します。

 

 

 

いやいや、それにしても難しい問題でしたね。

空間図形の問題って、解説記事を書くのにめちゃくちゃ時間がかかるんですが、今回のは最長記録だったと思います。

実際は、中学生の計算だけで解けてしまうところが、またいやらしい問題。さすがの東大クオリティだったと思います。

射影や空間図形の話題は苦手にする人がとても多いので、ぜひよく復習してください。

では、明日からは、通常通り1日1問のペースに戻します。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(2) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、昨日の(1)の解説に続きまして、(2)の解説に行きましょう。

(1)の解説はこのリンクから

切断面は何角形?

(2)の問題は、切断面が八角形になるpの範囲を求めよというものです。

(1)が大きなヒントになっているのですが、お気づきになったでしょうか?

まずは、(1)の結論の図をもう一度ご覧ください。

 

点Pに対して、左側を平面αが通るか、右側を通るかで場合が分れています。

そして、これが八角形になるかならないかの境界線になるのです。

 

どういうことでしょうか?

平面と直線の共有点は、点

これも(1)と同様、空間図形の基礎的な考え方を使います。

平面と直線の共有点は、点になるというものです。

 

(1)の結論の図は、y=0の切断面のみを表していますが、本当は八面体です。八面体には12本の辺がありますから、そのうちいくつかを平面αが切断しているはずです。

 

ということで、(1)の図に、書かれていない八面体の辺(をy=0に射影したもの)を赤色で書き込んでみました。実際には、紙面から手前向きの辺と、奥向きの辺があるのですが、対称性からy=0上では1本の線分に見えています。

y=0上にある辺は青色です。)

例えば、2<p<3の場合はこちらです。

 

 

平面αが、①②③④と4回八面体の辺と交わっているのがわかるでしょうか?

このうち、①と④は青色(y=0上の辺)の交点で、②と③は赤色(y=0上にない辺)との交点です。

 

①と④はy=0上で平面αと交わっているから数え方は簡単なのですが、②と③はそうはいきません。②と③は対称性からy<0とy>0に1つずつ交点があるはずなので、2つ分と数えます。

つまり、1+2+2+1=6となり、切断面は6角形であることが分かるのです。

 

これを、p=3の時と、3<p<4の時でも書いてみると、

p=3では6角形、3<p<4の時は八角形になることがわかります。

よって、(2)の答えは3<p<4となるのです。

ちなみに、先取りして(3)の序盤をお見せすると、x=0に射影した図はこのようになり、確かに八角形であることが分かります。

 

立体的に考える方が難しい

ということで、答えが出たわけなんですが、立体的な図を描いて、切断面が8角形になることを理解することはできるのでしょうか?

もし実物大のものを用意して、カッターか何かで切断したら一番わかりやすいのでしょうが、入試会場ではできません。

やはり、頭の中にイメージするか、計算用紙に「立体的な図」を描いて考えるしかありません。

 

僕も、手書きの解答を作るときに、あれこれ試して描いてみたんですが、どうにも上手く示せずに時間を浪費しましたし、読者の皆様に分かりやすいような図に仕上がりまっせんでした。

 

やはり、立体は平面図形に切断して、その上で考える方が良いのでしょう。

切断自体は小学生や中1で習う技術なのですが、奥が深いものですね。

 

ということで、明日は(3)に参ります。

 

 

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2019年 東大数学 理系第3問(1) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問

出ました、空間図形。

東大では毎年頻出のテーマです。

去年の空間図形(第6問)は非常に難しかったですが、今年もなかなかの難易度です。

そして、苦手にする人が多いということで、3回に分けてアップしていきます。

丁寧にわかりやすく解説するので、長くなりますがお付き合いくださいませ。

さっそく見ていきましょう。

空間図形は、ほぼ必ず切断する。

まずは、空間図形の問題そのものの考え方から行きましょう。

平面図形は考えやすいけど、空間図形になると苦手という方がいますが、

それ、恐らく人類全体の悩みですよ(笑)

 

平面に比べて情報量が多いし、

そもそも平面に描かれた問題文という活字から、実物しない空間図形をイメージして取り組むわけですから、解きやすいわけがない。

 

この時に役立つのが、切断です。平面で空間図形を切断します。

受験数学において、「切断とは次元を落とすこと」です。3次元の空間図形も、切断すると2次元の平面図形に早変わり。

すると計算用紙(2次元)にも正確に描けて、考えやすくなる、という寸法なのです。

 

平面との共有点はどうなる?

では、平面で空間図形を切断するとどうなるか。

切断が苦手だという人も多いのですが、ここで使うのは2つだけです。

・平面と直線の共有点は、点。

・平面と平面の共有点は、直線。

この、2つの簡単な事実をもとに考察します。

 

ちなみに、当たり前すぎて、上に含めませんでしたが、

・互いに平行でない2つの平面は必ず交わり、共有点が直線(交線という)になる。

・互いに平行でない直線と平面は必ず交わり、共有点が点になる。

というのも、大事ですよ。

 

もう少し応用して、(イメージしながら読んでください)

・平面αと平面βが平行な時、どちらにも平行でない別の平面との共有点(交線)は、互いに平行である。

なんかもよく使いますけどね。

 

ただし、どれも別に難しいことではありません。ちゃんと図を描きながら条件を整理すれば、当たり前のことばかりです。

(1)y=0の切断面① 四角形が登場

では、(1)の解説に入ります。

とりあえず、正八面体をxyz平面上に描いてみましょう。ちょっと複雑ですが、書かないよりはイメージできると思います。

八面体の辺は赤色y=0の切断面は青色で登場します。)

 

今回は、y=0の平面での切断を問いている問題ですから、y座標が0の点を調べます。

すると、PAECの四点が出てきますね。

ここで注目したいのは、PとA、AとE、EとC、CとPが全て正八面体の辺だということです。つまり、y=0で切断したときに、他の点を考慮しなくてよいということです。

ということで、y=0の図示では、四角形PAECを描けばOK。座標も全て問題文に書いてありますから、そのままzx平面に書き込めばすみます。

 

