2015年 東大理系数学 オススメ作戦

オススメ作戦の趣旨説明

2015年の東大理系数学の解説も一通り終わったので、このブログの特長である、オススメ作戦に触れましょう。

このシリーズでは、まずは一問ずつ普通の解説を行い、最後に一年分の問題を全て横に並べて、俯瞰しながら攻略作戦を考えていきます。

この際、どうしても簡単な戦略の概念が必要になるため、毎回簡単に趣旨説明がございます。毎回、同じ話をしてますので、ご存知の方は読み飛ばして下さい。

※しっかり書いたものは、こちらの記事にあります。

※問題は6問とも、最後に貼り付けていきます。

 

どの問題を捨てるか、どの問題を解かないか

「戦略」が入試の攻略の仕方ならば、「作戦」は1科目の攻略方法を表します。

すなわち、試験時間の中でどのように戦うかという話です。

普通、学校や塾では一つ一つの問題に対して、満点解答を作る解説がされると思いますが、入試は必ずしも満点を取る競技ではありません。

理想は全ての問題で満点でしょうけど、現実的には不可能ですし、狙う必要もない。合計で合格点に達すればよいため、どの問題を捨てるか、どの問題を解かないか、という視点もあって良いはずです。

 

数学入試において、戦い方は極めてシンプル。ポイントは二つです。

 

・初めに全ての問題に軽く目を通して、時間の使い方を検討せよ!

・解けそうだからと言って、時間がかかるのであれば、後回しにせよ!

 

シンプル過ぎて当たり前のように思えますが、思うのと実行するのは別問題。冷静に戦える受験生は、意外にも大変少ないのです。

 

では、この視点に基づいて、2015年の東大理系数学の6問を見てみましょう。

 

各問題についてのコメント

2015東大数学作戦

第1問

通過領域→解の配置(や包絡線など)という発想があれば筆が進むけど、知らなったら何も出来ず終わる問題。ただし、東大理系の受験生ならば常識として知っておきたい。

通過領域の問題は、場合分けが面倒なるし、図示の時には細かい注意が必要。時間がかかり、減点の可能性も高くなるので、完答の一歩手前までで一度手を止めて、他の問題に時間をかける事も想定に含めて良い。

 

第2問

東大ならば、別に対して難しくない確率漸化式。文科と共通問題(一部)。

遷移図を書き、計算を正しく行えば解けるだろう。

部分点を稼ぐ問題ではなく、高得点を狙いに行く問題。

 

第3問

明らかに簡単。

設定もシンプルだし、解答の方針も作り易い。

但し、積分計算は面倒になることが多いので、どこまで深入りするかは、ケースバイケース。

この問題の場合、(2)が解ければ、(3)もそっくり点数がもらえる設定になってるので、多少時間をかけて、計算の見直しを丁寧にしたとしても、時間をかけるべきだと思う。

 

第4問

漸化式をいじるだけ。

というと簡単だけど、整理して考えないと、ややてこずる。

「結局、漸化式をいじるだけなんだ」というのを忘れずに、使うべき式と使わない式を区別すること。

問題としては簡単な方。

 

第5問

難。何となくわかっても、解答が書きづらい。

答えが特定できたら、それだけ書いて部分点をもらい、他の問題に時間を割いても可。

 

第6問

明らかに誘導の問題なので、誘導の意図が読み取れるかどうかが、問題を一目見た瞬間から見抜ける。(冷静になってないと、やや難しいが)

姿勢を但し、問題冊子と距離を置いて、全体を見渡しながら何度も問題文を読むと良いかも。

気付けば解けるけど、気付くのがやや難しいかも。

 

 

ということで、最後にいつもの得点コース別の部分点の取り方案。

 

 

まず初めに、全問題を眺めて、第2問、第3問、第4問に目を付けるのが良いでしょうね。
第5問は、少し手を動かして見ないと、難易度が分からないかも。

最初の数分で、120分の動き方を大まかに決めます。

闇雲に計算を始めないように。無策は身を滅ぼします。

参考にして下さい。では

 

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2016年 東大文系数学のオススメ戦略

東大入試数学を解説するシリーズ、今日は新たな試みです。

受験戦略

これまで、文系数学の1~4問を解説してきましたが、今日は問題の解説ではなくて、作戦について書いていきます。

 

まず初めに、私は受験戦略家を名乗っているので、ちょっと戦略について触れようと思います。

これまでやってきた、1問ずつの解答や解説っていうのは、戦争に例えれば実際に戦っている時の話ですね。銃の撃ち合いとか、艦砲射撃とか、爆撃とかそういう話です。

 

しかし、今日解説するのは、どう戦うか。つまり作戦の立て方です。

 

もう少し具体的にしましょう。

 

東大の入試会場に入り問題冊子が配られて、解答はじめの合図があった瞬間から解答やめの合図までの時間で、どのように時間を配分していくか、どの順番で解いていくか、どの問題は解き、どの問題は捨てるか、など制限時間内で、最大得点を得るために何を考えれば良いか。

 

こういう視点で書いていこうと思います。

 

今の受験業界の主流・・・いやほぼ全てが、一つひとつの問題で満点が取れるようになる訓練です。

これはこれで非常に大事です。だから僕も過去4回、解説をしたわけです。

しかし、入試に合格するという視点になったら、全ての問題で満点を取りに行こうとする視点は不要です。(合格点が満点近くない限り)

 

理想は全ての問題で満点でしょうけど、現実的には不可能でしょう。特に東大数学においては、全ての問題で満点を取ろうとすると、失敗します。

是非、僕のブログの読者の受験生の皆さんは、どう戦うかまで考えられるようになって、合格を勝ち取ってほしいと思います。

 

では始めて行こうと思いますが、どんな問題か分からないと、今日の記事はチンプンカンプンだと思いますので、問題を一番最後に貼り付けておきますね。

必要に応じて、随時見ながら読んで下さい!

入試問題への戦い方

では、戦い方についてですが、入試問題への戦い方は非常にシンプルで、簡単です。

実は、既に書いているので、詳しくはこちらの記事をご覧ください。

(勉強を一切しなくても、点数が上げられる方法が書いてあります)

 

本当はしっかり読んでほしいのですが、必要最低限なポイントだけ改めて書くと

 

・初めに全ての問題に軽く目を通して、時間の使い方を検討せよ!

・解けそうだからと言って、時間がかかるのであれば、後回しにせよ!

 

の2点です。この2点だけ意識してるだけで、戦い方が変わり、点数が大幅に上がる可能性が出てきます。

 

そのヒントとして、問題を四つに分類することを勧めています。

この表で言う、②の領域の問題を最優先して解いて、①の問題に飛びつかなければ良いのです。

 

この視点に基づいて、4問を見直してみると、

 

第一問

正しい方針が見つかれば高得点が取れるかもしれないが、初手で間違えるとほぼ0点になる可能性がある。領域図示は高得点が取りにくく、数学が苦手な受験生にとっては、③か④の問題だろうから、まずは手を付けず後回し。

 

第二問

(1)教科書の章末問題レベル。絶対に点数を落としてはいけない。明らかに②。

(2)ゲームのルールを見極め、法則を発見できなければ解答出来ない。見極められれば簡単だから②で、見極められなければ①に分類される。

(3)問題文をよく読むと、(2)からの誘導と気付ける。しかもΣの計算をするだけ。つまり、(2)が解けた人は②で、解けない人は③か④。

 

第三問

(1)曲線同士が接する条件を知ってれば②、知らなくても自力で導き出せる可能性があるので①

(2)平行移動して面積を求めるので、答えまでの流れはすぐに読める超典型問題。計算が簡単ならば、教科書の例題か章末問題レベル。但しパラメータ入りの平行移動を伴い、計算は確実に煩雑になるため①。

(3)最大値の問題は、どうせ微分してグラフを書くだけ。もしくは微分すらしない簡単な問題。(2)が解ければ②だが、計算ミスをしていそうな場合は、解答の方針だけ書いて計算をしないのもアリ。

 

第四問

(1)絶対②。中学受験レベル。解けなきゃ東大は諦めた方が良い。

(2)これも②。やってみればわかるが、(1)より簡単。本当に東大の問題か疑うレベル。

(3)なんとなくわかりそうになるが、解答を書こうとすると書けなくなる問題。ひとまず①に分類してよいけど、分かってしまえば②。

 

というような分析をしました。

問題冊子を配られて、解答はじめの合図があった直後に、こういう分析をして下さい。もちろん、こんなに正確に分析は出来ないでしょうし、外すこともありますが、チャレンジは絶対にした方が良いです。

 

問題冊子を開いて、第一問から真面目に解き始める人は、これまでの流れを意識するだけで、得点が大幅に上がる可能性があります。

 

この分析を踏まえて、こんな表を作ってみました。

 

 

上の表は、問題別に難易度を分類したものです。赤(というか橙)黄色の順に難易度が下がります。ちなみに、小問ごとの配点は適当です。公式発表はされてないと思います。

 

下の表は、目標得点ごとに取る点数の例です。順当に得点したらこんなものかなという感じ。もちろん、ずれても目標点が取れてればOKです。

 

知らない人に言うと驚かれるのが、東大数学は一問も解けなくても合格出来るという事実です。基本的に、部分点をかき集める勝負です。

むしろ、大問一つ丸ごと20点取れる方が、珍しいと思います。東大に合格したければ、部分点をかき集める訓練を行うべきですよ。

 

 

最後に、なぜ問題の解説だけじゃなくて、戦略を書きたかったかを説明して終わりましょう。

それは、過去問演習に役立ててほしいからです。

 

これからの時期、過去問演習を行う受験生が多いと思いますが、その際、数学の問題が解けなくて落ち込むことがたくさんあると思います。

しかし、上の表があれば、最後まで解ききれなくても、自分が合格点に届きそうかどうかが分かるでしょう。

 

解けるかどうかよりも、合格点に達するかどうかが大切です。そのためには、入試問題を一年分全て解いて、点数比較しなければいけません。

 

過去問演習って、先生に言われて解いてみて終わりっていう受験生が非常に多いですが、戦略を立てる上で、これほど大切なものはありません。

せっかく過去問を解くのであれば、その意義を充実させましょう。そのために、よろしければ、この記事の分析を参考にしてみて下さい。

 

という事で、2016年の文系数学の解説を、これで全て終了します。

 

 

<以下、2016年の東大数学の問題>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016年 東大理系数学のオススメ作戦

日本最高峰の数学問題を出す大学と言えば、東大です。

今日は、東大数学を解いて、合格を勝ち取るための作戦をご紹介しましょう。

 

東大入試数学を解説するシリーズでは、まず一問ずつ普通の解説を行い、最後に一年分を俯瞰して攻略する作戦をご紹介しています。

 

この時、どうしても戦略の概念が必要になるので、毎回簡単に解説加えていくのですが、しっかり書いたものは、こちらの記事にありますので、よろしければお読み下さい。

東大数学を解いて合格を勝ち取る

今回話すのは、東大入試の数学の試験時間150分の中で、どのように戦うかという話です。

 

普段、学校や塾では、一つ一つの問題に対して、満点の解答を作る訓練をしていると思いますが、これは戦略の概念で言うと、「技術」と呼ばれるレベルになります。

 

これに対して、身に着けた技術を使って、150分の試験時間の攻略の仕方を考えるのが「作戦」レベルであり、英語や国語、理科なども含めて、その年の入試全体を攻略する方法を考えるのが「戦略」の概念に当てはまります。

 

日本人は戦略学を勉強していないので、戦術や作戦、戦略や大戦略という言葉の使い分けを知らない人がほとんどですが、本当は明確に区別があります。
今回は数学単体の話なので、戦略ではなく、作戦レベルの話です。

 

そして、普段訓練している技術レベルの話では、満点解答を作る事が目的なのですが、作戦レベルの話になると、満点を取りに行こうという姿勢は、必ずしも必要ありません。(合格点が満点近くない限り)

 

理想は全ての問題で満点でしょうけど、現実的には不可能。どのように合格最低点を勝ち取るかという視点で、話を進めなければいけません。

 

では始めて行こうと思いますが、どんな問題か分からないと、今日の記事はチンプンカンプンだと思いますので、問題を一番最後に貼り付けておきますね。

必要に応じて、下の方にスクロールして見ながら読んで下さい!

