2008年 東大数学 文系第2問 理系第2問(対称性、偶奇、確率漸化式)

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第3弾:1カ月でセンター試験の英語の得点が50点上がる方法

第4弾:ピリピリする受験生を成功に導くために親がすべき7つのこと

第5弾:合格しない人から合格する人になれるイメージ戦略

2008年確率の問題の解説

 

今日は2008年の確率です。

 

文系はこちら

 

 

 

理系はこちら

 

文系(2)と理系(1)が同じ。

文系(1)は、文系(2)につながる誘導としての問題が設置。

理系(2)は、カードの数が増えて設定が複雑になった問題です。

 

とは言っても、いつも通り設定はほとんど同じ。理系(2)もそれほど複雑になったわけではなく、少し違う程度でしょう。

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2004年 東大数学 文系第4問 理系第6問(対称性、偶奇、確率漸化式)

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2004年確率の問題の解説

 

今日も行きましょう。2004年の確率です。

 

文系はこちら

 

理系はこちら

 

(1)は全く同じ。

(2)は、文理で少し違います。

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2012年 東大数学 文系第3問 理系第2問

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2012年 東大数学 文系第3問 理系第2問

今日も行きましょう。2012年の確率です。(文理で全く同じ)

昨日の記事で書いた確率の問題に続いて、図形と確率漸化式の問題です。

昨日は触れませんでしたが、図形と確率の問題が出たら、必ず考えることがあります。

それは何かというと・・・

対称性の利用

対称性です。

数学では非常によく強調されるポイントですが、やはり大事!

現在、12年分の確率の問題を連続アップ中ですが、対称性に注目して解く問題が頻発します(お楽しみに)

 

さて、「対称性」と一口に言いますが、主に2種類の対称性があります。

それは

・図形の対称性(線対称・点対称)

・式の対称性(いわゆる対称式)

の2つです。

 

しかし、この問題で注目してほしいのは3つ目の対称性、すなわち「確率の対称性」です。

 

そして面白いのは、この3つの対称性がリンクして登場することです。

 

この問題は、正三角形を図のように分割した図形が登場しますが、

 

 

図のようにQ’の部屋を設定すると、QとQ’が線対称になります。そして、Qに到達する確率と、Q’に到達する確率が完全に等しくなる。

つまり、「図形の対称性」と「確率の対称性」が同じように登場します。

さらに、後で漸化式を立式すると、「式の対称性」まで登場する。

というように、3つの対称性が同時に登場するという、非常に面白い問題なのです。

 

【超頻出】偶奇の場合分け

そして、もう一つ。

これまた、超頻出テーマなのが「偶奇の場合分け」です。

受験生に嫌われるテーマではありますが、残念ながら東大では超頻出なのです。「偶奇を克服せずして東大合格はない」という意識で取り組んでください。

 

この問題で、どのように登場するかというと、やはり図形の対称性と関連して登場します。

図のように、奇数の時と偶数の時で、到達する部屋が違います。

 

図形の点の移動と、偶奇は非常に相性がよいので、絶対に押さえておきたい知識です。

このブログを愛読してくれている読者であれば、前回の記事(2000年の文系第3問)にも同じことが登場しているのがご理解いただけるでしょう。

 

確率漸化式の解法

では、気になる解法ですが、対称性と偶奇の性質を大いに利用します。

まず、先ほどの図のようにQ’の部屋を設定。

そして、P、Q、Q’の部屋にn秒後にいる確率をPn、Qn、Q’nと設定します。

すると、Pn、Qn、Q’nの遷移図が描けます。

 

そこで、2本の式を別に立てます。

1つ目は、先ほどからずっと言っている、Qの部屋とQ’nの部屋の対称性から立てられる

qn=q’n

 

2つ目は、確率の問題ならば必ず成り立つ式、全て足せば1です。

pn+qn+q’n=1

 

これらを連立して漸化式を解くと解けるという仕組みでした。

 

では、手書きの解答をどうぞ。

 

まとめ

 

くどいですが、この問題は、対称性、偶奇、確率漸化式という頻出パターンを全て押さえているという点で、東大数学に確率の黄金パターンに則った問題でした。

この問題をもとに、応用として明日以降の問題をご覧くださいませ。

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2000年の東大文系数学第3問

今日は2000年の東大文系数学第3問です。

いつも通り、問題をどうぞ!