(1)y=0の切断面②直線と平面の共有点は点

次に、平面αとy=0の共有点の図示に参りましょう。

ここで大事なのは、平面αも、y=0も平面ですから、書き込む図形は「直線」です。y=0の中に、どのように書き込めばよいか考えながら、進みます。

 

平面αの定義を考えると、「点Mと点Nを通り、直線AEに平行」です。

点Aと点Eは、先ほど言った通り、y=0の上の点ですから、そのまま答えの図に登場します。

しかし、点Mと点Nはy=0の上にありませんから、答えの図にMとNは登場しません。

 

そこで、直線MNとy=0の交点を考えます。

と言っても、M(1,1,0) N(1、-1、0)ですから、中点がy=0にあるのがすぐにわかってラッキー。

その中点をLとおくとL(1、0、0)が、直線MNとy=0との交点であり、答えの図に書き込む点です。

 

ここでも、「平面と直線の共有点は、点」を使いました。

 

(1)y=0の図を描いてみよう。

では、平面αを、実際にy=0に書き込んでみます。

するとこうなりますね。

(今後、平面αは緑色で登場します)

 

書き込んでみると、結構簡単♪

なにせ、点Lを通り、直線AEに平行な直線を求めるだけですから。

ということで、四角形PAECも、同じ図に書き込むと、こうなります。

平面αは、辺PCと交わるか、辺PAと交わるかが分からないので、場合分けをします。

ただし、これも図示してみようとすると、当然生じる疑問なので、難しくありません。(というか、場合分けをしないと描けない)

 

一応、(1)の答えの全体像をお見せしておきましょう。

(1)はこれで終わり。では、明日は(2)の解説に行きますね。

 

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2019年 東大数学 文系第2問 (絶対値の外し方、領域図示、傾きに注目)

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2019年 東大数学 文系第2問

 

今日は、文系第2問です。

なにやら複雑そうな問題ですが、一つ一つ解読していきましょう。

問題文で分かるものは、どんどん求める。

問題文を読むと、不思議な直線lの定義があります。なぜこういう記述をしたかよくわかりませんが、とにかく簡単なので求めてしまいましょう。x+y=4です。

 

次に、条件1において、ベクトルの内積が登場していますが、点Aも点Pも、問題文中に成分が定義されていますから、そのまま計算してしまいましょう。2x+2yですね。

すると、8≦2x+2y≦17ですから、辺々2で割って、直線の帯になる領域が得られます。

 

また、条件2において、点Oと直線lの距離cも簡単に求められちゃいます。

点Oはもちろん(0,0)ですし、直線lはx+y=4ですから、点と直線の距離の公式を遣ったら、c=2√2と求められます。

 

とこのように、なんかよくわからないうちに、色々な値が計算できてしまいます。

このようなものは、正確に計算するだけで部分点が(わずかながらでも)もらえますから、一気に計算してしまいましょう。

 

このブログでは、「手を動かす前に通読しろ!」という主張をいつもしていますが、このレベルの簡単な値であれば、むしろすぐに求める方が賢いでしょう。

具体的な値が分かった方が、見通しがよくなることが多いからです。

点と直線の距離の絶対値の外し方

さて、具体的に数字がわかる部分は、上で全て計算しましたから、他の部分に行きましょう。

dに関しては、点Pの座標が(p、q)ですから、具体的な数字になるわけがありません。考えても仕方ないので、これも計算してしまいます。

すると、分子に中身が文字式の絶対値が登場します。

 

|p+q-4|ですが、この絶対値の外し方をご存じでしょうか。

一番簡単なのは、右辺ごと2乗してしまうことですね。ただ、この場合は次数が上がってしまうので、常におススメする方法ではありません。

 

他には、場合分けをする方法ですね。当然、中身が正の時はプラスで外し、中身が負の時はマイナスをかけて外します。

これは、必ず外れるので、通常使う方法なのですが、場合分けが出てきて面倒です。

 

最後は、直線と点の位置関係を見る方法です。

点と直線の距離の公式の分子は、点を直線の式に代入したものになっています。

だから、点が直線より上にあるならプラスで外し、点が直線より下ならばマイナスで外す、という方法が有効です。

 

今回の問題は、点Pが直線lより上にあるか、下にあるかは不明なのですが、条件1の結果の式をよく見ると、絶対値の中身が正になる条件が得られます。

つまり、(条件1)かつ(条件2)の論理を考えると、絶対値が外れてしまうのです。

これを深堀して言うと、点Pは常に直線lより上側にあることが、結果的にわかるということですね。

ちなみに、点Pと直線lの位置関係が分かったところで、この問題を解くには不要な情報なのですが、知っておくと得する問題もあります。

領域Dを図示して、面積を計算

分かったところで、領域Dを図示してみましょう。直線と放物線の位置関係を注意して、共有点を求めつつ図示しましょう。

 

また、面積計算は、東大で頻出(というか、ほぼ必ず使う)1/6公式を利用すれ

ば、簡単です。

とりあえず、ここまで手書きの解答をどうぞ。

「cosΘの範囲を求めよ」の背景とは?

さて、(2)に行きましょう。OPとx軸のなす角Θに対して、cosΘのとりうる値の範囲を求めよ、という問題です。

これはsinやtanではダメです。なぜなら、Θの範囲を考えると、0<Θ<πの範囲なので、sinやtanでは、同じ角度が2つ登場してしまうからです。

 

さて、このような場合に考えることは何でしょう。傾きです。

このような問題のタイプは「線形計画法」などと言われますが、領域の共有点の問題と見せかけて、「傾きに注目する」問題です。

 

領域Dと共有点を持つような直線を求めて、その時のcosΘを求めるという流れを踏まえれば答えになります。

ということで、手書きの解答はこちら。

まとめ

今年の問題の特徴なのですが、方針自体は簡単に立つのに20点取るために必要な計算量が多い問題が目立ちました。

理系もそのような印象でしたし、計算量が多い問題を求めるのは、今に始まったことではなく、少し前から求められてきた能力です。

 

計算力は、幼少期の訓練が重要。

そうなると、中学受験の相対的位置づけが大事になる気がしますね。

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2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問(座標と図形、元と式の本数、最大最小)

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2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問

今日も解説行きましょう。

文系第1問と理系第2問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。

 

文系の問題はこちら

理系の問題はこちら

 

 

共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。

 

まずは、この話のカラクリを解説しましょう。

 

直角にかかわる図形が出たら、座標を設定せよ!