 

では、その戦い方についてですが、入試問題を攻略する作戦は非常にシンプルで、簡単です。

 

ポイントは二つ。

・初めに全ての問題に軽く目を通して、時間の使い方を検討せよ!

・解けそうだからと言って、時間がかかるのであれば、後回しにせよ!

 

 

この2点だけ意識すれば、戦い方が変わり、点数が大幅に上がる可能性が出てきます。

 

そのヒントとして、問題を四つに分類することを勧めています。

この表で言う、②の領域の問題を最優先して解いて、①の問題に飛びつかなければ良いのです。

 

この視点に基づいて、6問を初見した時の簡単な感想はこんなものでは?

 

第一問。

不等式の証明で、見た事のあるeの定義式があるから、差分を取って微分するという方針は想像しやすい。最後まで証明できるかどうかは、すぐに判断出来なくても、良い処まで進めてもおかしくないので、優先順位は高い。

 

第二問。

確率の問題で、かつnやmっていう、一般項に絡みそうな文字が登場している。n回目とn+1回目の関係性(や、n+2回目まで含めた関係性)を発見できれば、解答出来そうではある。これも優先順位は高め。

 

第三問。

点を定義して、直線を定義して・・・と順を追いながら進めば、面積が出せそうだし、面積の最小値だって、恐らく微分だろう。これも優先順位は高いし、最優先と判断する人も多そう。

 

第四問。

複素数平面は苦手な生徒が多いが、問題は至ってシンプル。鋭角三角形の条件が、すぐに思いつければ優先順位は高いが、すぐに思い付かなければ、一度放っておいても良さそう。

 

第五問。

この年で、最も強面(こわおもて)な問題。初見で方針が分かる生徒は、ほとんどいないと思われる。何度か具体的な数字を代入して、問題の構造が読み取れれば解答しても良いが、優先順位は低いだろう。

それと、(3)は(1)と(2)を解いてなくても、解答出来る問題だと見抜けるかどうかも大きい。

 

第六問。

とりあえず、空間座標を設定して、図を書いてみる。

回転対称性に気付き、x-z平面などで切断する事を思いつければ、部分点はもらえそうなだと判断できるので、最低でもここまではやる。やってみなければ分からないが、実はこの後の計算は、文字式の置き方を間違えると大変になる。計算が大変になるまで手を付けても良いが、面倒になりそうな所で冷静にストップ出来たら良し。

 

 

と、こんな所でしょうか。

こんな感じの分析を、問題冊子が配られた直後に行ってください。間違っても、ページをめくって第一問から解き始めることにしましょう。

ねこじゃらしに引っかかる猫と同じです。

 

 

これを踏まえて、前回と同じように、目標点ごとの目安の得点を作ってみました。

 

 

赤(というか橙)、黄色、青の順に難易度が下がります。ちなみに、小問ごとの配点は適当です。公式発表はされてないと思います。

 

下の表は、目標得点ごとに取る点数の例です。順当に得点したらこんなものかなという感じ。もちろん、ずれても目標点が取れてればOKです。

 

東大数学は、満点を取る勝負というより、部分点をかき集める勝負です。大問一つ丸ごと20点取れるのは珍しいので、部分点をかき集める訓練をしましょう。

 

今まさに過去問演習を行ってる受験生が多いと思いますが、その際、数学の問題が解けなくて落ち込むことがたくさんあると思います。

しかし、上の表があれば、最後まで解ききれなくても、自分が合格点に届きそうかどうかが分かるでしょう。

 

解けるかどうかよりも、合格点に達するかどうかが大切です。そのためには、入試問題を一年分全て解いて、点数比較しなければいけません。

せっかく過去問を解くのであれば、その意義を充実させましょう。そのために、よろしければ、この記事の分析を参考にしてみて下さい。

 

 

 

 

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昨日の東大入試数学を全て解いたので、1問ずつ軽く講評してみました。

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昨日は国公立大学の前期日程試験でしたね。

東大では、今日も2日目の試験が行われる予定です。

 

東大では初日に、国語と数学の入試が行われます。2日目の今日は、理科社会と英語です。

数学の動画を配信したり、イベントをやっていることもあり、もちろん昨日のうちに、全ての東大の数学入試を解きました。

 

文系4問、理系6問で計10問。

今年は文理共通問題2問あったので、事実上は8種類の問題が出題されたことになります。

(厳密には、共通問題は1問で、もう1問は条件が違いますけどね)

 

文系100分、理系150分の試験時間ですが、昨夜、他の仕事をしたり、メールを返したりしながら、多分120~130分くらいで解き終わりましたね。さすがに8問入試を解くと疲れます(笑)

 

という事で、今日は3分でわかる最新ニュースは中止して、東大入試数学について、1問ずつ軽く触れていこうと思います。

そして、出来れば、今日の夕方のブログで詳しく取りあげたい!!(時間が間に合えば)

 

まずは文系第1問

条件を作るところまでは、至ってシンプル。計算ミスがなければ、簡単に最後まで行けちゃう人も結構多くいそう。

面積計算を丁寧にして、AとBが接する条件を間違えなければ、ほとんどの方が部分点まではもらえてるでしょう。

僕は、その後のsとtの消去する順番を間違えて、しばらく悩むトラブルがありましたがwww

難易度は高くありません。

 

 

 

そして文系第2問

これは、難易度をどう評価すれば良いのでしょう。

初手で間違えなければそれほど難しくないんでしょうが、初手で間違えると、ドツボにはまります。

線分の通過領域の面積って、ちょっと珍しいタイプの問題かもしれませんね。

 

 

 

文系第3問

(1)が、死ぬほど簡単です簡単すぎて、答えを疑うレベル。

でも(2)の誘導として、どうしても必要だったんでしょうね。ちなみに誘導に乗らなくても、面倒な場合分けをすれば答えは出ます。

東大の入試としては、簡単な部類でしょう。

 

 

 

そして、文系第4問(最後)

 

 

出ましたね、整数問題。東大ではお馴染みです。

今回は、これまた整数と相性の良い、数列絡みの問題です。(というか、数列メインかも)

(1)は、これまたメチャクチャ簡単なレベル計算をミスしなければ当たります。

(2)は変形で結構悩む人、多いのではないでしょうか?僕もシンプルな式に直すまで、結構ゴチャゴチャ計算してしまいました。まあ、こういうのは出てしまえば、非常にシンプルなんですけどね。

(3)は、典型問題。数列×証明のコラボときたら、帰納法でしょう。悩んではいけません。

(4)が難しいって、ネットの噂で見ましたが、僕としてはむしろ瞬殺でした。だって、最大公約数と言ったら、アレを連想しなきゃ。そうです。ユークリッドの互除法。

でも、互除法を帰納的に使うのは、少し珍しいかもですね。

 

 

 

では、続きまして、理系第1問

 

1)は、チェビシェフの多項式を連想させる問題。東大理系の受験生なら、落としてはならない難易度でしょう。

(2)は、最小値って言われてるので微分。理系は良く考えずに微分(笑)というと語弊がありますが、微分してから悩んだ方が良い問題がたくさんありますね。

で、微分して、増減表書いて・・・って進んでいくと、解答がドンドン進みます。強面ですが、意外とつまづくポイントは少ないかもしれませんね。

 

 

 

理系第2問は、ほぼ文系第3問と共通なので、画像だけ貼っておきます。

(2)がちょっとだけ違いますね。

 

 

 

理系第3問に進みます。

みんなが苦手な複素数

垂直二等分線の条件を、シンプルに立てられるかで、(1)が決まりますね。

垂直条件ではなくて、2点からの距離が等しい条件を使うと簡単でした。覚えておきましょう。

(2)は、(1)の誘導に乗っかって、α=-1と置くところまでは行けるでしょうか?zが2点の間しか動かない条件を、上手に反映させられるかが勝負ところです。

まあ、でもそれほど難しくはないかな?

 

 

理系第4問は、文系第4問と共通なので、これまた割愛。

 

次は理系第5問です。

放物線が2本、逆関数的に登場していますね。そして共通接線の条件。

代入して判別式で解けるので、そんなに難しく考えずに進めます。

余談ですが、(1)はaとkとbの条件を求めるので、思わずアレを思い出してしまった人もいるのでは・・・?こじはるさん、お疲れ様でした。

(2)も、言われた通りa=2を代入すると筆が進みます。そしてそのkを代入すると、aが3個出てきて・・・と、連立方程式をいじってると終わっちゃう問題でした。

 

 

最後、理系第6問

個人的に、1番難しいかなと思った問題。

(1)は、それほど難しくなく、図を描いたり、座標を設定してたら、解けてもおかしくないでしょう。

しかし誘導に乗っかって、(2)を解こうとすると、誘導への乗っかり方が思いつかないかもしれませんね。

他の問題を解き終わって、残り時間をたっぷりあてて、じっくり取り組む問題かもしれません。

まあ、東大入試ならこれくらい出てもビックリしないですが。

 

 

 

という事で、ざーっと簡単に書いてきました。

短文でまとめているので、いとも簡単に解いたかのように見えるかもしれませんが、いざ試験会場で解くと難しく感じるのは知ってます。

僕も1年前に同じ経験をしたので。

 

なにせ去年、数学の入試を解いている時に、パニックになってまして、

3のn乗が3の倍数になる証明が出来なくなってしまいました。

3のn乗なんて、自明で3の倍数なんですが、緊張感って恐ろしいですね。

 

他にも単純な引き算だか割り算だかを間違えましたし。試験には魔物が住むなんて言われますが、そういう事もあります。

 

さて、簡単にしかコメントしてこなかったので、今日の夕方のブログから1問ずつもう少し丁寧に解説したいと思っています。

時間があれば、今日の夕方から始動しますので、お楽しみに!

 

 

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2017年 東大文系数学のオススメ作戦

今日も訪れて下さり、ありがとうございます。

 

東大入試が終わってから、毎日解説を更新してましたが、今日と明日は僕の特徴的な記事を書こうと思っています。

普通であれば、入試問題を一問ずつ解説するだけで終わる事が多いと思いますが、入試は解く事よりも、合格点を取る事が目的です。

 

ということで、一問ずつ満点を取る解説だけではなく、合格点を取るための考え方も書いているのです。

具体的には、試験時間の使い方です。

 

問題冊子を配られ、開いてから試験が終わるまでに、どういう事を考えるか、どの順番で問題を解くか、どの問題にどれだけ時間をかけて、どの問題を解かないか。

全ての問題に全力投球するのが、必ずしも良い作戦とは限らないのです。

 

野球でも、飛んできたボールに全てフルスイングするバッターはいないですし、サッカーでもプレイヤー全員がボールに飛びついていてはゴールががら空きになってしまいます。

全力を投入するのは大事なのですが、全力を投入するべきタイミングと場所があるということです。

 

これも、書くとキリがないのですが、せめて過去問分析は、その年に出題された問題を全て見比べながら行って下さい。

一問ずつ見るのではなくて、横に並べて見比べるのです。

すると、合格点を取るために、どの問題で何点ずつ取るのか、少しずつ見えてくると思います。

 

あとで詳しく書きますが、今年の東大文系数学で取りたい点数が、30点なら、40点なら、50点なら、60点ならと、それぞれで何点ずつ取るか一例として挙げています。

 

 

 

では、今年の問題の点数の取り易さや、かかる時間などについて、一言ずつコメントをしていきましょう。

2017東大数学

 

まず、第1問

 

二次関数もグラフで簡単に書けるし、求める面積も全く難しくない。言われた通り、立式して計算ミスさえしなければ、部分点が大量に取れる問題ですね。

Q/Pを計算して、sとtのどちらを消去するかで、初めて悩みどころが出てくると思うのですが、ここで逆を選んだとしても、半分くらいの部分点は望めるでしょう。

 