さて、この問題の意図は「練習問題」です。ひねりもないし、複雑さもない。
ただただシンプルな問題です。こんなに簡単な確率漸化式が東大でも出題されてたのか、と目を疑うような問題です。

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2014年 東大数学 文系第2問 理系第2問

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2014年 東大数学 文系第2問 理系第2問の解説

今日は2014年の確率の問題です。(文系第2問、理系第2問)
理系では最後にこの問題が追加されます。
理系の追加問題は、その直前で求めたPnの一般項に対して、シグマを取るだけの問題です。
ようするに正しく計算するだけの問題。(2)まで求められれば「もらい」です。

東大の個数の処理の問題傾向

問題の設定が珍しいですね。

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2016年 東大数学 文系第2問 理系第2問の解説(確率、1手目の分岐、樹形図)

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2016年 東大数学 文系第2問 理系第2問の解説(確率、1手目の分岐、樹形図)

今日は2016年の確率です。では、まずは問題をどうぞ

「問題文が長いということは、ヒントが多いという事だよ。だからむしろ難易度は下がるんだ」
by全国の先生

これ本当?

「2016年 東大数学 文系第2問 理系第2問の解説(確率、1手目の分岐、樹形図)」の続きを読む…

2017年 東大文系数学 第3問 理系数学 第2問の解説(場合の数・確率・反復試行)

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2017年 東大文系数学 第3問 理系数学 第2問の解説

昨日の告知に続き、まずは2017年 東大文系数学の第3問と、理系第2問です。

まずは、問題を。

文系第3問は・・・

 

 

そんでもって、理系第2問は

 

見比べると分かりますが、文系の(2)と、理系の(1)が同じ問題ですね。

文系では、もっと簡単な・・・というか死ぬほど簡単な(1)が追加されていて、

理系ではちょっと手間がかかる(2)が追加されているという感じ。

まずは、文系の方から片づけてしまいましょう。問題の設定を読んで下さい。

「2017年 東大文系数学 第3問 理系数学 第2問の解説(場合の数・確率・反復試行)」の続きを読む…

2014年 東大数学 理系第4問の解説(不等式の証明、漸化式の極限、中間値の定理)

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2014年理系第4問の解説

2014年の最後の問題の解説です。
今日もやっていきましょう。

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2014年 東大数学 理系第3問の解説(解を持つ条件、文字の消去、積分、面積計算)

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2014年理系第3問の解説

2014年の問題も、残すところあと2問。
今日もやっていきましょう。

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2014年 東大数学 理系第1問の解説(三角関数・ベクトル・外積・解と係数の関係)

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2014年 東大数学 理系第1問の解説

連日の投稿です。
今日から理系の問題の残りですね。
2014年の空間図形の問題です。

「2014年 東大数学 理系第1問の解説(三角関数・ベクトル・外積・解と係数の関係)」の続きを読む…

2014年 東大数学 文系第4問 理系第5問の解説(整数・漸化式・鳩ノ巣原理)

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2014年の整数問題

お待たせしました。
それでは、2014年の整数問題(文系第4問、理系第5問)をやっていきましょう。
まずは問題から。
理系第5問は、この(4)が追加されます。

「2014年 東大数学 文系第4問 理系第5問の解説(整数・漸化式・鳩ノ巣原理)」の続きを読む…

2014年 理系第6問の解説④ 解の配置、ファクシミリ、包絡線

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2014年 理系第6問の解説

長々書いてきましたが、これで通過領域の問題の解説、最後です!
前回と前回の記事

2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!

で、通過領域に必要な解法の種類を、基本問題で解説しましたので、どうぞ先にご覧くださいませ。

定通過領域の問題にたどり着くまで。

昨日は文系第3問を扱いましたが、理系もほぼ同じ問題。(数字だけ変えてある)
文系の方が、場合分けが複雑な気がしますが、、、理系も十分に複雑。
とにもかくにも、解説していきましょう

「2014年 理系第6問の解説④ 解の配置、ファクシミリ、包絡線」の続きを読む…

2014年 東大文系数学第3問③ 解の配置、すだれ法(ファクシミリ)、包絡線

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2014年 東大文系数学第3問

大変お待たせしました。
2014年の東大文系第3問と、理系第6問の解説の続きです。
東大で超頻出のテーマである、通過領域について、皆さんのノウハウになるよう、しっかり書こうと思い、少しお時間を頂きました。
前回と前回の記事

2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!

で、通過領域に必要な解法の種類を、基本問題で解説しましたので、どうぞ先にご覧くださいませ。

定通過領域の問題にたどり着くまで。

では、まずは問題を見てからどう考えるか、です。
問題はこちら。

「2014年 東大文系数学第3問③ 解の配置、すだれ法(ファクシミリ)、包絡線」の続きを読む…

2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 すだれ法(ファクシミリ論法)と包絡線をマスターしよう

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2014年 東大文系数学第3問 理系第6問

では、前回の続きです。
2014年の文系第3問と、理系6第6問ですが、理由があって解説が長くなるので、4回に分けて書いています
他にも、東大模試の解説もありますので、どうぞご覧ください。

すだれ法(ファクシミリ論法)とは?