理系の問題を再度ご覧ください。

ただ単に正方形が与えられ、辺の上を点が動いています。

これを図形の問題として解くこともできるのですが、ここで大切なポイントがあります。

それは

「直角関係の図形が登場したら、座標を設定せよ!」

 

正方形、長方形、直角三角形や立方体など、角度に直角を含むような図形を見かけたら、座標の設定を考えるのです。

これにより、式の処理がとても簡単に済むことが多々あります。

 

それを踏まえて、文系の問題をみてみましょう。

問題文の中に、すでに座標が設定されていますね。

つまり、理系の問題は、「座標の設定ができるか?」という考え方を問われていたわけです。

 

元と式の本数を数えよ!

座標を設定すると、pとqとrの3文字が登場することが分かります。

このように、不明な量(連立方程式の時に登場する文字の数)を元と言います。中2で習ったアレは、2元連立方程式と言ったりしますよね。

 

これに対して、三角形の面積が1/3という条件が2つ。つまり、等式が2本立つことが分かります。

 

さて、3つの元に対して、2本の式が立ちますが、この数字が大切です。

解ける連立方程式では、元=式の本数

通常の連立方程式では、元の数と式の本数が等しくなって、全ての元の値が求められます。

例えば、

2x+3y=10

x-y=5

のような連立方程式ならば、2元で2式なので、xとyの値が求められる、といった具合。

このように、元=式の本数 の場合、連立方程式が解けるのです。

 

元ー式の本数 で残る文字の数が分かる。

この問題では、3元と2式の問題でしたが、このような時にはどうなるでしょうか?

結論から言ってしまうと、3-2=1と計算して、1文字分の不明量が残ると考えます。

公式化するなら、「元ー式の本数=残る文字の個数」だということです。

 

今回は、pとqとrの3元でしたが、どれか1つの元だけ残して、他の2つを消去するのです。

すなわち

①pとqを消去して、rを残す

②pとrを消去して、qを残す

③qとrを消去して、pを残す

の3方針が立つのです。

どれを採用しても、最後には1文字の問題になります。

文系(1)のカラクリを解き明かそう

これを踏まえて、文系(1)の問題をご覧ください。

「qとrをpで表し」とありますね。これは、上の3方針のうち

③qとrを消去し、pを残す

を採用する問題だということですね。

 

ちなみに、理系ならqを残す方針でも解けますね。お好きな方でどうぞ。

 

開始数分でここまで読め!!

そして、求めるのは何でしょうか?

文系では、CR/OQで、理系ではDR/AQとなってますが、文字に直せばどちらもr/qの値です。

 

しかし、上記の方針から、rもqもpで表すので、結局は

「(何らかのpの式)の最大最小を求めよ」

という問題になります。

 

さて、ここまで長々と書いてきましたが、ここまでは問題を見て、開始数分で検討すことです。解きながら気づいてはいけません。このような訓練を徹底的に積むと、本番でも容易にできるようになるでしょう。

 

では、手書きの解答をどうぞ、ご覧ください。

 

結局は3次関数

求めるのが分数式だったのですが、pに統一してしまうと、なんと分母に文字が消えて、ただの3次関数になってしまいます。

ということは、定義域を求めて、増減表を描いて終わり♪

 

これは、取りたい問題でした(文理ともに)

 

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2019年 東大数学 理系第1問(定積分、置換、計算力)

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2019年 東大数学理系第1問

では、今日から1問ずつ、東大数学の解説をしていこうと思います。

この理系第1問は、今年の入試で一番話題になった問題でしょうね。

 

東大は計算力のある学生を求めている

第1問に、ただの定積分の計算問題。

これは、かなりのショッキングです。東大数学では、話題になる問題が度々登場しますが、これもかなり話題になるでしょう。

東大数学では、昔に比べて、思考力よりも計算力重視になったといわれますが、これもその流れを汲んでいるような気がします。

 

僕が東大の理系に入学したときに、初めの数学の授業で

「2の3乗根を、少数第2位まで求めよ。」

という問題を出されました。

 

要するに、3桁くらいの3乗の計算をひたすら繰り返し、2を超えるかどうかをチェックし続けるという問題です。

 

日本の数学教育の特徴は、計算力だという指摘を聞きますが、それも失われているのでしょうか。

これはワナだ!!

そして、このような計算が面倒な問題が、しかも第1問に登場したら、「ワナの問題」です。

 

(あ、これは計算すれば解けるかも!!)

と瞬間的に思って飛びつき、一生懸命に計算していたら、ついつい4~50分経ってしまった。しかも、入試が終わったあと見直してみると、計算ミスを発見。

 

これで、4~50分も0点解答を作るのに時間を浪費した、不合格の受験生が出来上がり、というわけです。

 

「計算量が多い問題こそ警戒せよ」

というのが、数学の入試の鉄則なのです。

解法は基本的

では、解くために必要な問題を解説しましょう。

複雑な積分が登場し、どうやって計算するか悩むわけですが、重要な特徴は

・インテグラルの中身が、積になっている

・1+x^2が分母にたくさん登場する

・かならず置換積分を実行する

という3点でしょう。

 

カッコを展開してから計算するのか、それともいきなり置換を実行するのか。

などなど、色々と試して計算をします。

 

結局は、いきなり展開しても、いきなり置換しても解法が存在するのですが、すぐに判断するのはやや難しいので、やはり試しながら気づいていくのがスタンダードな解法でしょうか。

tanの置換か、分母をひとまとめの置換か

このような問題の場合、2つの置換の方針があります。

一つは、1+x^2を見て、tanの置換を利用する。

もう一つは、分母をひとまとめに置換する(1+x^2=t)

の2つの方針が登場します。

 

色々なタイミングで、色々と試して、可能な計算方法を見つけてください。

 

一応、私が解いた解法を載せておきます。(多分、結構かんたんな解法だと思いますが、いかがでしょう)

 

まとめ

すぐに積分の方針が経てば、即取り掛かり20点もらう。

すぐに方針が経たなければ、即飛ばす

という、典型的な問題でした。

新高3生の練習問題としても、良い問題ですね。ぜひ取り組んでみてください。

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2019年の東大数学【理系】を全て解いたので、簡単なコメント

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2019年 東大数学【理系】の簡単な分析

文系に引き続き、理系の問題にコメントしていきましょう。

文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。

確率が復活せず!!