だからこそ、この問題では計算ミスをしないように細心の注意を払うべきでしょうね。さっさと終わらせて他の問題に時間を使いたい所かもしれませんが、計算ミスをしたら命取りです。多少時間をかけて、何度か計算し直しても良いと思います。

 

 

 

次に第2問。

 

簡単だったと噂もある問題ですが、僕はそこまで簡単だと思ってません。

というのも、初手で間違えるとほとんど点数が取れない可能性があるからです。

結局はベクトルを選ぶのが模範解答なんですが、そうしないと点数がなくなります。という事で

差が付く問題だと思いますね。

ベクトルの選び方については、こちらに書きましたので、参考にして下さい。

 

ちなみに、こういう初手で迷ってしまう問題は、あまり考えずに後回しにすると良いでしょう。

他に、解いていて手が進む問題があれば、優先すべきです。短時間で、得点を取れるかどうかが大事です。

 

 

 

次に第3問。

 

まず(1)は簡単すぎて、本当に東大入試なのか疑うレベルです。

教科書や、学校の定期テストでも、もっと難しいだろうと思いますね。

この問題を間違えたら、今年の東大入学は諦めなければならないでしょう。

 

(2)はそれなりに難しいと思います。とても難しいレベルだとは思いませんが、得点し辛いかもしれません。

というのも、(1)からの誘導の乗り方が少し分かり辛いかなぁと思います。少なくとも、一瞬で分かる受験生は多くないと思います。分かってしまえば、最後まで解けてもおかしくないでしょうけどね。

 

 

 

 

そして、第4問。

 

東大には珍しく、小問が(4)まであります。

小問が多いということは、問題の最後まで解き終わるのに時間がかかるということですし、1問当たりの配点が低いということです。

とは言っても、(1)は簡単すぎて、小問に含まれないかもしれませんけどね(笑)

という事で、(1)は絶対に取らないと不合格レベルでしょう。こういう簡単な問題にこそ、気を付けなければなりませんね。

 

(2)は、下手すると計算に時間がかかりますよ。

すぐに漸化式が作れる方針が見つかれば別ですが、多くの受験生がゴチャゴチャ計算して結局投げ出してしまったのではないでしょうか。

そして、(2)が解けないと(3)や(4)が解けませんから、得点率は低いでしょうね。

 

そういう意味では、最も難しい問題だったと言えるかもしれません。

こちらの記事に手書きの解答を書きまして、そこで触れたんですが、結局ややこしいとは言っても、ただの連立方程式です。

これが解ければ(3)や(4)が解けるかもしれないというならば、面倒でも計算ミスに注意して、丁寧に計算する時間を作っても良いと思います。

 

実際、(3)は典型的な帰納法の問題で、ある意味サービス問題とも言えますから、(2)が解ければ同時に6点ほどゲットできるわけです。(2)は少し無理してでも時間をかけて良いのではと思います。

 

 

というようなことを踏まえて、いつも通りの分析表を載せますね。

 

 

上の表は、小問ごとの配点予想です。赤(というか橙)、黄色、青の順に難易度が下がります。

本当の配点を知る事は出来ないので、あまり深く考えずに適当に決めてます。

 

下の表は、目標得点ごとに取る点数の例です。順当に得点したらこんなものかなという感じ。もちろん、ずれても目標点が取れてればOKです。

今年は、入試問題が簡単だという噂でしたので、60点コースも作ってます。

 

一生懸命に一問ずつ解くのも大切なんですが、合格するためには頭の使い方も色々あります。何か参考になれば、幸いです。

 

では、明日は理系数学です。

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2017年 東大理系数学 オススメ作戦

では、昨日に続きまして、今日は理系のオススメ作戦です。
趣旨説明については、昨日の記事に書きましたので、こちらのページの上の方を読んでから下にどうぞ。
では、1問ずつコメントをしていきます。

2017東大理系数学

まず第1問。

(1)は、とにかく計算をミスしなければ解ける問題。こういう問題には時間を多少かけてでも取り組むべきです。部分点をもらいましょう。
(2)も、最小値がゼロということで、コテコテの問題です。というか、二次関数ですからね。高1から慣れているテーマなので、是非とも取りたい問題です。いわゆる、パラメータ付きの場合分けの問題ですし。
時間をあまりたくさんかける問題ではないですが、多少かけてでも取りに行く問題です。
優先順位は高め。

次に第2問。

これも、理系の確率の問題にしては取り組みやすい問題でしょうね。確率が苦手だからと言って後回しにする人もいますが、勿体ない!
設定も簡単だし、反復試行だし、丁寧に場合分けや設定の読み込みをすれば、そこまで悩む問題ではないはず。
最悪、色々と書き出してみても良いと思います。が、ただ、他にも短時間で得点出来る問題があるので、バランスは見ながらでしょうか。
数学が得意で、差を付けたいなら、大量の部分点を取りたい問題。

第3問。

これも複素数だからと言って、毛嫌いして後回しにする人がいそうですが、勿体ない!
大量の部分点を取りに行く問題です。
(1)は、教科書レベルでもおかしくないし、(2)も途中までは簡単です。1の3乗根なんて、教科書で絶対に触れてる、オメガの話ですから、それだけ計算しても、いくつか部分点がもらえます。
最後に、円の一部を取り除くところで手が止まるのは良いとして、そこまでの部分点は取りたいですね。

第4問

これは、昨日も書きましたので、同じ文章を貼り付けておきますね。

東大には珍しく、小問が(4)まであります。

小問が多いということは、問題の最後まで解き終わるのに時間がかかるということですし、1問当たりの配点が低いということです。

とは言っても、(1)は簡単すぎて、小問に含まれないかもしれませんけどね(笑)

という事で、(1)は絶対に取らないと不合格レベルでしょう。こういう簡単な問題にこそ、気を付けなければなりませんね。

 

2)は、下手すると計算に時間がかかりますよ。

すぐに漸化式が作れる方針が見つかれば別ですが、多くの受験生がゴチャゴチャ計算して結局投げ出してしまったのではないでしょうか。

そして、(2)が解けないと(3)や(4)が解けませんから、得点率は低いでしょうね。

 

そういう意味では、最も難しい問題だったと言えるかもしれません。

こちらの記事に手書きの解答を書きまして、そこで触れたんですが、結局ややこしいとは言っても、ただの連立方程式です。

これが解ければ(3)や(4)が解けるかもしれないというならば、面倒でも計算ミスに注意して、丁寧に計算する時間を作っても良いと思います。

 

実際、(3)は典型的な帰納法の問題で、ある意味サービス問題とも言えますから、(2)が解ければ同時に6点ほどゲットできるわけです。(2)は少し無理してでも時間をかけて良いのではと思います。

では、第5問

これはサービス問題。
問題の構造を、はっきりつかめなくても、計算を進めていたら解けちゃったというタイプの問題。別に方針で悩むこともないでしょうし、これは時間をかけて良い問題でしょう。
接線なので判別式、というのも別に自然だし、実際にそれのごり押しで解けます。
連立方程式も、少し計算がややこしいかもしれませんが、理系ならこれくらいは超えなきゃいけません。
満点を目指して取り組む問題ですよ。

そして最後に第6問

今回、最も難しい問題でした。
恐らく、受験生の皆さんもやってみて、他の問題よりも難しいと気付いたのではないでしょうか?
(1)はそれほどでもないので、取りましょう。頭の中でも、円になるイメージが出来ると思いますしね。
(2)は難しいです。
そして、今年の入試であれば、他の5問の中に、時間をかければ解ける問題があったはずです。だから、僕だったらすぐに飛ばして、他の問題に時間をつぎ込むでしょうね。
猫じゃらし、つまり罠のような問題とまでは言いませんが、あまり時間をかけて、ウンウン悩んでいても仕方ないと思います。
ちなみに、この問題が第1問として出題されていたら、受験生の合否がかなり狂ったでしょうね。
なぜなら、受験生の多くが、6問を全部見てから順番を考えて解くのではなく、とにかく目に入った問題から解き始めるからです。
始めにこの問題に手を付けて、解けなくて悩んで、気が付いたら長い時間をかけてしまった。
そして、解くべき問題に時間を使えずに、思うように点数が取れなかった。
と、いうようなシナリオになりそう。
第6問だから、あまり影響はなかったかもしれません。
では、最後に、得点コースの表を。

上の表は、小問ごとの配点予想です。赤(というか橙)、黄色、青の順に難易度が下がります。

本当の配点を知る事は出来ないので、あまり深く考えずに適当に決めてます。

 

下の表は、目標得点ごとに取る点数の例です。順当に得点したらこんなものかなという感じ。もちろん、ずれても目標点が取れてればOKです。

こんな風に、問題の難易度とかかる時間を考えて、配分を決めていきましょう。過去問を解くときにも、こんなことを考えながら解いてみて下さいね。
それでは、これで長く続いた今年の東大入試関連の記事は終わりです。
明日から通常モードに戻ります。長い間、付き合って下さり、ありがとうございました!

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2018年東大入試1日目を解いてみたコメントや感想、難易度など。

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昨日は国公立大学の前期試験でしたね。
私も早速、東大入試を解いてみました。
昨年も当日に解いて、即アップしたのですが、好評だったので今年も。
以下、1問ずつコメントです。

文系第1問:2次関数、点と直線の距離、最小値、領域図示

東大文系数学にしては、標準的な難易度でしょうか。
(1)はlとmの直線の方程式を出すのは非常に簡単。ここは部分点もらいでしょう。
点Aを何かの文字でおき、lとmまでの距離を「点と直線の距離」の公式で出す。
これらの√を取って絶対値の計算と流れますが、割とパッと見の印象通り。
しっかり勉強していれば、手を動かしていくだけで点数が取れる問題だと思います。
(2)は少し悩むでしょうか。
拙ブログでは領域図示の問題の解説に力を入れてましたが、これまでと少し変わった領域図示の問題でした。
領域Dが直線の不等式にスッポリ含まれてしまう条件なのですが、その直線に文字が二つついていて自由度が高く動きます。
また、qの符号で場合わけが必要だったりと、少しやり辛さがあります。
(1)は解けても、(2)は手が出せない受験生が多かったのではないでしょうか?
あ、そうそう、さっき確認したら、東進さんの解答速報に誤植がありましたね。
q=0の条件とq≠0の条件が逆になっていたような気がします。
既に直ったかどうかは未確認ですが、ご注意を。

文系第2問:整数、コンビネーション、誘導

今回、4問の中で最も簡単だったと思われる問題。
誘導が丁寧で、意図も分かりやすい。計算ミスがなければ満点が狙える問題でしょう。
(1)は計算するだけ。これは点数を取らなければならない問題。
(2)も、コンビネーションや階乗の計算を丁寧にするだけ。時間をかけても解く価値があるでしょう。最後に2次不等式が出ますが、あまり大したことはないでしょう。
(3)は一見みたことがない問題。しかし(1)と(2)が誘導だと気付けば、答えまであと少し。
(1)では、a7が1より小さいという結論が得られ、(2)ではa4からは小さくなり続けるという結論が得られます。
ということは、1より大きくなるのは、a1からa6だけ。
あとはその6個を全て計算してしまえば、OKです。

理系第2問:整数、コンビネーション

文系第2問と共通問題とは言えないまでも、類題だったのがこちらの理系第2問です。
違は、anの定義が複雑になっているのと、小問の誘導がやや「不親切」なことです。
文系では、1より大きいかどうかを調べさせてますが、理系ではそれがない。
また、「既約分数」の証明がポイントですね。これも頭をひねるポイント。
そういう意味で、文系より難しい問題です。
(言い換えれば、問題文の書き方次第で、問題の難易度が調節できるということですね。)
ということで、理系の受験生にとっては、an/an‐1が1より大きいかどうか調べる発想になれば、最後まで完答出来るわけですが、これを連想するにはどうしたら良いでしょう。
(これは、今日か明日から書き始める、1問ずつの解説ブログで書きますね。)

