東大に文理両方で合格した男 平井基之による受験戦略の公式

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２０２０年東大合格最低点データ

ついに東大の合格発表がありました。

合格最低点のデータをここに書いておきます。

文Ⅰ　343.9444

文Ⅱ　337.6111

文Ⅲ　338.8667

理Ⅰ　320.7222

理Ⅱ　313.0222

理Ⅲ　385.3778

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２０２０年東大数学　文系第３問の解説

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２０２０年東大数学　文系第３問

今年の中で、２番目に取りやすかった問題でしょうね。

第１問と、これが解けて他は取れなかったという人も多くいるはず。

見ていきましょう。

２０２０年東大数学　文系第４問　理系第４問の解説

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２０２０年東大数学　文系第４問　理系第４問

では、今年の文系でぶっちぎり難しかった第４問に行きましょう。

理系と共通問題でしたが、理系でもやや厳しかったのではないでしょうか。少なくとも、見た瞬間にスラスラ解けるような問題ではなかったでしょう。

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2020年東大数学　理系第２問の解説

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２０２０年東大数学　理系第２問

さあ、出ましたよ。

斜交座標の問題です。

ここ３年くらい、ベクトルの領域図示の問題が出ていましたが、今年も似ている問題が出ました。

ただ、解くだけだったら、ベクトルを使わず、平面幾何的に解いた方が簡単ではありますが。

では、問題を見ていきましょう。

三角形の形が決まらない

問題を読んでいて、全員引っ掛かったのが、「△ＡＢＣの面積が分かっているのに、形が分からない」というところでしょう。

そして、よく読んでみると、「点Ｘの通過領域の面積を求めろ」ということですから、どうやら△ＡＢＣの形はあまり関係ないようです。

（一応、△ＡＢＣの形によって場合分けをしながら面積を求める可能性もありますが）

これに似ているのは、「位置ベクトル」でしょう。

△ＡＢＣが与えられて、内分点や外分点などの点を定義して、交点を求めるような問題があると思いますが、これは元々の△ＡＢＣの形は関係なく、点の位置が定義できます。

また、

【例題１】

（ＯＰベクトル）＝ｓ（ＯＡベクトル）＋ｔ（ＯＢベクトル）

の時に、ｓ＋ｔ＝１を満たすと、点Ｐの動く場所はどこでしょう？

というような問題がありますが、これも点Ｏ、Ａ、Ｂの場所には関係なく、答えがでます。

斜交座標をマスターせよ！

さて、さきほどの【例題１】の問題を解く際に「斜交座標（しゃこうざひょう）」という考えを導入すると解きやすくなるのをご存じでしょうか。

直交座標は、ｘ軸とｙ軸を直交させ、ｘ座標とｙ座標の数字によって点を定めるというものです。

これに対して、斜交座標は、２つの軸が斜めに交わっているタイプです。

上の【例題１】でいうと、ＯＡ方向と、ＯＢ方向にｘ軸やｙ軸のような軸が伸びているようなイメージで解くことになります。

くわしくは、この動画かこの動画が良いと思います。

さて、斜交座標が何となくわかったとすると、この問題の考え方や理解が深まると思います。

今回は、斜交座標をあまり使わない方法で解きますが、解き終わったあとに考察してみてください。

対称性を使え

つぎに、東大に限らず、遍く数学好きな人達が好むテーマが「対称性」です。

対称性には、

・文字の対称性

・図形の対称性

・確率の対称性

の３つを押さえましょう。

今回は、図形の問題ですが、文字の対称性に注目です。

点Ａと点Ｂと点Ｃの順番を入れ替えたところで、何か違いが生じるでしょうか。全く生じませんね。これが文字の対称性です。

すると、答えも対称性のある図形になります。

先取りして、見てみましょう。これが答えの図です。

何となく、同じような図形が、３方向に並んでます。

これが分かれば、３方向のうち、１方向だけ調べればよいことになります。

点を打ちながら、面積を計算してみる

このあとは、色んなところに点Ｘを取ってみて、面積を計算してみてください。

そして、２から３に収まるところを考えていくと、何となく図形が見えてくることでしょう。

ここで、辺ＡＢや辺ＢＣ、辺ＣＡの延長線を超えたところで、点Ｘの動き方が変わることに気付けば、答えまであと少し。

いきなりここまでたどり着かないでしょうが、何度も試してみてください。

さて、前置きが長くなってますが、この問題は前置きに時間がかかる問題です。

問題の背景やカラクリを解き明かすまでは答案が書き始められませんが、解き明かしたらスラスラ進むのです。

（理系第３問は逆で、見た瞬間から計算し始められる問題ですね）

面積が等しい部分は、等積変形が出る。

このあとは領域を６分割して、面積を計算します。

すると、点Ｘを頂点に持つ三角形の面積が同じになるように、動かすことになります。

これを、等積変形と言います。

三角形の等積変形の基本は、平行線です。

今回は、点Ｘだけが動いて、底辺は動きません。なので、平行線によって等積変形できる超基本パターンです。

これに気付けば、あとは答えは簡単。

手書きの解答をどうぞ。

平行線が鍵！

このブログで、平面幾何について触れることが少ない（つまり、東大入試で平面幾何があまり登場しない）ので、折角だからあと少しだけ書いておきましょう。