とにかく、これが一番の話題でしょう。

確率が2年連続で出題されませんでした。しかも文系では出題されたのに。

これまで毎年必ず出てたのに、なぜ!?

 

基本的な計算問題が再登場

確率の代わりに、第1問に定着したのが、基本的な問題。

去年の第1問も衝撃的でしたが、今年の第1問もとても話題になりそう。

 

10~20年のスパンでも、計算力を問う問題が散見されていましたが、今年も顕著にみられました。

整数、空間、複素数平面など頻出分野が登場

そして、頻出分野はやはり出題。

整数、空間図形、複素数平面が出題されました。

やはり、東大理系を対策するには、必ず押さえなければならない分野。受験生の皆さんは、ちゃんと対策しましたか?

 

2019年東大数学 理系第1問

では、1問ずつコメントを。

去年の問題ほどではないですが、基本問題。数字や難易度を下げれば、教科書の例題と同じパターンに分類されてしまいます。

 

しかし、難易度はかなり高いでしょう。計算が面倒ですし、20点満点取るためにはそれなりの時間が必要。

現時点では、簡単だったという評価が多い気がしますが、僕はそれほど簡単だと思いません。

 

むしろ、第1問にこの問題が登場したのは、ある意味ワナでしょう。

入試では、1問目に計算が面倒な問題が登場した場合が、一番失敗しやすいのです。

 

計算に没頭して、予想以上の時間が取られてしまう、ということが起こりうる。

これを回避するには、日ごろから「計算が面倒な問題はワナ」「飛ばせば飛ばすほど、点数が最大化される」という基本動作を身に着けておくことです。

 

といっても、そういう戦略的な指導って、まだまだ珍しいみたいですが、残念。

 

2019年東大数学 理系第2問

文系と共通問題(一部)です。

文系では、PQRの座標が設定されていて、(1)で変数の扱いのヒントがありました。

 

しかし、座標の設定は、手足を動かすようにできなければなりません。

対策の仕方は簡単。

直角に関係する図形(正方形、長方形、直角三角形)が登場したら、座標を設定せよ

と覚えておけばよいのです。

 

変数の消去の仕方も、「全て立式してから考える」というのを徹底すれば、自然と決まります。

 

基礎をしっかり解いている良問だと思いますね。

 

2019年東大数学 理系第3問

 

体積の問題。

点がたくさん登場して、平面の切断に関してもイメージしづらく、(出題者の意図は違って)変なところで難易度が上がってしまった問題のような気がします。

 

八面体に関しては、過去にも出題されているので、解いた受験生も多いと思いますが、実は対策が難しい分野でもあります。

 

なぜなら、現在の受験数学は、図形的な考察よりも数的処理の考察を重視するからです。

この問題は、それほど図形的な考察が多い問題ではありませんが、立体図形は抽象度が高くなり、点数は低かったのではないでしょうか。

 

2019年 東大数学 理系第4問

文系と共通問題っぽいけど、理系だけの出題。

東大では最近頻出のユークリッドの互除法を使うと、(1)は瞬殺です。

 

(2)は多少、論述力が必要なので、やや難易度が高いですが、東大入試としては標準レベルでしょうか。

来年の入試でも、最大公約数は絶対に対策が必要でしょう。

 

2019年 東大数学 理系第5問

 

頻出の「微積分」の分野に、一応入る問題。しかしメインは極限です。

第2問も後半で微積分を使いますが、数Ⅲではないですし。あ、第1問も「積分計算」ではありますね。

 

今回は、具体的にわからない解を文字でおいて、極限を取るという典型問題です。(1)では、(左辺)-(右辺)をして、微分をするといういつもの流れでよいと思いますが、その正負や大小がやや面倒なきがします。

一方、(1)が解けたら、(2)は簡単。

(3)は、予測は簡単ですが、慣れていないと時間がかかるでしょう。

 

2019年東大数学 理系第6問

最後に複素数平面の問題。

条件1は良いとして、条件2も解となる方程式ですから、問題なし。

しかし条件3が変な条件です。

 

αβ+γδという見慣れない式と、虚部が存在するという条件をどう使うか、ぱっと見でよくわかりません。

 

結局、僕はさんざん色々試して、それぞれの複素数を直交系に直したら筆が進みましたが、初手が思い付かなくて挫折した受験生が多そうです、非常に。

 

まとめ

問題のラインナップとしては、すごく難しい問題がないのに対し、去年の第1問みたいなものすごく簡単な問題もありませんでした。

計算量も多く、発想力も必要という、盛りだくさんの内容でした。ごちそうさま。

 

 

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2019年の東大数学【文系】を全て解いたので、簡単なコメント

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2019年 東大数学【文系】の簡単な分析

ついに東大入試でしたね。

まだ受験生は終わってないですが、来年の受験生や保護者の方、同業者の方など注目しているでしょうから、例年のように簡単なコメントをしようと思います。

理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら

 

ベクトルの領域図示が3年連続で出題!

まずは、ニュース的な話題から。

最大の話題は、これでしょう。なんとベクトルの領域図示に関わる問題が3年連続で出題されました。

2018年の問題と解説はこちら

2017年の問題と解説はこちら

 

まさか3年連続で出るとは・・・。今後、受験数学界のトレンドに入りそうな予感がします。

来年も出ると踏んで対策をするか、もう出ないと踏むか、悩みどころでしょう。

 

確率は復活!!

