2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

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2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

2017年は、整数問題が文理共通でした。
簡単だ、簡単だと言われ続けている今年の数学ですが、これは難しかったと評判です。

共役な無理数に気づけ!

僕はこのHPや、アメブロでいつも「解く前に問題文を最後まで読み、読み取れる情報を読み取れ!」と言い続けていますが、この問題は非常に面白い!
解かずに通読しただけで、かなりたくさんの情報を読み取れます。

まずは、対称式。気づきました?
p=2+√5に対して、pのn乗と、-1/pのn乗があります。
大抵こういう時は、共役な無理数になるものなのです。そして計算してみるとやっぱりそうなる。
こういう「パターンの知識」をしっかり積み重ねるのが、数学の勉強です。

共役な無理数ときたら、対称式

そして、共役な無理数が登場したら、対称式がセットで出てきます。

和と積を計算してみてください。
両方とも整数値になるはずです。ということは、対称式の計算がしやすいのです。

この問題は、共役な無理数のn乗の和になってますが、これも対称式を大いに使う問題なのです。

それが、漸化式の利用なのです。

そして、漸化式を作る

共役な無理数のn乗の和が出たら、必ず登場する性質があります。
それが「nにかかわらず整数になる」というもの。
つまり、この問題の(3)の問題のことです。

東大でも過去に何度か出ています。
分かりやすいところで言うと、2003年、1997年、1993年の問題でしょう。
(今後解説をアップする予定です。)

証明の仕方は、漸化式を作って帰納法で証明です。

漸化式の作り方

で、その漸化式の作り方ですが、(2)そのものでした。変な問題に見えて、非常に基礎の積み重ねの延長にある問題です。
n乗の和を、n-1乗の和と、n-2乗の和で表すものですが、いつもの計算の流れ。
この機会に覚えてしまいましょう。

一応、手書きの解答には、2通りの解法を載せておきました。
1つは、模範解答でも載っているような、最短での計算方法で、
もう一つは、面倒で遠回りだけど、絶対に求められる方法です。(pのn乗と、-1/pのn乗を不明量とみなし、連立方程式で無理矢理解いてます。)

(4)は難しい

(4)は最大公約数を求めよという問題。これが、難しかったと評判ですね。
ただし、僕としては「なんで難しいの?」という感じ。

数学ⅠAⅡBⅢで習う項目を頭の中で一度検索しなおしてください。
最大公約数に絡む定理や性質、問題パターンは多くありません。真っ先に思い浮かべるのが、ユークリッドの互除法ですから、むしろ自然な発想です。
(他にも、GCMとLCMを使って、等式を作るタイプもありますが)

(2)で漸化式を求めておけば、an+1と、anの最大公約数が、anとan-1の最大公約数になることが分かります。
そして、漸化式を一つずらせば、anとan-1の最大公約数が、an-1とan-2の最大公約数になり、
またずらせば・・・と、繰り返すと結局a2とa1の最大公約数になります。

難しいなと感じた方は、頭の中の回路で「最大公約数=ユークリッドの互除法」と強く結び付けておいてください。

ということで、手書きの解答です。どうぞ。

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2017年 東大文系数学 第2問(ベクトル・領域図示・面積・図形・媒介変数)

今日は、2017年の東大文系数学の第2問です!

簡単という噂ですが、初手で間違えると痛い目見ます。

詳しい解説は、アメブロの記事へ飛んでください!こちらのリンクです。

手書きの解答を見たい方は、「続きを読む」をくりっくぷりーず。

「2017年 東大文系数学 第2問(ベクトル・領域図示・面積・図形・媒介変数)」の続きを読む…

2017年 東大理系数学 第1問(三角関数・チェビシェフの多項式・二次関数・場合分け・最大最小)

毎日、東大入試数学を更新するコーナー。

今日は、2017年の東大入試、理系第1問です!

詳しい解説は、アメブロのこちらをクリック

手書きの解答を見たい方は、「続きを読む」へGO!