文系第3問&理系第4問:3次関数、領域図示、解の配置

文系第2問と、理系第2問が似てるけど似てない問題だったのに対し、文系第3問と理系第4問は非常に似てる問題。
文系は(1)がありますが、理系は小問構成になっておらず、いきなり結論を求めさせます。
といっても、解いてみると分かりますが、文系の(1)が直接的な誘導になっておらず、逆に混乱しそうなフリになってしまってますね。
さて、問題の難易度としては、標準的でしょうか。文系にしては(1)は取れても、(2)は難しく感じる人の方が多いような気がします。
理系なら、取りたい問題でしょうね。
しかし、いわゆる解の配置の問題とは少し毛色が違う問題。
そうそう、今回の東大入試、文系も理系も領域図示の問題が3問ずつ出てるんですよね。
多過ぎ!!
しかし、これまで頻出だった2次関数の解の配置を利用した領域図示ではなく、変化球を投げてきているような気がします。
今後はこういう領域図示の問題がトレンドになるのでしょうか。非常に注目すべきでしょう。

文系第4問:ベクトル、領域図示、面積、1文字固定

文系最後の問題も、領域図示の問題(とその面積を求める問題)でした。
さっきも書きましたが、解の配置を利用した領域図示の問題ではなく、「変化球」の問題のような気がします。
しかし、実は去年も同じような問題がでていたんですよね。
それがこの問題。
どうですか?そっくりでしょう。
受験生にたいして
「ちゃんと過去問を解いてるか?」
というメッセージともとれるくらい似ています。
ベクトルを利用する、領域を図示する、面積を求めるというところまで同じです。
去年の問題の方が、ややベクトルを使う発想が得にくく難しい印象もありますが、今年の問題は複数の文字が登場して固定するところが難しいでしょうか。
ということで、昨年と同じ難易度くらいなのかなぁと思います。

理系第3問:ベクトル、領域の面積、極限

そして、文系第4問に似ているのが、理系第3問。
登場する関数や、文字などは同じなのですが、結論が違う。
ベクトルの係数にkが登場して、文字の数が増えていることと、面積計算させたあとに(しかも文字式で)極限を取らせるという問題。
まあ、文系と比べて、かなり難易度がアップしてますね。
面積をkの式で出すので、kを定数と見なし、動点pや動点qに使った文字を動かして様子を探るのが王道。
しかし、文字がおおくてややこしい計算が続きます。
S(k)自体が求められれば、極限をとるのは難しくないのでしょうが、そこまで辿り着くかどうかが問題。
頭が混乱する問題です。

理系第5問:複素数平面

やはり出題されましたね、複素数平面。
一度指導要綱から削除され、最近復活した単元ですが、その昔も頻出単元でした。
また、複素数平面はどうしても難易度が上がりがちです。
座標平面に対して、図形の概念を持ち出すと、条件が複雑になり易く、処理が面倒だからです。
今回も、複素数として線対称や接線の方程式を求めると、やや面倒で、xy平面に変換して考えるとやりやすい問題でした。
xy平面なら、単位円や、その接線の公式は簡単ですからね。
(2)でも同様。
複雑すぎるわけではないですが、正確に計算したり、軌跡を求めて、範囲の限定する条件を正確に求めるのは大変。
やや難しいと感じた方が多いかもしれません。

理系第6問:空間図形、体積

これも、東大では定番の空間図形。
今年は、領域図示の問題が多すぎるのが変なところですが、それ以外は東大らしい問題のラインナップが続いたような気がします。
問題の設定自体は、やや複雑。
3種類の通過領域があり、その共通部分の体積を求めたり、残り一つが含まれる条件を求めたりと、手間がかかる問題です。
小問も4つ構成ですし、時間がかかるのは必至でしょう。
積分は計算が面倒になりがちでしょうし、第6問ですし、受験生はなかなか手が付かなかったのではないかと思います。

2018年東大入試(数学)、難化か易化か?

ということで、明日からは1問ずつ解説をしていきます。
世間では、難化か易化かが話題になっていますね。
文系は易しくなったが、理系は難化したという意見が多いように思いますが、その意見も分かります。
しかし、今回は非常に特徴のある問題構成でした。
何度も書いていますが、
・領域図示ばかりが出題されたこと。
・その領域図示の問題が、少し変化球だったこと。
・小問が設定されている問題が少ないこと。(理系)
などなど。
領域図示の問題が出ると、どうしても高得点が取り辛くなってしまいます。
問題自体が簡単だったとしても、図示をする時点で減点対象のポイントがたくさん生じてしまうからです。(軸の書き忘れ、点の書き忘れ、境界を含むかどうかの書き忘れなど)
ということを踏まえて、意外に高得点が来ない可能性もあるのではないかと睨んでいます。
もちろん、ふたを開けてみないと分からないんですけどね。
ということで、明日からの1問ずつの解説をお楽しみに。

 

 

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第2回:「同じ」点を探せば、帰納法や演繹法が理解出来る

第3回:結果を出す人は、なぜ計画好きなのか?

第4回:論理思考を身につければ、東大合格も夢じゃない

 

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2018年 東大文系数学 得点の作戦(戦略とは?各設問で考えること)

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戦略と作戦と戦術と大戦略

気付いてみれば、最近めっきり戦略っぽいことを書いていませんでした。
細かく言えば、これまで書いてきた、東大入試解説でも少し戦略っぽいことを書いていたんですけど、でもちょっとだけ。
「戦略」という言葉が流行ってまして、濫用されています。
狙って目標を達成するような思考法のことを「戦略」と表現しているような気がしますが、決してそれだけではありません。
例えば、世間で言われている、目標を立て、計画を立案し、実行して結果を出すようなタイプのものは、戦略学では「順次戦略」と言われるものであって、それ以外の戦略もある。(累積戦略)
年末に発売されました『論理アタマのつくり方』(ダイヤモンド社)のメインテーマである「論理」なんかは定義のない用語ですから、誰でも好きなように語って良いのですけど、「戦略」はそうではありません。
「戦略」「戦術」「作戦」はそれぞれ違う概念ですし、「大戦略」なんて言葉もあります。それぞれ違いを説明出来ますでしょうか?
一見受験から遠いようで、実は受験に直結するのが戦略の考え方です。
東大入試では、一語一語の持つ意味合いに非常にこだわって考える必要があります。何となく文章を読んでいる人は、まず「読解力」を鍛えることをオススメします。
戦略も、読解力も、成績の上げ方も分からない!!
と言う方は、幣塾の門をたたくことをオススメします。

2018年東大文系数学の攻略作戦

と、前置きは長くなりましたが、2018年の東大文系数学の作戦に行きましょう。
拙ブログでは、各科目の攻略する道筋のことを「作戦」と呼んでいます。(戦術だと小さすぎて、戦略だと大げさでしょう。)
100分の試験時間で、どのような時間を使い、どのような頭を使い、どこまで攻めていくのか。
そういう事を考えなければ、攻略が遠くなります。
極端なことを言えば、試験開始5分は1文字も書かず、解答用紙は白紙のままにするくらいで丁度よいです。
では、4問を改めて、眺めて下さい。
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法がある
入試の攻略作戦に関して、最も大切な考え方は「どの問題に手を出し、どの問題に手を出さないか」です。
普段、授業では一つ一つの問題に対して、満点解答を作る訓練ばかり受けると思いますが、入試の受験中には逆の考え方、すなわち「どの問題を解かないか」が必要になります。
この時、最も警戒すべき問題は「時間をかければ解けそうな問題」。
取り組み始めて「あっ解けそうだ」となったら、そのまま解き進める人がほとんどでしょうが、ワナです。
解けば解くほど時間が経つ。
このとき、あなたの頭の中には「もっと優先すべき問題がある」とは思わなくなっています。
時間をかけずに解ける問題を全て置き終えてから、時間がかかる問題に取り組む、という意識だけでもかなり得点が違います。
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法があるのです。
第1問を初見で考えること
そんなことを考えながら、4問を見てみましょう。

まず第1問

(1)を解くにあたっての思考法を例示しましょう。
「直線lと直線mの方程式は簡単に求められそうだ。低いかもしれないけど、部分点がもらえそう。
さらに、点Aと直線lやmまでの距離だから、点と直線の距離の公式を使えば、LとMも求められそう。
√L+√Mを見て、√の意味が分からないけど、立式まではいけそうだ。
最小値を求めるのも、グラフが描ければ出来そうだから、総合的に見て優先的に解く問題だろうな。」
ここまで冷静に読めれば大したものです。と言っても、訓練すれば簡単に出来ます。
もし、「こんなに先読み出来ないよ」と思ったら、これまでそういう指導を受けてこなかっただけです。
(2)に関しては、
「領域Dの図示は簡単。しかし、Dの全ての(x、y)に対し、不等式が成り立つ条件とは・・・?」
と、一瞬で方針が変換できない可能性があります。
解説記事を読めば分かるように、これは領域が含む、含まれるの関係にすれば良い問題です。領域Dが、不等式の領域にスッポリ含まれれば良いのですが、それが思いつけば手を出しても良いし、思いつかなければ後回しにする問題でしょう。
ということで、実力によって優先順位が変わると言って良いと思います。
第2問を初見で考えること

次に第2問です。

(1)は超簡単。
「なんだこりゃ。計算すりゃ出るじゃん。」
と思えたら、及第点・・・?受験生平均くらいでしょうか。
確実に合格を狙うなら
「どう、(2)や(3)につながるのかな?」
とか、
「どう一般化するのかな?」
などと感がられるようになりたいところ。
東大に限らず、受験数学では具体的な数字を調べるもは、一般化へのステップだからです。
(2)を見ても
「ふむふむ。これも計算すれば解けるか。コンビネーションと階乗が面倒だけど、計算すれば出来るから、早めに手を付けて良い問題だろう。但し、計算が面倒だろうから、少し時間がかかるな。(3)も解けそうなら、時間をかけても解くべきだろうな」
といったところでしょうか。
(3)まで芋づる式に得点がもらえるなら、時間をかける価値が断然増します。
では、その(3)はどうでしょうか?
「数列が整数になる条件?聞いたことないな・・・。」
と思うのが普通でしょう。
ここで、(1)と(2)が登場。何か気付かないでしょうか?
ポイントになるのは、(2)の式ですね。
an/an-1を見て、「あ、あれだ!!」と思いつけば答えはもうすぐ。
反復試行の最大最小問題を解きこなしているかが、分かれ目でした。(詳しくは、解説記事をご覧ください。)
第3問を初見で考えること

では第3問

(1)が非常に簡単。
3次関数が単調に増加する条件なんて、死ぬほど解いている受験生も少なくないはず。
微分して正になれば良いです。微分したら、2次関数になりますから、x≧1で常に正になる条件です。あぁ簡単。
ということで(1)はもらいだな、と判断すればOK
問題は(2)です。
「条件1の、3実数解を持つ条件は簡単。極大値と極小値の間にbがあればよいんでしょ?条件2はなんだ?真ん中の実数解が1より大きいって、どういうことだ?」
となると思います。
分かってしまえば簡単なのですが、ここで分かれ目でしょう。
いわゆる「解の配置」の問題なのですが、解法がすぐにわかれば真っ先に手を付ける問題ですが、わからなければ後回し。
あとで戻ってきたい問題ではあります。
第4問を初見で考えること

さいご、第4問

「2次関数があって、範囲が限定されてる。そして、ベクトルの動く領域か。ちょっと変わってるな。」
というのが、初見の感想でしょう。
こういう時には、言葉に注目するのが大切です。
最終的に求めたいのは、点Qの「軌跡」です。
軌跡の問題では、求めたい点の座標を(x、y)とおき、パラメータで表現していくのが鉄則です。
しかも今回は、点Pと連動して動く「連動型」の軌跡。解説記事には書きましたが、割とよく見る例題と同じです。(ベクトルで書かれているので難しく見えますが)
ということで、初見では面食らうけど、取り組んでみると教科書基本問題のレベルという、「東大らしい」問題でした。
(2)は、難しいですね。
点Pが動きつつ、点Rも動く。それで、点Qの軌跡を追います。
これは、ややこしい。
こういう場合、動く物を片方固定し、もう片方だけ動かすのが鉄則なのですが、知らないと解けないでしょう。
ということで、これも合否を分かつ問題。
点Rを固定して考え、最後に動かすとキレイに問題が解けます。
知らなければ、他の問題を先に解くことをオススメします。