一方、去年はまさか、出題されなかった確率が復活!

しかし、理系ではまた出題されませんでした。。。

確率は、共通問題になることが多かったんですが、これは驚きましたね。

 

またも、領域図示が出題!!

そして、去年3問も出題された、領域図示がまた出ました!

1問だけですが、かなりの頻度。やはり、これも今後のトレンド仲間入りなのでしょうか!?

 

2019年東大数学 文系第1問

では、1問ずつコメントを。

第1問は、理系と共通問題(一部)でした。

 

理系と比べると、誘導がかなり丁寧なのがわかるでしょう。

 

座標に設定するのも、問題文に明記されているし、(1)が設定されているおかげで、残す文字がpであるところも悩まなくて良い。

ということで、典型的な東大の問題といった感じ。

 

難易度もそれほど高くなく、部分点も取りやすいので、平均点は高くなるでしょう。

類題としては、2017年のこの問題でしょうか。かなり似ていると思います。

(難易度としては、これの方がやや高いか!?)

 

2019年東大数学 文系第2問

では第2問

 

これも部分点が取りやすい問題。

内積の計算や、cやdの値を求めるところ、条件1の条件図示などは、それほど難しくないので、サクサク進みます。

 

難しいのは、条件2の図示でしょうか。

点と直線の距離の公式の分子に絶対値が登場し、右辺にp-1の2乗。絶対値を外すのが、やや難しくなりそうで、手詰まりした受験生が多かったことでしょう。

条件1を考慮すると、絶対値が外れてしまうので、一気に領域図示までたどり着けるという問題でした。

 

(2)のcosの値は、接線の傾きを求めるのでしょうが、これもあまり難なく気付ける問題。(1)が解ければ、(2)もそのまま解けた人が多いような気がする。

 

2019年東大数学 文系第3問

復活した確率の問題。

しかし、東大の確率にしては、難易度が低いような気がします。

というのも、nが登場せず、具体的な数字だけで計算するからです。場合分けが(1)から登場しますが、それほど難しくなく、センターの難しめの問題と同じレベルと言っても良し。

 

一方、(2)は場合分けが面倒になりそうな問題ですね。

恐らく、ここで分からなくなって困った問題が多いでしょう。

ここで、突き進むか、止まるか、悩むところでしょうが、悩んだら止まるのが受験においては正解。

 

2019年東大数学 文系第4問

そして、3年連続で登場したベクトルの領域図示。

動点のベクトルが複数登場する処理を聞くタイプは、去年の問題とそっくりでした。

2018年のベクトル領域図示の問題

 

ただし(2)の証明は、内容の理解より、記述の仕方が難しい問題のような気がします。

現代文、古文や漢文、英語の英文和訳などでも、なんとなく分かっていることを言語化するのが難しい問題が頻出しますが、数学でも同じ。

まだ解説記事を書いていないですが、1997年のこの問題も、内容に理解よりも記述が難しい問題ですね。

 

まとめ

2016~2018年の3年で、簡単な問題が続いたというのが定説だと思いますが、今年もその傾向は引き継いだとみてよいでしょう。

詳しい解説記事も、どんどんアップしていくので、どうぞお楽しみに。

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2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問 の解説(漸化式、帰納法、整数の証明、背理法

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2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問

入試前日ですが、少しでもためになるようにと、今日もアップします。

 

 

今日も整数問題。

そして、これも東大で頻出パターンです。

 

本質的に同じ問題

これまでは、共役な無理数のn乗のパターンを書いてきましたが、今日は別の問題です。

しかし背景として同じ考え方を使っています。ぜひ、1997年の問題2003年の問題2017年の問題と比較してください。

 

これまでの3問は、帰納法で証明するために、3項間の漸化式を作っていましたが、この問題も(1)で漸化式を作らせています。

 

今回は、一見、30項間漸化式ではなく、anとbnの混合した漸化式ですが、実は3項間漸化式です。

このような、2種混合漸化式は、片方を消去してもう片方だけ残すと、3項間の漸化式が登場するのです。

(実際するかどうかは別)

 

また、(2)では、「anとbnが正の整数であることを証明せよ」という問題があります。これも、過去の3問と同じ。

 

ということで、①漸化式を作り、②帰納法で証明、③整数であることを証明などの点で、本質的に同じ問題なのです。

 

漸化式の作り方を、そっくりそのまま覚えよう

では、その漸化式の作り方ですが、これは超有名な方法です。そのまま覚えてほしいですね。

nに対して漸化式が定義されている時に、n+1の場合を2種類で表現して、恒等式で比較します。

 

具体的には、このような方法。

「2種類の式を作り比較する」という点が重要です!

 

「互いに素」の証明は、背理法を利用!

では、(2)の証明の最後に行きましょう。

「互いに素」の証明は、ほとんどテンプレで背理法をつかいます。

 

その理由ですが、「互いに素」な2数は立式ができないから。

xとyが互いに素というのは、「xとyに1以外の公約数を持たない」ですね。つまりxとyの間に関係式が立てられないのです。

 

そこで、背理法で条件を否定しますと、「xとyが1以外の公約数を持つ」となりますね。すると、

x=x’g

y=y’g (ただし、x’とy’は互いに素、g≧2となる自然数)

となり、最大公約数gを介して、xとyが関係を持てるわけです。

 

帰納法で背理法をはさめ!

さて、最後ですが、この問題の一番難しいところです。

それは、帰納法と背理法を同時に使わなければならないところです。

帰納法自体が、使ってよい式と使っていけない式で混乱しやすい技術なのですが、さらに背理法を同時に使うと、かなり混乱してしまうでしょう。

 

そこで意識するのは、背理法や帰納法の記述している範囲を明確に定めて使うということです。

 

これを意識して、手書きの解答をご覧ください。

帰納法のn=k+1の場合の中に、青い枠で背理法を利用しているのが分かるとおもいます。

 

 

まとめ

キーワード

漸化式、帰納法、整数の証明、あたりはいつも同じ。

これに加えて、背理法の利用法が加わった面白い問題でした。

とても良い問題ですので、ぜひ使えるように勉強してください!