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2017年 東大文系数学 第1問の解説(二次関数、面積、積分、最大値)

さあさあ、これから毎日、今年の東大数学の解説をアップしていきます。

まずは、文系第1問です。

詳しい解説は、こちらのリンクから見れます。

手書きの解答だけ見たい方は、「続きを読む」をクリックしてくださーい。

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2015年 東大文系数学 第4問(確率漸化式、樹形図)

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2015年 東大文系数学 第4問(確率漸化式、樹形図)

2015年東大数学文系第4問解答解説

確率を制する者は、東大を制す

東大入試では必ず「場合の数・確率」が出題されると言われてますが、この年も例に漏れず出ています。
そこで、私が東大志望者には頻繁に言ってる話を一つ紹介しましょう。
場合の数・確率は数Aで習いますし、他の分野との関連性が低いので、東大合格を目指すなら、低学年のうちから場合の数・確率を極めておくのが非常に有効です!

但し、この問題に関しては、僕の説も少し揺るぎます。というのも、サーっと問題文を眺めるだけで、「数列の分野」と絡む事が分かるからです。

まず、問題文を読んで、確率の問題だと見抜けない人はいないと思います。文末が「確率を求めよ」となってますからね。
そして、問題文にnが登場するのもお判りですね。

nが登場したら確率漸化式を疑え

そこで受験生の皆さんは、nが登場した時は、いわゆる「確率漸化式」の問題ではないかと疑いましょう。
nは、数列の一般項を表します。この問題には登場しませんが、Pnが登場する時も同じです。数列の知識がなくても解ける場合もありますが、東大入試なら確率漸化式だと決め打ちして考え始めても良いと思います。

そして、確率漸化式の問題の解答は、上手に遷移図が描ければ終わりです。
この問題の遷移図は、後で貼り付けた手書きの解答の画像にありますので見てほしいんですが、簡単に言えばn回目とn+1回目の関係性を図で表したものですね。
この図を基にして漸化式を立てて解いたら、自然と答えが出てしまうっていうのが定石のパターンです。
遷移図の書き方を何問か練習して、必ず身に着けるようにして下さいね。

では、手書きの解答をどうぞ!!
2015年東大数学文系第4問解答解説

補足説明としては、表が出た時の一文字目のAと二文字目のAを区別して考えるのが少し難しいかもしれませんね。
『混乱するときは場合を分ける』というのは、数学のセオリーですので、しっかり復習をお願いします。

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2015年 東大文系数学 第3問(円と直線が接する条件、角度を設定、相加相乗平均)

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2015年 東大文系数学 第3問(円と直線が接する条件、角度を設定、相加相乗平均)

2015年東大数学文系第3問解答解説

東大で大好き♪図形と座標の問題

問題文が長いような気がしますが、ほとんど図の説明です。

問題自体は非常にシンプルです。
こんな風に平面図形が与えられて、最小値を求めよだの、面積を求めよだのっていう問題は、路線は非常に単純。
平面図形を見ながら何本か立式して、連立しながら、求める値を計算していくだけです。
こういうの東大好きですね~。

円の接線が登場すると、パターン化しづらい

ただ、この問題の難しいところは、円の接線がたくさんあることですね。
xy座標に円と接線が登場する分野といえば、数Ⅱの「図形と方程式」ですが、この分野って先生でも解法を整理して教えるのが結構難しいんですよね。
特に、円と接線が絡む問題は、パターンが分岐しまくってて、受験生も混乱しがちな所です。本当はこの辺りを整理して書きたい所ですが、そこまですると大変なので、別に機会に任せます。

セオリーが通用しない

そして、さらに難しいところは、セオリー通りに解いても通用しないところでしょう。図形と方程式の分野で登場する条件を駆使すると、計算が複雑になりすぎて途中で挫折します。
僕も、何とか解法を提案出来ないかと、あれこれ計算してみましたが、どうにもこうにも、解説するに値する解法が見つかりませんでした。

なので、ちゃんと勉強してきた受験生ならば、一度セオリー通りに解いて挫折して、方針転換してから正答に辿り着く問題です。一応、セオリー通り解いたらどうなるかというのを、書いてみましたので、読んでみて下さい。。
2015年東大数学文系第3問解答解説