前回も書いたのですが、通過領域の解法には3種類あります。

「2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 すだれ法(ファクシミリ論法)と包絡線をマスターしよう」の続きを読む…

2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!

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2014年 東大文系数学第3問&理系第6問の解説

お待たせしました!
東大の入試解説の続編です。
今回も1問を解説していくんですが、初の試み!
4回に分けます。
理由としては、
・東大で超頻出の通過領域の図示の問題であること
・なのに、教科書でテーマとして扱われないこと
・理系の第6問と共通問題(というか、ほぼ同じ設定)の問題なこと
などなど。
(1つの記事に入れようとすると、分量が多すぎてしまい、書く気が削がれるというのも、裏の理由)
ご了承下さい。
ちなみに、過去の東大入試解説の一覧はこちらからご覧になれます。
他にも、東大模試の解説もありますので、どうぞご覧ください。
では問題を。

「2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!」の続きを読む…

2014年 東大文系数学第2問 理系第2問の解説 確率漸化式

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2014年 東大文系数学第2問の解説

お待ちかね、東大過去問解説のコーナーです。
東大入試では、数学の重要度が非常に高いですから、最後に数学の解法を頭の中に整理して臨むのがおすすめです。
なるべくたくさんアップしていきますので、どうぞお楽しみに。
では、今日は2014年東大文系数学の第2問です。
この年は、文理共通問題でして、理系では最後にこの問題が追加されます。
理系ならお馴染み。
その直前で求めたPnの一般項に対して、シグマを取るだけの問題です。ようするに正しく計算するだけの問題。(2)まで求められれば「もらい」ですね。

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2014年 東大文系数学第1問の解説 最大最小はワンパターン

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2014年 東大文系数学第1問の解説

東大入試まで1ヶ月を切りました。
久しぶりになりましたが、これからは、なるべく東大の過去問の解説を優先的に描いていこうと思います。
現在は、2015~2017年の解説を書き揃えていますので、どうぞ「東大入試数学を解説するシリーズ」からご覧ください。

最大最小問題は“ワンパターン”

では、早速解説を始めていきましょう。
今回は2014年の第1問です。
問題はこちら。

「2014年 東大文系数学第1問の解説 最大最小はワンパターン」の続きを読む…

2017年 東大理系数学 第6問(立体・体積・積分・三角関数)

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2017年 東大理系数学 第6問

さあ、東大お得意の立体図形の求積!

これは難しいですよね。問題文の意味を読み取るのは、読み取れたとしても立体のイメージが掴めない。

一体、どんな形をしているやら・・・。

とは言っても、(1)はそれほど難しい問題ではありませんね。Pの座標を(x、y、z)でおいて、立式すれば解けます。簡単な軌跡の問題です。

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2017年 東大理系数学 第5問の解説(二次関数・二次曲線・放物線・接線・判別式)

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2017年 東大理系数学 第5問の解説(二次関数・二次曲線・放物線・接線・判別式)

まずは、問題から。

数学を体系的に教えるべき

東大の数学は確率や整数が難しく、関数の問題が比較的簡単になりがち。
そういう意味で、この問題は受験生が得意そうな問題。

特に接線関連の問題はたくさん問題集にも載ってますし、それほど複雑にならないことが多いので、見た瞬間に手を付けた受験生が多いでしょうね。
実際に解いてみても、あまり深いことを考えず、なんだかゴチャゴチャ計算していたら解けちゃった、みたいな問題です。

僕は今の数学教育は、計算訓練にすぎないと思っているのですが、接線関連に関しても同様で、割とその場しのぎで解いている人が多い印象です。理論的、体系的に教え、考えるべきだと思っているのですが。
とそんな愚痴はどうでもよいとして、解答の方針に行きましょう。

(1)接線の解法

まず(1)は共通接線の条件を立式するわけですが、今回はy=ax+bの式と、2つの放物線が接しているとのこと。
接する条件には色々ありますが、今回は素直に判別式で良さそうですね。

もう少し細かく言うと、例えば3次関数とか、指数や三角関数が含まれている関数であれば、微分を用いるのでしょうけど、そういうわけでもないし、
接点が分かっていれば、接点から接線を引く事も出来るんですが、ちょっと使える形ではない。

まあ、接するのが放物線(二次曲線)ですからね。あれこれ考えず、判別式を創っちゃえば良い、ということでしょう。
という事で、(判別式)=0の等式を2本立てると、(1)は解けてしまいます。