難易度や作戦の案

こんなことを考えながら、4問に手を付けていきましょう。
作戦の概念を持たずに取り組むと、
「東大模試でずっと1位を取り続けても、本番で第1問から解き始めて不合格になる」なんてことが起きても不思議ではありません。
私の主観ではありますが、各問題の難易度と、希望得点コース別のお勧め配分です。
2018年は、どの問題も難しすぎず、難易度に差がないため、あまり凹凸がなくて面白くないですね。
60点コースを設置しても面白かったかも(笑)
受験数学の業界では、一問ずつの解説はするけど、一年分の問題を並べて解説することがほとんどありません。だから、まだまだ未熟な業界だと思っています。
確かに、1問ずつ解説して、難しい問題が解けるようになったら、先生も教えた気になりますし、生徒も出来るようになった気がします。しかし、本番で通用するかどうかは別問題。
一問ずつしっかり解説を聞いた上で、取捨選択する力も同時に養うことを強くオススメします。

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第1問を初見で考えること
そんなことを考えながら、6問全体を見てみましょう。

まず第1問

この問題は、解説記事にも書きましたが、カンタンなのであまり書く事はないんですが、一応。
「増減表を書いて、極限を二つ調べれば良いって、何コレ!?
えっ、こんなに簡単で良いの?
与えられた関数は、sinとcosとxが混ざってるな。と言う事は、f’(x)=0が必ず解けるとは限らない。もしかしたら2回微分もあり得るだろう。でも、増減表を書くなら、何度か微分すれば出来るだろう。よほど変な計算が出ない限り、20点もらう問題だろう。」
実際は、導関数で、xとsinxの大小比較をする必要が出てきます。知ってれば簡単、知らなければ(不勉強だけど)微分して証明が必要です。しかし、いずれにしろ、難しくはない。
東大理系に関しては、異例な簡単さなので、初っ端から手を出して良い問題でしょう。
第2問を初見で考えること

次に第2問です。

「数列があるけど、コンビネーションと階乗の比か。あまり見た事はないな。
(1)では、anとan-1を既約分数で表すときの分母と分子か。分母も分子も、たくさん約分すれば、出来そうだ。
既約分数ってことは
分母と分子が互いに素になるんだけど、これはどうだろう。簡単か、難しいか、計算してみないと難しいな。」
(1)はこんなところでしょうか。
実際は、分母と分子を互いに素である証明をするのが、やや難しいのですが、既約分数の条件にご注意を。
(2)では、
「整数となるnを全て求めよか。(1)をどう使ったものだろう。分母が消える時を考えるんだろうか・・・?」
既約分数の条件から、分母と分子は互いに素です。ということは、分母が消えるには分母が1にならなければならないような気がしますが、こんな路線で考えても答えが出ます。
解説記事では、文系の問題のように解いていますが、解答を思いつくのはヤヤ難しいような気がします。
初見で、パット見で解法を思いつく人は多くないでしょうから、一旦飛ばして良いでしょう。
第3問を初見で考えること

では第3問

図形が絡む問題ですから、(キレイでなくて良いので)図示
点Pや点Qをパラメータで表すと、文字定数が3個も登場することに気付きます。
ここで、一旦手が止まるでしょう。
「???えーと、点Pが動いて、点Qも動く。そしてkも動かさなきゃいけない。どうやって領域を書けば良いんだ??」
ここで他の問題に移る人も正解ですし、もう少し方針を考えてから飛ばすのでも正解。
求める面積がS(k)ですから、kを固定して、他のパラメータを動かすことに気付ければ筆が進むのですが、難しければ
ストップで。
第4問を初見で考えること

第4問

これは、筆を薦めたくなる問題。何せ、条件がシンプルです。
「条件1では、3次関数があって、y=bと3点で交われば良いのね。これは、bが極大値と極小値の間にあれば良いな。
条件2は、真ん中の解が1より大きいのね。ということは、bの場所を上手く調節すれば良いから・・・。」
と、早い人は問題文を見てるだけで、答案の最後までイメージ出来るでしょう。
もちろん、そうなったら第1問と同様、即20点を取りにいく問題。
第5問を初見で考えること

第5問

第5問は複素数。
複素数平面という時点で、難しくて敬遠する人も多いでしょう。
解説記事にも書きましたが、複素数平面は便利すぎて解法が分岐し過ぎます。
「点Pが円の上にあって、接線を引くと。そして点Aを対象移動か。式はすぐに分からなくても、zを色々変換していけば、何とか出来そうかな。」
というくらいに思えれば及第点。
実際は、円の接線の方程式を複素数平面で表すと言うより、図示しながら柔軟に考えて複素数表示する問題。
間違えなければキレイな答えが出るというのも嬉しい設定。
(2)でも、基本を積み重ねる姿勢は踏襲。
「zの実部が1/2以下だから、cosθ≦1/2で、θの範囲が出るな。
求めるのはwの軌跡だから、(1)の最後の結果を使いながら、wを表現するんだろう。」
w=x+yiとおくと解ける問題でしたが、置かなくても軌跡が求められるパターンもあるので、複素数平面は厄介。
いずれにしろ、優先順位は低めで、余った時間で考えるのが得策ではないでしょうか?
第6問を初見で考えること

第6問

東大が大好きな空間図形。
これも図形の問題なので、適当に図示しながら頭を使う。
「球が3部分を転がる問題ね。共通部分の体積を求めるってことは、平面で切断し、切断面のカタチを考えるだろうな。
(1)は交わるtの範囲を求めて図示ね。これはy=tを代入しながら、図を描く問題だろう。方針は分かるから後は丁寧に図を描けば出来る!?
(2)は、V2がV1かつV3を含む問題か。(1)の最後に描いた図を使ってV2を登場させれば出来そうだ。
(3)は、なんだこりゃ。V1がSで、V1かつV2がTで、それしか定義されてないのか。うーん、これは見た事ないな。
(4)は、明らかに(3)の誘導問題か。これはやってみないと解けないかなぁ。
あと、小問が多いから、時間をかけて解いた割に、点数のバックが少ないな。(1)は多く見ても配点は5点だろうから、あまり深入りしても得点は伸びないし、適当な所で切り上げるかなぁ。」
と言った感じ。
ここまで冷静に読めれば、すごいものです
問題としてはすごく面白いんですが、入試として出てきたらイヤな問題ですね。
優先順位は低めで良いのではないでしょうか?

難易度や作戦の案

こんなことを考えながら、6問に手を付けていきましょう。
作戦の概念を持たずに取り組むと、
「東大模試でずっと1位を取り続けても、本番で第1問から解き始めて不合格になる」
なんてことが起きても不思議ではありません。
私の主観ではありますが、各問題の難易度と、希望得点コース別のお勧め配分です。
とにかく、第1問と第4問でどれだけ得点を稼げるかがポイント。
50点コースでも得点を散らしてみましたが、第1問と第4問でほとんど得点を取り、他は0点近くでも50点になりますからね。これもアリ。
受験数学の業界では、一問ずつの解説はするけど、一年分の問題を並べて解説することがほとんどありません。だから、まだまだ未熟な業界だと思っています。
確かに、1問ずつ解説して、難しい問題が解けるようになったら、先生も教えた気になりますし、生徒も出来るようになった気がします。しかし、本番で通用するかどうかは別問題。
一問ずつしっかり解説を聞いた上で、取捨選択する力も同時に養うことを強くオススメします。
明日は合格発表
明日は合格発表ですね。
僕も、ドキドキしながら発表を待ったことを思い出します。
ネットで見る方と、掲示板で見る方、両方いるかと思いますが、どうぞ良い結果が待ってますように。
僕も正午前くらいを目安に本郷キャンパスに行きますので、見かけたら「お、いるな」と思って下さい(笑)
声かけてくれても大丈夫です。

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2018年東大数学(文)第4問 1文字も書かずに勝利を確信できるようになる

 

数学を解くときのコツ

数学で、いきなり解き始めるのはアウト

久しぶりに、受験の内容を。

うちの塾の看板でもある、「東大文系受験者のためだけの数学講座」ですが、ちょっとだけ内容を公開しましょう。

 

こんなことをやっています。

 

 

文系受験者にとって、数学は悩みの種。

難しい年では20~30点ほど、ここ3年の簡単な年でも40点ほどが当落ラインになることが多いそう。

他科目が6割以上の得点を目指すのが普通なのに対して、数学は点数の取り辛い科目の証拠です。

逆に、数学でぶっちぎれると、合格がグッと近づくとも言える。

 

だからこそ、数学のノウハウを頭に叩き込むのが良いのですが、ここでポイントを一つ。

 

「問題演習と解法の暗記だけでは、絶対に到達できない領域がある。そしてそれは、意外にも近くにある。」

 

どの問題集を解くか、どの先生の解説を聞くかばかりが気になっているうちは、弱者の戦い方しかできません。

入試問題の問題文を見るだけで、これくらいは情報を読み取れなければ、上から目線で東大数学を見ることはできない。

 

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2019年 東大数学 理系第6問(2) (解と係数の関係、複素数平面の3方針)

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2019年 東大数学 理系第6問(2)

昨日の(1)の解説に引き続き、(2)に行きましょう

解と係数の関係を使おう!

(2)は、bとaの関係式を求める問題。
これは、解法の方針が立てやすいかと思います。
なぜなら、
・(1)で4つの解の情報が絞り込めている(実数解2つ、共役な虚数解2つ)
・aやbは、4次方程式の係数
ということから、解と係数の関係を使うというのは、発想としては自然。
早速、解と係数の関係を立式してみましょう

教科書の範囲外のことは、証明が必要なのか?

しかし、ここで問題が一つ。
4次の解と係数の関係の式って、そもそもご存じでしょうか?恐らくほとんどの受験生が、立式したことがないのでは?
よく受験数学界では、
「教科書に載っていないものは、証明なしで使ってはならない」
と言われていますが、これ、出典はどこの誰からなのでしょうか?「ウワサ」以上の説得力を持った説明を聞いたことがないのですが。
「ウワサ」でなければ「常識」でもなんでもよいです。つまり明確に大学側で減点をしているという明確な証拠がないという意味です。
そもそも、教科書に載っていないような高度な定理なんかを、証明して答えを導いている模範解答すら、見たことがないのですが。マボロシ~。
例えば、こちらのYahoo!知恵袋のページを見ても、アンサーは良いことを言っていると思うものの、明確に証拠が出されていません。
僕も生徒の頃はどこかの先生にそう習いましたが、そういう「ウワサ」ばかりではっきりとした証拠が見つかりませんでした。
では、今回の問題。
4次の解と係数の関係を使いたいのですが、教科書には2次か3次までしか載ってません。
そもそも教科書にもレベルがあって、2次しか載ってない教科書もあれば、3次も載っているものもあります。
載っていたとしても、3次は「研究」とか「発展」の内容として載っているので、必ず学習する内容ではないページに収められているかもしれませんし。
「数学は答えが明確に出る」ということを言う人もいますが、いやいや出ません。
グレーなことばかりです。

解と係数の関係を求めよう

いずれにしろ、4次の解と係数の関係を証明すればよいんでしょ?
ということで、証明してみましょう。
さて、手元にある、数研出版の教科書では、2次の解と係数の関係の証明が載っています。しかし、「使えない」
なぜかというと、解の公式で実際に解を出して、和と積を求めているからです。
これでは、4次方程式の解の公式を知らないと証明できません。
確かに、解の公式で導き、和と差をとれば分かりやすいですが、一般的ではありません。普通は、恒等式で証明します。
同じ数研出版の教科書でも、なぜか3次は恒等式で証明してました。(発展内容ですが)
これを応用して4次の解と係数の関係を証明すればよし。これで安心ですね。
(僕の手書きの解答では、超簡単に証明っぽいことを書いておきました。)
ちょっと思ったんですけど、「証明せよ派」の方々は、解答欄のスペースについては、どのように言及しているのでしょうか?
東大の解答用紙は、第3問と第6問だけ2倍のスペースが与えられているので、広々と書けるのですが、もしや、証明スペースまで見越して第6問に設置されている!?