文字でまとめると、
①円と直線の接する条件は、「判別式が0になる」か、「直線から中心までの距離が、半径に一致する」のどちらか。
②2円の接する条件は「r1+r2=中心間の距離」
これに加えて、直線と中心を結んだ線分が直交する条件を組み合わせることによって、「同一点で同一直線に接する2円の条件」を作っています。

このまま計算すると、複雑な式が出てきて困って終わります。
しかし、セオリー通り勉強してきた受験生ほど、正解を導くために必要な挫折であって、壁にぶつかったからこそ方針転換を考えられるわけです。

発想を広げて、平面図形を思い出そう

さて、少し発想を広げて、セオリー以外に何か条件がないかと探すと、円と接線が登場する分野として、数Aの「平面図形」が思い出せますね。

良く見ると、x軸とy軸と直線lという、3直線の間に2つの円がスッポリ入っている形です。
2本の接線に挟まれる円の条件をここで習うはずです。具体的には、同じ長さの線分と、同じ角度が登場するという条件ですね。

この角度に注目して、さらに求めるものが直線の方程式、つまり直線の傾きだという事に注目すると、座標中に角度を設定するという発想になります。

といっても、恐らく一瞬で思いつける方はほとんどいないのではないでしょうか?もちろん、たまたま思いつく事はあるかもしれませんが、結構難しいと思いますね
しかし、この発想に辿り着ければ、あまり難しくありません。では、手書きの解答をどうぞ。
2015年東大数学文系第3問解答解説

相加相乗平均は思いつかないとダメ

途中で「相加相乗平均の関係」を、応用的に使う場面が出てきますが、これは思いつかないといけません。

というのも、なぜなら求めるのが、8r1+9r2の最小値です。
最小値を求めには、大きく二つの方法しかありません。
①グラフを書く
②特殊不等式の利用(相加相乗、コーシーシュワルツなど)

このうち、グラフを書くという説はあまり有力ではありません。
r1とr2という、変数が二つ登場しますし、傾きも登場するので微分が通用しないし、通用するように一文字に統一するのが大変そうです。

角度を設定して、三角関数を利用すると、数Ⅲの範囲になりますから、相加相乗が有力候補になります。
なので、東大受験生なら、どこで相加相乗を使うんだ??と思いながら解けるようになってほしいですね。最大最小問題なら、相加相乗は自然な発想です。
ということで、今回の解説は終わりです。

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2015年 東大文系数学 第2問(2次関数の存在条件、解の配置、1次方程式の存在条件、領域図示)

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2015年 東大文系数学 第2問(2次関数の存在条件、解の配置、1次方程式の存在条件、領域図示)

2015年東大数学文系第2問解答解説

珍しい設定の問題

二次関数、領域図示、積分なんかの融合問題ですね。問題文を一読しただけでも、それがわかります。

この問題、ちょっと珍しいのが、『条件(ⅰ)または条件(ⅱ)を満たす』という部分ですね。こういう風に条件が二つ以上書かれている時、 『条件(ⅰ)かつ条件(ⅱ)を満たす』となるのが多いと思うんですが、珍しく「または」の条件で考えさせています。

僕もはじめ、「かつ」の方の条件で解き進めて、途中で変な結果が出てしまいました。気を付けて気下さい!

条件2は簡単♪

パッと見ただけでは良くわからないでしょうから、とりあえず手を動かして、図示していきます。
すると、条件(ⅱ)の方は非常に簡単だというのが分かるでしょう。要するに、y=-xの直線の、AとBの間ですからね。これは問題ナシ。

条件1 2次関数の配置

扱いづらいのは、条件(ⅰ)の方でしょう。
②2次関数の頂点のx座標の絶対値が1以上
①その2次関数がAPBを通る。
という、二つの条件を満たさなければなりません。

但し、Pの座標は与えられてませんよね。
そして、Pの存在する領域を求めよという事は、最終的にPの座標の条件を求める事になるわけですから、ここでは点Aと点Bを通るような条件を立式すればよい、という事になります。
よって、y=ax^2+bx+c という、いつもの式を立てて、AとBを代入すればOK。
そして、軸の絶対値が1以上という不等式を立てておいて終わり、ということになります。