不明量がaとbとkで3文字。
それに対して、(判別式)=0の等式が2本です。
そして、問題文の要求が、bとkをaを用いて表せという事ですから、1文字分余ってOK
という事で、方針の目途も簡単に立ちます。

あまり深く考えず判別式というのが、良いでしょう。

丁寧に問題文を読もう

次に(2)。
まず何も考えず、a=2を代入するところから始めます。
すると(1)の結果を使ってbとkの値が出ますね。
これで部分点は確保です。
ここまでは簡単だから良いとして、問題文の意味を理解しているでしょうか?
丁寧に読み解きましょう。

問題文には
「傾きが2の共通接線が存在するようにkの値を定める。」
とあります。
傾きが2とあるので、a=2を代入したわけで、このaに対してkの値が定まります。

その次に
「このとき」
とありますが、これは
「a=2に対応するkの値のとき」
という意味です。

続いて
「共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きとy切片を求めよ。」
とあります。

つまり、今求めたkの値の時に共通接線が3本あって、そのうちの1本がa=2かつ求めたbであるということです。
ということは、kはこれ以上いじらなくて良くて、aとbはあと2組求める必要があるのです。

という事で、今度は求めたkの値を元の式に代入して、aとbの値を探していく作業に移ります。

この辺りがややこしてくて、少し混乱するかもしれませんが、東大入試にしては簡単でしょう。
もし「共通接線を全て求めよ」だと、難易度が上がるのですが、今回は3本と言われてますから、悩みません。

逆関数の扱い

気付かないと解けないわけではないですが、補足説明として逆関数に触れましょう。

冒頭に与えられた2つの放物線が、逆関数になってますよね。
だから、a=‐1は、kやbに関係なく、常に解になっています。

あと、最後に求めたaの値も、2と1/2ですから、これもy=xに関して対称になってますね。
この辺りに注目できると、計算ミスも防げそうです。

では、最後に手書きの解答をご覧くださいませ。

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2017年 東大理系数学 第3問(複素数平面・垂直二等分線・軌跡・反転)

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2017年 東大理系数学 第3問(複素数平面・垂直二等分線・軌跡・反転)

出ました!複素数平面です

反転がテーマの問題

複素数、苦手な方が多いと思いますが、このレベルは解きたいところ。少なくとも、半分以上の部分点は取っておきたいところですね。

この問題は「反転」と言われる問題です。(z=1/wと置換することを「反転」といいます。)
原点からある半直線を引いて、その上にPとQの2点を取った時に、OP×OQ=一定となるようにPとQを動かす操作のことですね。
Pが直線を動くとQが円を描いたりして、面白い連動の仕方をします。

数学の先生なんかでは有名ですが、知らなくても入試問題は解けてしまいますから、必ず知らなきゃいけないものではありません。ということで、先生の中でもしっかりと勉強している人は少ないのでは!?
一応、青チャート何かでは触れられてるテーマなんですが。

この問題もしかり、入試問題を解くだけならば、知らなくても済むテーマなので、今回は反転の解説はしませんが、そういうテーマがあることだけは触れておきます。

(1)垂直二等分線の立式をすればOK

さて、問題へのアプローチの仕方ですが、まず(1)はzが垂直二等分線上を動くという条件です。
原点Oと、点αの垂直二等分線上ということで、|z|=|z-α|と作ればOK。
※垂直二等分線というのは、2点からの距離が等しい点の軌跡でもあります。中1の作図で習いますね。
このzに1/wを代入して、基本通りの変形をすれば解けます。教科書の例題にされかねない簡単さです。

線分の上を動く点の処理

次に(2)ですが、これは少し頭を使います。
まず、βとβ^2ですが、これを求めるところまでは行けますかね?
数Ⅱでは、複素数と方程式に出てきたω(オメガ)の話が通用しますし、数Ⅲならば複素数を使っても求められます。
求め方は、手書きの解答に載せておきましたが、βとβ^2が、縦に並んだ2点になりますね。

そして、zがβとβ^2の間を動くとのこと。
要するに(1)と似ている設定になるわけです。(直線を動くという意味で)
具体的には、(1)でα=-1にすると、そのままwの軌跡が求められます。

但し、zは直線上全てを動くわけではなく、βとβ^2の間、つまり線分の間しか動きません。
よって、wの軌跡も全体にならない(かもしれない)

という事で、どの部分が削られるかを調べれば、解答が完成です。
その、削り方が難しいんですが、今回はargを使ってます。不安ならば、実際にzに値を代入してみて、wの場所をチェックしても良いですね。

では、手書きの解答をどうぞ

最後、全体の軌跡から、wが通らない所を除外する所が難しいにしても、部分点は大量に取っておきたい問題です。

複素数も頻出ですから、来年の受験生は、要復習です。

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