場合分けと「一般性を失わない」

長々と「解と係数の関係」について書いてしまったので、後半はテンポよくすすみましょう。
(1)で「実数解2つ、共役な虚数解2つ」と証明できたので、これを使います。
そして、条件3を眺めると、
(ⅰ)αとβが実数で、γとδが共役な虚数解
(ⅱ)αとγが実数で、βとδが共役な虚数解
の2通りが考えられます。
実際は、他にもパターンがありますが、結局上の2つと同じ条件に集約されてしまうので、上の2つだけでよくなります。このような時に記述で「一般性を失わない」と書くと便利ですね。

(ⅰ)はすぐに棄却、(ⅱ)で進める

さて、場合分けしたところで、解答を進めます。
この解答を作る前に、河合塾と東進の解説を読んでみたんですけど、かなり読みにくく、分かりづらい。
答えが分かってる僕でも、読み取るのにストレスを感じるくらいなので、分かりやすくまとめなおしました。
(ⅰ)を知れべ手見ると、条件3と照らし合わせて、すぐに棄却されます。
(実数)=(虚数)という、あり得ない等式が出るからです。

複素数の3方針を思い出そう

ということで、(ⅱ)に全ての可能性を込めて解答を進めます。
しかし(ⅰ)のように、すぐに解答が進むわけではありません。試行錯誤して上手くいかない方法をいくつか試すことでしょう。
このような場合、思い出すのがコレ。
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
複素数平面の3方針です。
今回は、②の直交座標形にするとうまくいきます。(③極形式 が適切でなさそうなのは、何となくお分かりでしょうか?)
やはり条件3に代入して進めると、見事、筆が進みそうな等式が出てきます。
これで、場合分けをして解答を進めると、見事答えが導けます。
では、最後までどうぞ。
では、明日は(3)の解説です。長いなぁ。
(これ、実際の入試では解答用紙に書き切れるのか??)

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2019年 東大数学 理系第6問(1) (第1手をどうするか?。有名事実を覚えよう)

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2019年 東大数学 理系第6問

では、2019年最後の問題
頻出の複素数平面です。
しかし、見たことのない条件がたくさん!これは難しい問題でした。
さて、第1手として、あなたはどうする?

条件や方針の整理

まず、与えられた情報を整理してみましょう。
 
条件1:α、β、γ、δは全て違う複素数
条件2:その4つが解となる、4次方程式
条件3:αβ+γδは純虚数
の3つです。
 
そして、複素数平面では、必ず3通りの方針が存在します。
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
 
これらをもとに、式をいじっていくということですね。
 
そして、証明したことは
「α、β、γ、δのうち2つが実数で、残りの2つは共役な複素数である」
ということ。

第1手の付け方

さて、この問題、何が難しいって、第1手の付け方です。
すぐに正解の方針が思い付いたとしたら、偶然かヒラメキでしょう。あまり類題がない問題です。
 
先ほどまとめた情報の中で、特に情報量が多い、というか厳しい条件は「条件3:αβ+γδは純虚数」でしょう。これを中心に問題を解いていくのでしょうが、純虚数の条件ではイマイチ方針が不明。
 
例えば、純虚数に関する条件としては「共役なもの同士を足して0」というものがありますが、αβ+γδを共役にしたものを作って和を取ったところで、新たな複素数が4つ生まれてしまい、困ってしまいます。
 
こんなことを考えていると、方針が立たなくて時間が刻々と過ぎてしまう。
ということで、あまり長く考えているヒマもないですから、飛ばして別に行っても良い問題だと思います。

とりあえず、共役な解を持つ事実を指摘してみる

大きな方針が立たないということで、まずは必ず使いそうな事実から始めてみましょう。
実数係数の方程式の場合、共役な複素数の両方が解になる」というものです。
 
ちょっとだけ注意しておくと、実数係数に限った話です。複素数係数では成り立たないのでご注意を。

3つの可能性しか残されない

すると、共役な複素数解が2個セットで同時に出てくることになるので、虚数解が1個しかない」とか「虚数解が3個」の可能性はないのです。
これで少しだけ話が進んで
(A)実数解が4つ
(B)実数解が2つと、共役な虚数解が2つ
(C)共役な虚数解のセットが2つ
という3つの場合しか考えられないことになります。
 
この中で、証明したいのは(B)のパターンになることで、必ずこの3つのうちどれかが成立するので、
(A)と(C)の可能性を排除すれば、残った(B)の可能性のみが残されて(1)が解けることになります。
 
と、読んだり聞いたりすれば簡単そうに聞こえますが、ここまで発想するのも結構難しいと思います。
やはり、150分の試験時間の中で、前半で取り掛かる問題ではない気がしますねぇ。
 
では、(1)の解答をどうぞ
 
先ほどの解答の方針に気付いてしまえば、あとはスムーズに筆が進みます。
ポイントは最も厳しい「条件3:αβ+γδは純虚数」から手を付けることでしょう。
もし上手くいかなくても、複素数平面の3つの方針
①複素数のままで突き進む
②x+yiの形にする(直交座標の形)
③極形式にする
のうち、②や③を利用して解こうとするのも良いでしょう。
 
では、長くなったので(2)と(3)は次の記事へ

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2019年 東大数学 理系第5問(微分、解の配置、不等式の証明、極限、ハサミウチ、微分の定義)

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2019年 東大数学 理系第5問

今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題(笑)
極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。
では、解説していきましょう。

微分しても解を持つ条件がうまくいかない

では、(1)から見ていきましょう。
よくある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。
なければ、中間値の定理で、yが負になるxの値と、yが正になるxの値を求めれば終わりなのになぁ。
「ただ一つの」と言われているので、仕方なく微分して増減表を描く路線に行きます。
いつものように、(左辺)-(右辺)をf(x)とおいて、微分します。
しかし、x≦0の様子がいまいちわからないのです。
(x≧0では、単調増加になるのがすぐにわかります。)
「あれ?どうしよう、x≦0の範囲をどうやって調べればよいかわからないぞ」
ということで、もう一回微分しても、中々うまくいかない。
ここで困ってストップした人が多かったでしょう。

工夫をしてみよう

そんなときは、別の工夫が必要です。
そこでご紹介するのが、元々のグラフのイメージをすること。
つまり、y=cosxと、y=x^2n-1のグラフをイメージします。
と言いつつ、本当はグラフのイメージは、どんな問題でも必ず行うことなんですけどね。微分したり、差をとったりと、ちょっとでも変形したら必ずイメージをするのが標準です。
さて、この2つのグラフをイメージする(描いてみる)とこうなります。
すると、確かに解(交点)は、0≦x≦1に1つしかないだろうというのが分かります。
これを利用して、解の配置条件を絞っていきます。

不等式で挟もう

さて、グラフを利用しながら、上手く解の存在条件を考えていきます。
今回は、皆さんでも理解しやすく、発想しやすいように、cosの値域から絞ってみました。
こんな感じです。
簡単にまとめると、
・-1≦x≦0の時は逆符号になる
・0≦xの時にはf(x)が単調増加
という二つを利用して、解が一つしかないことを示しています。

(2)は瞬殺!!

サービス問題。かなり簡単です。
「cosan>cos1を示せ」とありますが、0≦x≦π/2の範囲でcosは単調減少関数ですから、an<1を示すのと同値です。
でも、これって(1)で既に示しています。ということで瞬殺。
これは問題というより、(3)の誘導として設定された問題でしょう。

(3)良問!!よく復習しよう!

では、最後の(3)。これが極限の問題として、非常に良い問題です。
このように、別種の関数の交点に関して、極限を求めさせる問題は良いですね。実力差が出る問題です。
あまり見たことがないという方は、勉強不足を恥じましょう。確かに教科書傍用の問題集には載ってないかもしれませんが、模試や入試としては頻出です。
慣れていれば、ちょっと手を動かしていくだけで解けると思いますので、よく復習してください。

anの極限は、いつも通りの流れで簡単♪

では、解説です。
まずはanの極限ですが、そのまま極限値を求めようとしても求められません。
このパターンの問題で、よくある解法としては、
①元々与えられている方程式に代入して、anに関する関係式を得る
②不等式で閉じて、ハサミウチの原理を利用する
の2STEPでしょう。
今回もこの流れに漏れず、そのまま計算できます。
ほら、知ってれば簡単でしょう。いつもこの流れなので、よく覚えてくださいね。

bnの極限はもっと簡単♪♪

では、bnの極限ですが、これはanよりもっと簡単♪
先ほど作った不等号の直前の式を、両辺n乗すれば終わりだからです。
ということで、こちら。
cの極限
では、最後にcの極限です。
aの値とbの値は求められているので、そのまま代入してしまいましょう。
すると、分母と分子に差の形が現れましたね。
ここでビビっと反応できなければ、東大受験生としてはNG。これまた典型的な形が登場しました。
ズバリ、「平均値の定理」や「微分の定義」を利用して極限を求める形です。
厳密にいえば、分母は差の形になっていなくても、分子が差の形になっていれば、反応しなければならないパターンですね。
解き方としても、スタンダードです。
分母がanー1となっていますから、分子も似たような形になってほしいところ。
そこで、分子がg(an)-g(1)となるような関数g(x)を探します。
bnの極限を求めるところを参考に、g(x)の正体を探せば、答えはもうすぐ。微分して1を代入したら答えです。
ということで、手書きの解答をどうぞ。
それにしても、先生としては教え甲斐のある一問ですねぇ。授業でぜひとも扱いたい問題。
生徒としても、ぜひ習得したい問題。
教育的な価値の高い良問だと思いますので、ぜひマスターして下さい。

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2019年東大数学文系第4問(ベクトル、領域図示、1文字固定)

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2019年 東大数学 文系第4問

なんと、3連続でベクトルの領域図示の問題が出ました!これは驚き。

これまで入試では、それほど頻出で扱われなかったタイプの問題でしたので、今後、問題集などで例題や類題が増えるでしょう。

 

では、詳しくみていきます。

有名な図形の図示

まずは、領域D、つまり |x|+|y|≦1の領域図示ですが、これは即答したい問題。超有名な領域です。

 

ちゃんと書こうとすると、xの正負と、yの正負によって4つの場合分けをすればよいでしょう。

但し、僕の解答では、xとyに関して偶関数になっていることを利用して簡潔に書きました。

このように、ダイヤモンド型になるのです。

これは、解けないとマズイ問題。さっさと書いて、次に行きましょう。

動点が2つあるときは、1つ固定

次に、領域Eの図示に入ります。

点Pと点Qが領域Dを動き、OPベクトルとOQベクトルの差を取ったベクトルの通過領域を求める問題です。

 

さて、この問題のややこしいのは、点Pと点Qが動くところです。つまり動点が2個あるというところ。

このような問題が登場したら、鉄則があります。

「動点が2つあったら、1つを固定せよ!」

 

これは、数学において、非常によく使う技法です。

2変数関数も、1つ固定

ちょっと脱線して、同じように2つ動くものがあった時に、1つを固定して考える典型問題をご紹介しましょう。

恐らく、多くの高校生にとって、初めて登場するのがこのタイプの問題でしょう。

 

(青チャートⅠAより)

 

xとyの両方が変数の時、はじめどちらかを定数とみなして1変数関数と見ながら最大値(最小値)を求め、固定した文字を変数に戻して最大値(最小値)を求めます。

 

2つ動くものがあったら、1つ固定。

しっかり覚えておきましょう。

領域Eを描いてみる。

ということで、点Pと点Qのどちらかを固定して領域を考えてみましょう。

分かりやすい方を選び、点Qを固定してみました。

 

すると、上の図のように、点Qを領域Dにおいての原点とみなしたような、ダイヤモンド型の領域が描けます。

固定した点を動かす

さて、この次は、先ほど固定した点Qを動かします。

つまり、ダイヤモンドの中心(点Q)を、ダイヤモンド(領域D)の形に動かすのです。

すると、このような形になり、領域Eの完成です。

 

 

(2)は記述が難しい!