2次関数の存在条件は解の配置を使うのが定石

そして、そんな2条件よりも、この問題で受験生がつまづいてしまうポイントへ移りましょう。それは、2次関数の存在条件ですね。

この問題の場合は、条件を満たす2次関数の存在する条件を求めるという事なんですが、『2次関数の存在条件』と言われても、高校の教科書にはそんな用語は出てきません。

では、どうやって解くのかと言うと、たいていは解の存在条件です。
文系の受験者であれば、数Ⅰの2次関数の分野でやった、判別式とか、解の配置の問題を思い浮かべて下さい。

判別式であれば、解が少なくとも一つ以上存在する条件は、(判別式)≧0ですよね。
解の配置の問題でよくあるのは、「異なる正の2解が存在する条件」が、「判別式が正、かつ、軸の位置が正、かつ、境界のy座標が正」と3式を立てる問題です。
これらを利用して、「解が存在すれば、2次関数も存在する」という論理に持ち込んで解くわけです。
※解の配置を体系的に学ぶ方法に関しては、こちらの記事をご覧ください。2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!

1次方程式の解の配置の問題

しかし、この東大入試の難しいポイントは、上の二つのいずれでも解けないことですね。いや、難しいというより、本当は簡単なはずなんです。だって、この問題は1次方程式の解の存在条件ですから。

でも、普通の高校生は、判別式とか、解の配置に慣れ過ぎていて、もっと単純な1次方程式の解の存在条件の方が難しく感じてしまうようです。

実際の式に関しては、手書きの解答を見てもらえばわかりますが、左の列の下の方を見て下さい。
2015年東大数学文系第2問解答解説

1次方程式の解の配置なので、1次の係数に注目

a(s^2-1)=s+t とありますが、このaが解を持てば良いんですね。
a^2が出てこないので1次方程式です。という事は、aの係数が0の場合と、0でない場合に分けるというのは、普通の発想なのですが、いかんせん慣れていないので、ここでストップしてしまうようです。

こういう基本的な所をキチッと押さえておくことが非常に大事です。中学と高校の数学の教科書って、体系的にまとまっているように見えて、別に体系的にまとまってません。単元ごとに詰め合わせてあるだけの福袋みたいなものと言えば良いのか。

このあとは、領域図示と面積計算ですが、計算が複雑なだけで、やってる事は基本なので割愛させて頂きます。
関数の存在条件の問題は、入試で非常に良く出ますので、是非押さえておきましょう。アタフタしないように、立式して「解の存在条件に持ち込む」という流れを、身に着けて下さい。
※解の配置や領域図示に関する解法を体系的に学びたい方はこちら
(2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう! )

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2015年 東大文系数学 第1問(真偽判定、常にの不等式、有名不等式)

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2015年 東大文系数学 第1問

2015年東大数学 文系第1問 解答解説

珍しく真偽判定の問題

珍しく真偽判定の問題ですね。
命題2つに関して真偽の判定をしろとの事ですが、どうやら二つにあまり関連性はなさそう。つまり、いわゆる誘導になってなさそうですから、出来そうな方から解けば良いでしょう。
※命題Aは正の整数で、命題Bはただの整数だし、命題Aはnだけに対して、命題Bはnとmが登場するので、ぱっと見で関連性はなさそうだと判断できます。

さて、真偽の判定の仕方ですが、これは「反例が存在するかどうか」です。
反例が存在すれば偽、判例が存在しなければ真です。
これを頭に置いて、命題Aから見ていきましょう。

反例を探す問題は「常に」と言い換えよう

命題Aの不等式は、まさか分母に26を置いたままで計算する人はいないでしょうから、とりあえず分母を払いますね。
すると、n^3-26n^2+2600≧0 となります。

ここで真偽判定のチェックの仕方を思い出してください。反例が一つでもあれば偽で、反例が一つもなければ真です。
この「反例が一つもなければ」という言葉の代わりに「常に」という言葉を使いましょう。
そして「常に」という言葉は超キーワードなのです。