 

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問 の解説(過去問とそっくり)

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。

 

 

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

 

実は、この問題の解説を書くのは2度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の1997年の問題と、前回の2003年の問題の流れで見てほしかったからです。

 

「いやいや、今回は共役な無理数がないじゃないか」

と思うかもしれませんが、ありますよ、ちゃんと。

 

pに対し、-1/pが登場していてわかりづらくなっていますが、計算してみるとちゃんと共役になるのです。

ちなみに、p=2+√5に対して、-1/pは2-√5になります。

こざかしいマネをしてますが、東大の整数の歴史をたどれば、連想するのは当然なのです。

過去の問題と比較しよう

では、1997年の問題と、2003年の問題と比較してみてみましょう。

この2回で書いたのは、共役な無理数のn乗が登場したら、帰納法で整数だと証明させていました。

その時に必要なのは、漸化式。もっと言えば、3項間の漸化式が得られて、強化帰納法を使うのでした。

 

それを知っている前提でこの問題を見てみましょう。

 

おやおや、(1)でa1とa2を求めているぞ。

(2)では、a1anをan+1とan-1で表せとな。ということは、3項間の漸化式を作れということに他ならない。

そして、(3)では自然数になることの証明。

 

なんだ、同じじゃないか!!

 

となるわけです。

(2)の漸化式の作り方も、a1anから作ろうとすると難しいけど、いつも通りの作り方をすると、ごくごく自然。

ということで、(3)までは瞬殺の問題なのでした。

 

(4)の発想も自然にユークリッド

では、(4)に行きますが、出題された当時は、ユークリッドの発想が難しいと噂になってましたが、そうですか?

僕からしてみると、自然な発想なのですが。

 

だって、最大公約数に絡む技術って、2つくらいしかないですもの。

 

一つは最大公約数と最小公倍数をgとlっておいて、

①a=a’g

②b=b’g(a’とb’は互いに素)

③l=a’b’g

④ab=gl

の4式を立てる方針。

 

二つ目がユークリッドの互除法です。

 

確かにユークリッドの互除法を漸化式に使う発想は難しい(というか慣れていない)かもしれませんが、着想はできるはず。

 

ということで、手書きの解答です。

 

 

ということで、今回は力を抜いてこれくらいで終わりましょう。

 

いや~、過去問を解くのって大事ですね。

 

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2003年 東大数学 文系第3問 理系第4問(整数と漸化式、帰納法、1の位、周期性)

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2003年 東大数学 文系第2問 理系第3問

受験直前期で多忙のため、頻度が落ちてますが、書く気はまんまんなのです。

お待たせしました。

今日は2003年の整数です。

 

前回の1997年を読んでない方は、先にそちらをどうぞ。

 

では、問題です。文系はこれで、

 

 

理系はこちら

 

ぱっと見、似てることはお分かりでしょう。

しかし、実は与えられた式がちょっとだけ違う!!(文系は+1に対して、理系はー1の部分があるでしょ!?)

凝った作りしてますね。実はこの違いで、問題が大きく分岐する問題でした。

 

それでは、解説行きましょう。まずは文系から。

理系の問題は、文系の後に描きますが、文系の部分を読んでから進んでくださいね。

 

共役な無理数を、n乗して足すと整数←有名事実

まず(1)ですが、これは前回の1997年の記事をとほとんど同じです。

そして(2)の前半では、Snが正の整数であることを示すのですが、Snが正だというのは一瞬で証明できるので、Snが整数であることを示すのに全力を出してよくなります。そして、そのために必要なので、漸化式を作るという流れになります。

そして、ここまで含めて1997年と同じです。

 

と言いつつも、ちょっとだけ補足をしておきましょう。

1997年の問題では、具体的にaとbの値を求めませんでしたが、求めようと思えば求められました。

今回の2003年の問題でも、2次方程式を解けば、共役な二つの無理数解が得られます。(2+√3と2-√3)

 

あまり知られてませんが、「共役な複素数」という言葉があるように、「共役な無理数」と言い方もします。無理数の符号が逆の2数を「共役な無理数」といいます。

 

そして、共役な無理数を、それぞれn乗して和を取ると(つまり、今回のSnのこと)、必ず整数になるのです。

 

これを証明させるのが、1997年の問題であり、今回の2003年の前半部分なのです。(大雑把に言えば)

 

具体的には、3項間漸化式を立てて、強化帰納法で証明するというもの。

細かい計算はこうです。

 

これは、有名な証明ですし、東大で頻出ですから、ぜひとも覚えてしまいましょう。

 

証明法その2

せっかくなんで、これの証明法の別バージョンをご覧ください。こちらも有名な証明法です。

方針としては、αのn乗の「有理部」と「無理部」を数列で表し、βのn乗と一致することを示して、和を取るわけです。

いずれにせよ、結論が整数になるので、しっかり覚えておきましょう。

 

文系(2):1の位の数を求める2つのキーワード

では、(2)の後半。Snの1の位を求める問題です。

 

さて、1の位を求めると聞いて、何を思い出すでしょうか?