さて、次は(2)の問題ですが、これは簡単ともいえるし、難しいともいえる、珍しいタイプの問題。

予備校の判定では簡単な問題に判定されるかもしれませんが、僕は結構難しいと思います。

 

では何が難しいかというと、「記述するのが難しい」のです。

東大では、現代文や古文、漢文などを中心に、「何となく頭では分かっているけど、言語化しようとすると難しい」という問題が出ますよね。

 

この数学の問題も、同様。

言われてみれば、(1)と同じ領域になりそうだけど、どうやって記述して証明すればよいかわからない、という問題です。

具体的にして、記述する

このような場合、どうするかというと、一定の方法論があります。

具体的にして証明するのです。

 

今回は、点A(a、b)とおき、OSベクトルと、OTベクトルを表現します。

すると、OUベクトルが自然と、(1)と同じように表現できて終わり。

 

言われてみれば簡単だけど、自分で書こうとすると困ってしまう問題ですね。

では、手書きの解答です。

 

 

はじめのダイヤモンド型の領域までで終わってしまった受験生も多かったような気がしますが、数学の基本的な考え方はあまり多くありません。

基礎の積み重ねで、応用問題が解けます。ぜひ、直感ではなく、方法論に基づいた勉強を続けてください。

 

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2019年東大数学理系第4問(整数、最大公約数、ユークリッドの互除法)

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2019年 東大数学 理系第4問

では、今日は理系第4問です。

(1)は東大らしく、ユークリッドの互除法

(1)から早速、東大らしさが全開の問題です。

大好物の「最大公約数」の問題。当然「ユークリッドの互除法」を使います。

 

「当然」と書きましたが、「え?そうなの?」という人のために少し書いておくと、新課程になり「ユークリッドの互除法」が指導範囲内になった瞬間から、東大では超頻出問題になりました。

過去問を参照すればわかります。

 

キーワード「最大公約数」から連想しよう

また、「最大公約数」というのも、超キーワード。

最大公約数に関連する問題は、主に2パターンしかありません。

一つ目は「ユークリッドの互除法」を利用するパターン。

 

もう一つは、最大公約数をg、最小公倍数をlを置き、4式1条件を作るパターンです。

具体的には、aとbの2整数に対して

・a=a’g (式①)

・b=b’g (式②)

・l=a’b’g (式③)

・ab=gl (式④)

・a’とb’は互いに素 (条件①)

という、4式と1条件です。

これを色々いじって求めるパターンもあります。

 

ただし、東大で「最大公約数」が登場したら、まず「ユークリッドの互除法」を疑ってよいでしょう。それくらい偏って頻出です。

(1)は瞬殺!

では、(1)に互除法を利用してみましょう。

すると、簡単にn^2+1と、4の最大公約数を考えればよいことが分かります。

 

4には約数が1と2と4しかないので、ここで3択です。

また、素因数が2だけですから、2の剰余類で場合分けするのも自然な発想。

ということで、偶数(2の倍数)と奇数(2の倍数でない)で場合分けをすると答えです。

とても自然な流れで答えが出ました。

 

(2)平方数の処理

次は(2)

さっき、最大公約数を求めた2数が、掛け算されていますね。そして、全体が整数の2乗にならないことを示せというもの。

ここで登場した、「整数の2乗で表せる数」のことを「平方数」と言います。

 

さて、2つの数の積が平方数になためには、どのような条件が必要でしょうか。

教科書や、参考書ではあまり類題を見たことがないでしょうから、受験生にとっては難しかったと思います。

ここでは、

補題「互いに素なxとyについて、xyが平方数⇔xとyがともに平方数」

という性質を使って解説しようと思います。

偶数の場合

(1)の結論として、偶数と奇数で場合分けをしたので、(2)でも場合分けをしましょう。(誘導に乗ります)

 

nが偶数の場合、命題①により2数はともに平方数となりますから、

n^2+1も、5n^2+9も平方数となるはずです。

 

しかし、n^2+1は絶対に平方数になりません。

手書きの解答では、ちょっと「ウマイ」方法で解説を書きました。

 

これなら、2行くらいで証明できるので簡単です。但し「ヒラメキ」に頼った解法に見えてしまうかもしれないので、もう一つご紹介します。

 

例えば、n^2+1=k^2(kは整数)とおいて、kが存在しないことを示す、という方針でも良いと思います。

このとき、n<kであり、(nーk)(n+k)=1 と因数分解できます。

しかし、1というのは、1×1か、(-1)×(-1)しか、積の候補がありません。

だから、nーk(小さい数)と、n+k(大きい数)の積が1になることはありません。

よって、このようなkは存在せず、n^2+1は平方数でないことが示せます。

最大公約数だから、4式1条件を作ろう

では、難しそうな奇数の場合。

と言っても、実は基礎の積み重ねで解くことができます。

 

というのも奇数の場合は最大公約数が2となりますが、

先ほども書いた通り最大公約数と言われたら、

①ユークリッドの互除法

②4式1条件を作る

という2方針しかありません。

 

ユークリッドの互除法は先ほど使ってしまったので、今度は4式1条件を作るのです。(手書きの解答では、結果として不要なので2式1条件しか載せていませんが、実際に解答を作る上では立てた方が良いです。)

 

 

ここまでは定石の手段。

そこで、2数の積を取ってみると、結局MとNがともに平方数でなければならなくなります。

 

ここまでは、何も不思議なことは起こっていません。最大公約数と言われたから、最大公約数の条件式を立てただけです。

発想力(難)5の剰余類で矛盾を示す

ここからは、解答が分岐するところ。

正直なことを言えば、理Ⅰや理Ⅱであれば、これ以降は解けなくても良い気がしますが、解説は書きます。

 

恐らくこの時点で式をゴチャゴチャいじて、色々試すのでしょう。

その中には、5n^2+9=2Nにn=2m-1を代入した式も登場すると思いますが、ここに注目してみました。

すると、Nの右辺に係数の10が登場します。

 

これに注目して、5を法とする合同式を取ってみると、Nが平方数でないことが証明できます。

 

発想が難しいので、(2)の前半までしっかり解答を描ければOKでしょう。

 

では、全体の解答です。

 

今回の数学の問題の中では、難しい問題になるのではないかと思います。

但しそれは満点を取る前提での話で、20点中10点を取るのは非常に簡単な問題。(12~13点くらいかも)

この部分点をしっかりとれるかどうかが、運命の分かれ目でしょう。

 

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2019年 東大数学 文系第3問 (確率、多角形グルグル、道順、中学受験で解ける)

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2019年 東大数学 文系第3問

では、今日は文系第3問です。復活した確率の問題。

確率の問題は、設定の読み込みに10分かけても良い

東大の確率だなぁっていう問題。

知らない設定が登場し、読み込んでカラクリを解き明かすのに時間がかかる。

複雑な場合分けが登場し、立式までに時間がかかる。でも計算はそれほど面倒ではない、といったところ。

 

ということで、うちの塾では「確率の問題が出たら、10かけてよいから設定の読み込みをせよ」と教えています。

 

さて、今回のカラクリやいかに!?

(1)は簡単。

(1)は簡単ですね。10回コインを振って、またAに戻ってくるという問題です。

1周するかどうか、1周するとしたら、右回りなのか、左回りなのか、という場合分けになりますが、これは簡単に理解できるでしょう。

これは受験生ならば解けなければならない問題ですね。解説は割愛。手書きの解答をご覧くださいませ。

(2)は場合分けが複雑

次は(2)の問題なのですが、これはかなり複雑です。

T「Fに少なくとも1回立ち寄る」という条件が加わりますが、これを処理するためには、複雑な場合分けが必要です。

 

版時計周りだとしたら、5回目にたどり着くか、7回目にたどり着くか。でも7回目にたどり着くとき、5回目にはFに移動してちゃいけないから・・・。

などと考え始めると、混乱してしまいます。

 

実際は、文系受験者にとって、これはかなり難しかったのではないかと思いますね。恐らく(1)だけ解いて、(2)は0点のような答案が多いのではないだろうかと思います。

ビジュアル化① マス目を作る

予備校の模範解答では、場合分けを駆使して解いているものがありましたが、僕が読んでもあまり意味がわからない解答だったので、分かりやすさを重視して、2つビジュアル化した解答を用意しました。

(といっても、受験生が時間内にこれを思いつくかどうかは、微妙なのですが)

 

一つ目は、下のようなマス目を作って、道順の移動で考える方法です。

 

スタートのAの位置から、①~⑤のどこかの点(F)を通り、⑥~⑧の点(A)に辿りつくという場合分けです。

このようにマス目を作ると、一気に見やすくなりますね。今回は正八角体をグルグルする問題でしたが、多角形をグルグルする問題は良く出ますから、他の場合にも使ってみてください。

※ただし、①~⑤は「初めてFに到達する」という条件の下で場合わけします。

 

これで場合分けができますので、あとは計算して終わりとなります。

ビジュアル化② 中学受験方式

次は、中学受験で習う方式で計算するものです。

普通、このような道順の問題の場合、コンビネーション(nCr)で計算するのが一般的ですが、パスカルの三角形を利用して、足し算を繰り返す方法もあります。

 

まずは、通れない道をすべて消して、通れる道だけを残します。

そして、ある点に対し、一つ前タイミングにいる点の数字を2つ足しながら、ゴールにたどり着くのです。

すると、ゴールへの生き方が206通りになります。

 

あとは、2^10で割って、(1)の答えから引けばOK。

 

ということで手書きの解答をご覧くださいませ。

場合分けが難しいのですが、工夫をすると簡単になるというのも東大っぽい。

多角形グルグル問題は、このマス目の作り方を覚えておくと使えますよ。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(3) (空間図形、平面で切断、射影)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、(1)の解説(2)の解説に引き続き、(3)に行きましょう。

今度はx=0に射影する

(1)と(2)ではy=0に射影しましたが、今度はx=0に射影する問題ですね。座標平面上で(y、z)となっていて、ここから読み取れます。

ということは、(2)の答えを出すときに描いた図が、とても役立ちます。

再掲しましょう。こちら。

ちょっと見づらいですが、①~⑤の5つの交点があり、①と⑤は青色(y=0上で)の交点、②~④は赤色(y=0上にない)交点でした。

この図Aをx=0に射影して、y≧0かつz≧0の部分の図を描けばよいという問題です。

解答を描く際には不要なのですが、分かりやすい解説のために、zy軸全体で図を描いてみました。①~⑤を射影した点を①’~⑤’としています。

 

ほら、確かに八角形でしょう。(本当の断面ではなく、射影後なのですが)

 

このうち、第1象限の部分だけ取り出して、面積を求めれば答えです。

射影前の座標を求めて、射影する

では、第一象限の面積を求めていきましょう。

そのためには、③’、④’、⑤’の座標が分からなければなりません。ということで計算を進めていきましょう。

 

まずは⑤’ですが、(2)の答えの図を使って求めます。

まずは⑤.

この図において、⑤の点はy=0上にありますから、射影後のy座標も0(確かに八角形のてっぺんにあります)

z座標に関しては、直線の交点として求めればよいので、直線CPと、平面αを連立して求めてください。

 

次に④ですが、y座標がわかりません。y=0でないことだけはわかってますが、具体的な値は不明。

よって、面倒ですが、ベクトルの直線の方程式を使って求めます。

 

 

最後③は、ほとんど計算が要りません。なぜなら、③は点M(N)そのものだからです。(平面αは辺ABと辺ADにおいて、中点M(N)を通るというのが定義です)

つまり、M(1,1,0)をx=0に射影して(y、z)=(1,0)です。

 

これを書き込んだら、あとは面積を計算するだけ。別に難しいところはないので、一気に手書きの解答をご覧ください。

(1)からの分全てを掲載します。

 

 

 

いやいや、それにしても難しい問題でしたね。

空間図形の問題って、解説記事を書くのにめちゃくちゃ時間がかかるんですが、今回のは最長記録だったと思います。

実際は、中学生の計算だけで解けてしまうところが、またいやらしい問題。さすがの東大クオリティだったと思います。

射影や空間図形の話題は苦手にする人がとても多いので、ぜひよく復習してください。

では、明日からは、通常通り1日1問のペースに戻します。

 

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2019年 東大数学 理系第3問(2) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、昨日の(1)の解説に続きまして、(2)の解説に行きましょう。

(1)の解説はこのリンクから

切断面は何角形?