常に + 不等式 は最大最小問題

まずは、ポイントの説明からしましょう。
「常に」と「不等式」の組み合わせを見たら、最大最小問題に切り替わります。

よく数学の先生が使う例えを紹介しますと、
「クラスの最低点が60点以上だ」と言ったら、「クラス全員が60点以上だ」ってわかるのと同じです。

これをこの問題に応用しましょう。
「常に」 n^3-26n^2+2600≧0 が成立するかどうかを問われていますので、左辺の最小値が右辺を超えるかどうかを調べることになります。
左辺の式を見るとnの3次式。3次式の最大最小の求め方は、3次関数と見てグラフを書くのが、これまたセオリーです。(二次式だったら色々と武器があるのですが)
という事で、あとは左辺の3次式のグラフを書けば解けるな、という目途が立ちます。

定義域が整数と、定義域が実数の問題は違う

ちなみにnは整数値ですが、3次関数は定義域が実数です。
だから、左辺のグラフを書いた後に、一番近くの整数の点を探さなければならない事に注意して下さいね。
手書きの解答を見ても、最小値はx=52/3の時なんですが、n=52/3を代入することは出来ませんから、一番近くの整数であるn=17で解答を進めています。

偽の証明は反例だけ書けばよい

また、偽の証明は反例を示せば良いので、解答用紙にはあまり色々書かなくて良いです。
「命題Aは偽である。反例はn=17である。」
とだけ書けば良いんでしょうけど、あまりにも簡素過ぎると感じたなら、n=17の時の計算結果を少し書いておけば安心です。
何にしろ、3次関数のグラフの辺りは、解答用紙に書かなくて良いと思います。n=17を導くまでの思考回路では必要ですけどね。
では、手書きの解答をどうぞ。
2015年東大数学 文系第1問 解答解説

命題B 文字を減らそう

では、命題Bへ移りましょう。
基本的な考え方は同じですが、変数が多いですね。nとmとlが登場します。
5n+5m+3l=1 の時に 10mn+3ml+3nl<0 を示せという事です。
等式が一本あるので、文字を一文字減らしてしまいましょう。

1式目も2式目も、nとmは対称性があり、lだけ特殊な使われ方をしてますから、lを消去するのが自然でしょう。
1式目を、3l=・・・ の形に直して、2式目の左辺に代入します。

すると、 m‐5m^2+n-5n^2 という、mとnが独立した形になります。
という事は、m-5m^2<0だけ証明すれば、同時にn-5n^2<0も証明されたことになりますから、やはり対称性を保ちつつ変形したのが正解でした。

有名不等式を覚えよう

さて、mと5m^2の大小関係ですが、これは有名な不等式「m≦m^2」が使えそうですね。
もちろん、使える時のmの条件もありますから、この辺りを細かく丁寧にチェックして下さい。上手く使えば、これで解答終わりです。

ちなみに、この不等式の事を知らない受験生も多いと思うので証明や補足も載せましたし、この不等式を思いつかなかった人のための解答も載せましたので、参考にして下さい。
細かい事は、手書きの解答をご覧くださいませ。
2015年東大数学 文系第1問 解答解説

まとめ

整数の最大値、最小値の扱いは、あまりやった事がないかもしれませんが、関数のグラフを書いて、最大値や最小値付近の整数を調べる方法は、東大で過去にも登場しているので押さえておいて欲しいですね。

また、有名不等式もいくつか教科書や参考書に載っていますから、それもこの際、一度まとめて調べておくのも良いでしょう。
特殊な不等式のくくりでは、相加相乗、コーシーシュワルツ、三角不等式、絶対不等式、実数条件・・・と結構いっぱい登場します。

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2016年 東大理系数学 第6問(対称性、切断で次元を落とす、回転対称性)

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2016年 東大理系数学 第6問(対称性、切断で次元を落とす、回転対称性)

 

問題文は短くシンプル。でも、2016年で一番難しいとされている問題です。(東進によると)
僕個人としては、第5問の方がイヤだって感じるんですが、第5問と第6問が解きづらいというのは、揺るぎないでしょう。