キーワードを2つ覚えてください。

 

1つ目が「合同式」の利用ですね。(東大数学では、超頻出です。)

 

1の位の数というのは、10で割った余りと全く同じです。

よって、mod10を計算すればよいことになります。

 

そして、2つ目のキーワードが「周期性」です。

中学受験でも、1の位を計算させることがありますが、中学受験から全く進化せず、東大受験だろうがやることは同じ。周期を探すのです。

 

今回は、

S1≡4

S2≡4

S3≡2

S4≡4

S5≡4

S6≡2

 

となるので、どうやら、4、4、2・・・と続くのではないかと予想します。

 

周期性の証明方法2つ

あとは、これが延々と続くことを示せばよいのですが、この証明方法が2つあります。

 

1つ目は、漸化式をいじって証明するというものですが、これはラッキーでないと証明できません。

今回の漸化式をいじってみましたが、うまくいかなかったので挫折しました。

 

もう一つは帰納法です。

さっきのに比べて、かなり面倒臭いのですが、確実なので仕方なくても帰納法を使いましょう。

このようになります。

 

文系(3)またまた1の位

では、文系の最後の問題に行きましょう。今度はα^nの1の位を求めよ、となっています。

Snは整数でしたが、α^nは無理数のn乗ですから整数になりません。果たしてどう証明するのでしょうか。

 

この問題は、問題集や参考書に同じパターンが載ってないので、難しかったと思いますが、βがものすごく小さい値だということを利用します。

本番でこの発想が出てきたら、大興奮するでしょうね。

 

具体的には、βは0から1の間の数です。これだけ調べられればOK。

だって、Snから1未満の数を引いたのがα^nだとわかるわけですから、Snの1の位から1を引けば、答えが出ます。

 

ということで、手書きの解答はこちら。

 

 

理系第4問(2):ただの計算問題だが・・・

では、調子にのって、理系の解説も一気に行きましょう

理系の(1)に関しては、文系の(1)とほとんど同じなので割愛。(2)からスタートします。

 

(2)の問いは、「β^3以下の最大整数を求めよ」というもの。

「え??要するに、数値計算するだけでしょ??」

ということで、非常に簡単な問題に思えます。

 

さっそくβに値を代入してみます。すると、かなり面倒臭い近似が必要な値が出てきました。(当たり前のように、字数下げを行いましょう。)

 

ということで、代入するのはおススメしません。

 

 

では、どうするかというと、もっと簡単♪

そもそもβの値が、-1<β<0を満たすので、3乗してもー1と0の間にあります。

これだけで証明終わり。

 

すぐに代入するっていうのは、良い結果にならないことが多いので、覚えておいてくださいね。

 

理系(3)いつものフォーマットで、正の整数を証明

では最後。

(3)では、α^2003以下の最大整数の1の位の値を求めます。

 

さて復習。

1の位と言ったら?合同式なので、当然のように合同式を使うのですが、

そもそも、Snが整数になるという証明がされていません。

ということは、合同式がまだ使えないということですから、まずはいつものフォーマットで、Snが正の整数になることを求めましょう。

 

これで、Snに対して、合同式を使えるようになりました。下準備完了。

-1<β^2003<0の証明

では、次の問題は、Snとα^nの関係です。

実は、(2)がフリになっていて、βの3乗でもほとんど0ならば、βの2003乗は、もっと0付近だろうということに気づかせたいのでしょう。

 

ということで、(2)と同様で、-1<β^2003<0を証明します。

これは、簡単に済ませましょう。

 

1の位は、周期性→証明

最後に、Snの1の位に行きましょう。

文系の問題と同じように、合同式で周期性を発見し、それを証明します。

証明法も、漸化式で済ませようと思ったら失敗したので、帰納法に進むのも同じ。

ということで、全体の解答をどうぞ。

 

 

まとめ

このタイプの問題が東大では頻出です。

整数の証明、帰納法、漸化式、あたりで問題を解かせる問題よく出ます。

まだ、このシリーズを続けて解説行きますので、どうぞ次回をお待ちくださいませ。

 

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1997年 東大数学 文系文系第1問(強化帰納法、3項間漸化式、対称式)

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1997年 東大数学 文系第1問

さて、数学の解説記事の復活です。整数問題の克服をさせていきましょう。

まずは問題からです。

 

 

これまで2回分、東大の整数問題を解説書きましたが、その2問は基本中の基本。

今回の問題からは、東大らしい整数問題を連続して扱います。

ちょっと古いですが、まずはこれをおさえると良いでしょう。

では、解説スタートです。

 

有名事実の証明問題!

さてこの問題、有名事実の証明をする問題です。
物理なんかでは、公式の証明自体が入試問題になることがありますが(典型的なのは、気体の分子運動論など)数学では、少し珍しいですね。
この問題に関しては、証明の過程まで含めて覚えてしまうのが良いでしょう。
では、具体的に流れを見ていきます。

 

問題の流れが、強化帰納法になっている。

これはどういう問題かというと、
a^n+b^nに対して、
n=2の時と、n=3の時に4の倍数となれば、あらゆるnで4の倍数となることを証明する問題です。
 
実は、n=2からスタートではなくて、n=1からスタートしても成立します。
つまり、

「n=1の時と、n=2の時に4の倍数となれば、あらゆるnで4の倍数となる」

というのが有名事実です。
 
この赤字の部分が有名事実なわけですが、よく読むとまさに「強化帰納法」そのものになっていることがわかりませんでしょうか?
 
数学的帰納法は、
n=1の時の成立を示すと、あらゆるnに対して成立することを証明する方法ですが、
これの発展版として、強化帰納法があります。
 
そして、帰納法でも、強化帰納法でも、証明するときによく使うのが「漸化式」です。
では、a^+b^nに関する漸化式はどうなるでしょう?
 

漸化式を作ってみよう

作り方は簡単です。
a^n+b^nに対して、基本対称式であるa+bとabを利用して、少し次数を下げながら等式をつくります。
 
ここで、登場するのが、n-1乗の部分と、nー2乗の部分です。
つまり、n乗と、nー1乗と、n-2乗の3つの部分の関係式(3項間漸化式)が登場するということです。
 
3項間漸化式に対して使う漸化式は、普通の帰納法ではなくて、強化帰納法です。ということで、a+bとabの値が欲しくなります。
 
それが、(1)の問題です。
つまり(1)は、(2)で強化帰納法を使う際に出てくる漸化式を作るために必要な値を求めさせる、誘導問題だということなのです。

 

(1)対称式から基本対称式を求めよう

では、(1)を見てみましょう。
普通の対称式の問題より、少し計算が面倒なだけで、本質はただの連立方程式の問題です。
a^2+b^2と、a^3+b^3の両方を、基本対称式で表し、加減法や代入法で一つずつ求めるだけですね。
これに関しては、あとで手書きの解答を見てください。

 

(2)漸化式を使えば、非常に簡単

そして(2)ですが、強化帰納法に、求めた値と漸化式を代入すれば、難しいところが全くありません。
「4の倍数と4の倍数を足したら、4の倍数になる」という、至極当たり前な事実を、わざわざ帰納法の中で示しているにすぎません。
 
ということで、手書きの解答をご覧くださいませ。
 
 

まとめ

今日は、次回以降の導入編
強化帰納法や、3項間漸化式を自分で作る技術などが、東大では非常に大事で頻出です。
よく復習してから、次回以降の問題をごらんくださいませ。

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2005年 東大数学 文系第2問(割り切れる=倍数、互いに素の条件)

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2005年 東大数学 文系第2問

昨日のスタンダードな整数問題に続いて、今日も割とスタンダードな問題をどうぞ。

 

 

 

さてさて、キーワードが満載。

これをどう見る!?