(2)の問題は、切断面が八角形になるpの範囲を求めよというものです。

(1)が大きなヒントになっているのですが、お気づきになったでしょうか?

まずは、(1)の結論の図をもう一度ご覧ください。

 

点Pに対して、左側を平面αが通るか、右側を通るかで場合が分れています。

そして、これが八角形になるかならないかの境界線になるのです。

 

どういうことでしょうか?

平面と直線の共有点は、点

これも(1)と同様、空間図形の基礎的な考え方を使います。

平面と直線の共有点は、点になるというものです。

 

(1)の結論の図は、y=0の切断面のみを表していますが、本当は八面体です。八面体には12本の辺がありますから、そのうちいくつかを平面αが切断しているはずです。

 

ということで、(1)の図に、書かれていない八面体の辺(をy=0に射影したもの)を赤色で書き込んでみました。実際には、紙面から手前向きの辺と、奥向きの辺があるのですが、対称性からy=0上では1本の線分に見えています。

y=0上にある辺は青色です。)

例えば、2<p<3の場合はこちらです。

 

 

平面αが、①②③④と4回八面体の辺と交わっているのがわかるでしょうか?

このうち、①と④は青色(y=0上の辺)の交点で、②と③は赤色(y=0上にない辺)との交点です。

 

①と④はy=0上で平面αと交わっているから数え方は簡単なのですが、②と③はそうはいきません。②と③は対称性からy<0とy>0に1つずつ交点があるはずなので、2つ分と数えます。

つまり、1+2+2+1=6となり、切断面は6角形であることが分かるのです。

 

これを、p=3の時と、3<p<4の時でも書いてみると、

p=3では6角形、3<p<4の時は八角形になることがわかります。

よって、(2)の答えは3<p<4となるのです。

ちなみに、先取りして(3)の序盤をお見せすると、x=0に射影した図はこのようになり、確かに八角形であることが分かります。

 

立体的に考える方が難しい

ということで、答えが出たわけなんですが、立体的な図を描いて、切断面が8角形になることを理解することはできるのでしょうか?

もし実物大のものを用意して、カッターか何かで切断したら一番わかりやすいのでしょうが、入試会場ではできません。

やはり、頭の中にイメージするか、計算用紙に「立体的な図」を描いて考えるしかありません。

 

僕も、手書きの解答を作るときに、あれこれ試して描いてみたんですが、どうにも上手く示せずに時間を浪費しましたし、読者の皆様に分かりやすいような図に仕上がりまっせんでした。

 

やはり、立体は平面図形に切断して、その上で考える方が良いのでしょう。

切断自体は小学生や中1で習う技術なのですが、奥が深いものですね。

 

ということで、明日は(3)に参ります。

 

 

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2019年 東大数学 理系第3問(1) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問

出ました、空間図形。

東大では毎年頻出のテーマです。

去年の空間図形(第6問)は非常に難しかったですが、今年もなかなかの難易度です。

そして、苦手にする人が多いということで、3回に分けてアップしていきます。

丁寧にわかりやすく解説するので、長くなりますがお付き合いくださいませ。

さっそく見ていきましょう。

空間図形は、ほぼ必ず切断する。

まずは、空間図形の問題そのものの考え方から行きましょう。

平面図形は考えやすいけど、空間図形になると苦手という方がいますが、

それ、恐らく人類全体の悩みですよ(笑)

 

平面に比べて情報量が多いし、

そもそも平面に描かれた問題文という活字から、実物しない空間図形をイメージして取り組むわけですから、解きやすいわけがない。

 

この時に役立つのが、切断です。平面で空間図形を切断します。

受験数学において、「切断とは次元を落とすこと」です。3次元の空間図形も、切断すると2次元の平面図形に早変わり。

すると計算用紙(2次元)にも正確に描けて、考えやすくなる、という寸法なのです。

 

平面との共有点はどうなる?

では、平面で空間図形を切断するとどうなるか。

切断が苦手だという人も多いのですが、ここで使うのは2つだけです。

・平面と直線の共有点は、点。

・平面と平面の共有点は、直線。

この、2つの簡単な事実をもとに考察します。

 

ちなみに、当たり前すぎて、上に含めませんでしたが、

・互いに平行でない2つの平面は必ず交わり、共有点が直線(交線という)になる。

・互いに平行でない直線と平面は必ず交わり、共有点が点になる。

というのも、大事ですよ。

 

もう少し応用して、(イメージしながら読んでください)

・平面αと平面βが平行な時、どちらにも平行でない別の平面との共有点(交線)は、互いに平行である。

なんかもよく使いますけどね。

 

ただし、どれも別に難しいことではありません。ちゃんと図を描きながら条件を整理すれば、当たり前のことばかりです。

(1)y=0の切断面① 四角形が登場

では、(1)の解説に入ります。

とりあえず、正八面体をxyz平面上に描いてみましょう。ちょっと複雑ですが、書かないよりはイメージできると思います。

八面体の辺は赤色y=0の切断面は青色で登場します。)

 

今回は、y=0の平面での切断を問いている問題ですから、y座標が0の点を調べます。

すると、PAECの四点が出てきますね。

ここで注目したいのは、PとA、AとE、EとC、CとPが全て正八面体の辺だということです。つまり、y=0で切断したときに、他の点を考慮しなくてよいということです。

ということで、y=0の図示では、四角形PAECを描けばOK。座標も全て問題文に書いてありますから、そのままzx平面に書き込めばすみます。

 

(1)y=0の切断面②直線と平面の共有点は点

次に、平面αとy=0の共有点の図示に参りましょう。

ここで大事なのは、平面αも、y=0も平面ですから、書き込む図形は「直線」です。y=0の中に、どのように書き込めばよいか考えながら、進みます。

 

平面αの定義を考えると、「点Mと点Nを通り、直線AEに平行」です。

点Aと点Eは、先ほど言った通り、y=0の上の点ですから、そのまま答えの図に登場します。

しかし、点Mと点Nはy=0の上にありませんから、答えの図にMとNは登場しません。

 

そこで、直線MNとy=0の交点を考えます。

と言っても、M(1,1,0) N(1、-1、0)ですから、中点がy=0にあるのがすぐにわかってラッキー。

その中点をLとおくとL(1、0、0)が、直線MNとy=0との交点であり、答えの図に書き込む点です。

 

ここでも、「平面と直線の共有点は、点」を使いました。

 

(1)y=0の図を描いてみよう。

では、平面αを、実際にy=0に書き込んでみます。

するとこうなりますね。

(今後、平面αは緑色で登場します)

 

書き込んでみると、結構簡単♪

なにせ、点Lを通り、直線AEに平行な直線を求めるだけですから。

ということで、四角形PAECも、同じ図に書き込むと、こうなります。

平面αは、辺PCと交わるか、辺PAと交わるかが分からないので、場合分けをします。

ただし、これも図示してみようとすると、当然生じる疑問なので、難しくありません。(というか、場合分けをしないと描けない)

 

一応、(1)の答えの全体像をお見せしておきましょう。

(1)はこれで終わり。では、明日は(2)の解説に行きますね。

 

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2019年 東大数学 文系第2問 (絶対値の外し方、領域図示、傾きに注目)

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2019年 東大数学 文系第2問

 

今日は、文系第2問です。

なにやら複雑そうな問題ですが、一つ一つ解読していきましょう。

問題文で分かるものは、どんどん求める。

問題文を読むと、不思議な直線lの定義があります。なぜこういう記述をしたかよくわかりませんが、とにかく簡単なので求めてしまいましょう。x+y=4です。

 

次に、条件1において、ベクトルの内積が登場していますが、点Aも点Pも、問題文中に成分が定義されていますから、そのまま計算してしまいましょう。2x+2yですね。

すると、8≦2x+2y≦17ですから、辺々2で割って、直線の帯になる領域が得られます。

 

また、条件2において、点Oと直線lの距離cも簡単に求められちゃいます。

点Oはもちろん(0,0)ですし、直線lはx+y=4ですから、点と直線の距離の公式を遣ったら、c=2√2と求められます。

 

とこのように、なんかよくわからないうちに、色々な値が計算できてしまいます。

このようなものは、正確に計算するだけで部分点が(わずかながらでも)もらえますから、一気に計算してしまいましょう。

 

このブログでは、「手を動かす前に通読しろ!」という主張をいつもしていますが、このレベルの簡単な値であれば、むしろすぐに求める方が賢いでしょう。

具体的な値が分かった方が、見通しがよくなることが多いからです。

点と直線の距離の絶対値の外し方

さて、具体的に数字がわかる部分は、上で全て計算しましたから、他の部分に行きましょう。

dに関しては、点Pの座標が(p、q)ですから、具体的な数字になるわけがありません。考えても仕方ないので、これも計算してしまいます。

すると、分子に中身が文字式の絶対値が登場します。

 

|p+q-4|ですが、この絶対値の外し方をご存じでしょうか。

一番簡単なのは、右辺ごと2乗してしまうことですね。ただ、この場合は次数が上がってしまうので、常におススメする方法ではありません。

 

他には、場合分けをする方法ですね。当然、中身が正の時はプラスで外し、中身が負の時はマイナスをかけて外します。

これは、必ず外れるので、通常使う方法なのですが、場合分けが出てきて面倒です。

 

最後は、直線と点の位置関係を見る方法です。

点と直線の距離の公式の分子は、点を直線の式に代入したものになっています。

だから、点が直線より上にあるならプラスで外し、点が直線より下ならばマイナスで外す、という方法が有効です。

 

今回の問題は、点Pが直線lより上にあるか、下にあるかは不明なのですが、条件1の結果の式をよく見ると、絶対値の中身が正になる条件が得られます。

つまり、(条件1)かつ(条件2)の論理を考えると、絶対値が外れてしまうのです。

これを深堀して言うと、点Pは常に直線lより上側にあることが、結果的にわかるということですね。

ちなみに、点Pと直線lの位置関係が分かったところで、この問題を解くには不要な情報なのですが、知っておくと得する問題もあります。

領域Dを図示して、面積を計算

分かったところで、領域Dを図示してみましょう。直線と放物線の位置関係を注意して、共有点を求めつつ図示しましょう。

 

また、面積計算は、東大で頻出(というか、ほぼ必ず使う)1/6公式を利用すれ

ば、簡単です。

とりあえず、ここまで手書きの解答をどうぞ。

「cosΘの範囲を求めよ」の背景とは?

さて、(2)に行きましょう。OPとx軸のなす角Θに対して、cosΘのとりうる値の範囲を求めよ、という問題です。

これはsinやtanではダメです。なぜなら、Θの範囲を考えると、0<Θ<πの範囲なので、sinやtanでは、同じ角度が2つ登場してしまうからです。

 

さて、このような場合に考えることは何でしょう。傾きです

このような問題のタイプは「線形計画法」などと言われますが、領域の共有点の問題と見せかけて、「傾きに注目する」問題です。

 

領域Dと共有点を持つような直線を求めて、その時のcosΘを求めるという流れを踏まえれば答えになります。

ということで、手書きの解答はこちら。

まとめ

今年の問題の特徴なのですが、方針自体は簡単に立つのに20点取るために必要な計算量が多い問題が目立ちました。

理系もそのような印象でしたし、計算量が多い問題を求めるのは、今に始まったことではなく、少し前から求められてきた能力です。

 

計算力は、幼少期の訓練が重要。

そうなると、中学受験の相対的位置づけが大事になる気がしますね。

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