平面幾何において、平行線が鍵になることがよくあります。

なぜなら、平行線の性質

①同位角や錯覚が等しい

②平行線の距離が一定

という性質が便利だからです。

①の「同位角や錯覚が等しい」に関しては、要するに同じ角度がたくさん出るくらいに捉えてください。

同じ角度が登場すると、何が起こるでしょう。

最も大切なのは、相似形が出ることです。中３で相似条件に「２角が等しい」があったはずです。

また、相似形からは、相似比や面積比、線分比が導き出されます。

円が絡むと、方べきの定理も導けます。

というように、一本の平行線で、あれやこれやと、色々な図形の性質が導ける可能性が広がるのです。

②の「平行線の距離が一定」に関しては、主に等積変形が対応しますね。今回はこれを使いました。

以上、簡単ではありましたが、平面幾何のポイントです。センター数学（もう終わってしまいましたが）に使える重要な考え方でした。

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２０２０年東大数学　理系第３問

今年、受験生が最も手を出しやすかった問題でしょう。

２０点は取れないまでも、１０点以上取れた受験生は多いだろうな、という印象。

問題を見ていきましょう。

（１）微分すら必要ない

（１）の問題文を見ると、「ｔの関数ｔが単調に減少することを示せ」とあります。

単調減少や単調増加というと、真っ先に思いつくのが微分でしょう。

ということで、ｙ／ｘを計算して微分する問題だと見積もります。

で、さっそくｙ／ｘを計算すると、なんと微分すら必要ない形に！

そうです。

単調増加や単調減少は、即、微分というわけではありません。

微分は増減が分からない時の技術ですから、微分しなくても増減が分かってしまえば、必要ないのです。

ということで、ここは微分すらせず、そのままスルー。

（２）これは微分

さて、次は（２）へ。

これも、「増減を調べろ」という問題なので、微分かなと想定します。

そして、原点と点Ｐの距離なので、三平方の定理へ。このとき、√を外して、２乗したまま増減を調べても構いませんね。この辺りはいつものことなので、特に構えずに使えるようになりたい技術です。

先ほどと同様、微分しなくてもわかるかな～と、ちょっとだけ期待していると、今回はダメ。

しかたなく微分して、増減表を描いて、答えを求めます。

ハッキリいって、普通の微分の問題でした。

とりあえずＣの概形を

最後の（３）です。

「まずは、点Ｐの軌跡を求めて、それを９０度回転させた面積を求めよ」という問題。

まだ、Ｃの概形すら求めてないのに、色々やらせるなと思いますね。

まず、Ｃの概形を求めるところですが、（１）でｙ／ｘが単調減少だと求めてます。ｙ／ｘとは何かというと、ＯＰの傾きですね。つまり、Ｏからの接線がだんだん減っていくように軌跡をたどります。

なお、ｙ／ｘが単調減少とは、上に凸を示しますね。上に凸と書いても、もちろんＯＫでしょう。

他に、増減を知りたい値としては、ｘとｙでしょう。これについても増減を調べるのですが、ｘは見た目で単調増加と分かります。

ｙは分からないので、仕方なく微分。これでやっと概形が分かりますね。

回転するときは、中心からの最短距離と最長距離

さて、最後に回転させましょう。

回転してから求積をするとき、大切な値はなんでしょうか。

最短距離と最長距離です。

回転する時には、平面なら中心、立体なら中心軸があります。

その中心からの半径が重要。

半径の最短距離未満には、面積も体積もないですし、

半径の最長距離以上には、面積も体積もないのです。

今回は、中心である原点を通る図形が回転するので、最短距離はどうでもよいので、最長距離だけに注目。

そしてそれが（２）で求めた値です（つまり、誘導問題）

あとは、図形を書くと、扇形と領域Ｄの合計面積になるので、面積計算して終わり。

では手書きの解答をどうぞ。

（３）の手間がかかるので、時間はかかるかもしれませんが、難易度としては、標準か、やや易くらいかなと思います。

これからの受験生も、ゆっくり解いて満点を取れるようにすると、良い練習になるでしょう。

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東大にしては、非常に珍しい「場合の数」の問題。必ずと言ってよいほど確率ばかり出るのに、場合の数が出題されました。

但し、場合の数も確率も似たような単元（基礎、応用の関係）なので、違和感はそこまでなかったかもしれません。

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２０２０年　東大数学　理系第１問

数学は論理的ではない。

この問題を見た時思いました。「ついに東大でも、論理メインの問題が出たか！」

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２０２０年東大文系第１問

例年通り、解説記事をアップしていきましょう。

楽しみにしててくれた方、開始が数日遅れましてすみません。

２０２０年東大数学を当日解いたので、所感を書いてみた。【理系】

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２０２０年東大数学　理系第１問

ここ数年、理系第１問は話題性がある問題が出ますが、それに比べると「普通」の問題ですね。
特に２０１８年の第１問には衝撃でしたが。。。

２０２０年東大数学を当日解いたので、所感を書いてみた。【文系】

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