 

「割り切れる」条件は、割り切れる=倍数

まず、「割り切れる」条件を言い換えることからです。

 

「割り切れる」と言われるとき、私がまず思いつくのが「〇〇の倍数」と言い換えること。

今回は10000で割り切れる条件なので、10000の倍数と言い換えます。

すると、a^2-a=10000k(kは整数)と表現できます。

これで等式ができました。

 

連続2整数は互いに素

さて、(積)=(整数)の形が作れたので、次は因数分解をして候補の絞り込みをします。

 

左辺を因数分解し、右辺を素因数分解すると

a(aー1)=2^4×5×4 (※)

となります。

 

ここで大切なのが「連続2整数は互いに素」だという事実です。xとx+1など、連続する2整数は必ず互いに素になるのです。

これは、超有名事実。知らなければならない常識です。

 

証明はこちら

 

 

これを利用すると、aとaー1が互いに素だと分かります。

また、aは奇数という条件があり、右辺の10000の素因数が2と5だけなので、

 

a=5^4の倍数 ⇔5^4c

aー1=2^4の倍数 ⇔2^4d

 

と表せます。

 

これを、(※)の式に代入すると、1次の不定方程式が出てきます。

 

不定方程式の解法

さて、不定方程式が登場しましたが、今回は教科書に登場するようなユークリッドの互除法が利用できるパターンの式。

(わからない人は、教科書を参照のこと。必ず載っています)

ということで、満たす整数解を一つ見つけて、一般解を求める流れになります。

 

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回の問題は、

「割り切れる条件」を倍数表現に直せるか

互いに素の条件を使いこなせるか

の2点にありました。

 

これさえ使えれば得点が取れるのですが、決してハードルの高い問題ではありません。むしろ基本知識として覚えるもののはず。

 

整数問題は難しいイメージがあるかもしれませんが、実は使うのは基本的な知識ということがよくある。

知識不足を感じた人は、今から学びなおすのをおススメします。

 

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2006年 東大数学 文系第3問(整数、3文字の3乗の和、存在証明)

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2006年 東大数学 文系第3問

昨日も書いたのですが、

「戦意喪失した人には、勝利はつかめない」

「自分の運命を他人に預けようとする人には、勝利はつかめない」

 

勝利は強気とイケる気からやってきます。そして、それは根拠のあるものでなければなりません。

そこで、根拠ある自信をつけてもらうため、今日から東大の整数問題の解説を連続アップします。

 

今日は初回ということで、基本的な問題のこちらをどうぞ。

 

よくあるタイプの整数問題。まずはこれを解けるようにするところからスタートしましょう。

 

整数問題には2つの方針しかない。

では、(1)から見ていきますが、非常に典型的な問題。

x+y+zやxyzを見たら、大小比較から不等式を作り、このように候補を絞り込みます。

 

x+y+zに関して、小さい方と大きい方、

xyzに関して、小さい方と大きい方

というように、4つの不等式を作って、使えるものだけ使えばよいです。

 

問題集の解答には1つしか載ってないかもしれませんが、自分で解く際には4つ全て試してよいでしょう。

 

不等号を作ったら場合分け

さて、不等号ができたら、候補が絞り込めます。

今回は、xy≦3となりますから、(x、y)=(1,1)、(1,2)、(1,3)の3通りしか解がありません。

 

このように、解を有限個の候補に絞り込むことを、日本語で「整数問題を解く」と言います。

 

あとは場合分けして、一つずつ調べていけばOK。

教科書や問題集の例題のような問題でした。

3文字の3乗の和

さて、(2)に行きましょう。

次数が3に上がり、解が存在しないことの証明をします。

 

ここで注目したいのは、3文字の3乗の和です。

大学受験において、3文字の3乗の和が登場したら、いつもこれ!という式変形があります。

これです。

数学では頻出ですから、この式に関連した知識を必ず頭に入れましょう。

 

3文字の3乗の和を利用した解法

では、この式を利用した解法をご覧ください。

 

この解法のポイントは、何度も書きますが、知識があるかどうかでしょう。

しかも、赤枠の中の変形は、閃きでは絶対に思いつけない変形でしょうから、やはり覚えておかなければなりません。

では、他の解法に行きましょう。

 

別解:相加相乗平均の利用(3文字)

ほとんど同じですが、別解として相加相乗平均の利用をする解法があります。

これも、知識を覚えていれば使いこなせる解法です。

「数学は暗記だ」

「いや、数学は暗記ではない」

という論争がありますが、暗記って大事ですねぇ。

文系受験者でも、暗記で点数が取れるという、好例です。

 

別解:(1)と同様の変形

では、おまけの別解を載せましょう。

(1)と同様に変形すると解けます。

 

(1)と違って、x≦y≦zの不等号がありませんが、

画像のように「一般性を失わない」と但し書きを描けば、大小を決めてOK。

これでも解けますね。

 

では、全体の手書きの画像をどうぞ

まとめ

(1)は基本に忠実に式変形するだけ。

(2)は「これを見たらいつもこれ」という知識を使うだけ。

 

どちらも簡単に思えるようにしましょう。

整数問題の初日としては、良いですね。では、また明日。

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