空間図形の体積を求める問題2つのポイント

テーマは空間図形の体積を求める問題。いわゆる「求積問題」です。
東大は空間図形の問題が大好きです。良く出ます。僕が高校生の頃は、指導してもらってた数学の先生に、空間図形の問題を解かされまくってました。

空間図形の求積問題では、大きなポイントが二つあります。
①対称性を考えよ
②切断して断面を考えよ

空間図形の体積を求める問題 ポイント①対称性

まず①の対称性に関して。
人間の頭っていうのは、一度に色々考えられません。複雑なものは苦手ですし、大きなものや、長いものも苦手。平面より空間が難しく感じるのは当然です。

そこで、数学の先生がよく注目させるのが対称性。
図形においての対称性というのは、一部の特徴が、他の場所にも全く同じように表れるという事です。
具体的には2種類あって、線対称と点対称。中学1年生の幾何で習います。

空間図形のように、イメージし辛く複雑な図形の時には、かなりの確率で対称性に注目すると簡単になります。全体を見る必要がなくなり、一部だけに注目すれば良くなります。

空間図形の体積を求める問題 ポイント②切断して次元を落とす

そして②の切断に関してです。
まず最も大切なことを言いましょう。切断というのは次元を一つ落とす行為です。
立体を切断すると、断面は平面になりますよね。3次元が2次元になるということです。
ちなみに、移動は次元を上げる行為です。点を移動させると線になり、線を移動させると立体図形になります。

回転対称性が出たら、輪切りして円にせよ

今回の問題は、点対称の発展版の、回転対称性があります。これに気付けば、かなり問題が非常に簡単になります。
そして回転対称性があるということは、輪切りにすると必ず円が出てくるという事です。その円の面積を求めて、積分すれば答えがでます。
という事はその円の半径さえ求められれば良いので、どうすれば最も合理的な方法で切断出来るか考える、という流れになります。

ここまでを踏まえて、手書きの解答をどうぞ。

読んでわかる通り、私はx-z平面で切断しました。これで、空間図形の問題が平面図形の問題に早変わりです。
こうして、問題を簡単にしていくわけですね。

点Pを設置して立式

さて、立式ですが、まずは点Pを設置するのは絶対です。
積分ですから動点P(X,Z)を設定すると、なんと求めたい円の半径も、点Pのx座標そのものですね。という事で、インテグラルも作ってしまう。あとはXとZの関係式を作れれば良いわけですね。

手書きの解答のx-z平面を見て下さい。
点P(X,0,Z)が設置してあって、C(0,0,1)が定点。これで直線が決定します。
あとは、長さ2をどのように表現するかが問題ですが、解答のようにPAの長さをを2まで動かすという事で処理出来ます。

この辺りの立式の仕方が少し難しいかもしれませんが、良く考えれば合理的な立式の仕方だと思いますので、復習をして下さいね。

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2016年 東大理系数学 第5問(具体的に調べる、スケール、整数の存在証明、ガウス、背理法)

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2016年 東大理系数学 第五問(具体的に調べる、スケール、整数の存在証明、ガウス、背理法)

とても難しい問題

これは非常に難しいですよ。予備校の難易度の発表では第6問が一番難しいってなっていますが、僕としてはこの問題が一番キライ。
というのは、僕が長い問題文が嫌いというのがあるのかもしれませんが(笑)

ちなみにこれ、一読でどんな問題か分かった人っているんですかね?僕は何度か読んで、計算し始めたくらいで、やっと意味が分かりました。
一読で分かったとしたら、相当なレベルでしょう。多分その人、東大に受かります。

なぜ難しいかと言うと、具体的な数字が登場しないからです。言い換えれば、非常に抽象的な問題だという事です。
具体的なことはわかり易く、抽象的なことは理解づらくなるのが、普通です。数字の計算は出来ても、文字式の計算は難しいのです。

よく見てみて下さい。
2とか3とか、具体的な数字が登場しませんよね。
10は登場しますが、これは桁数を表す数字なので、ちょっと特殊。だから例外です。

(1)から小数第k桁ですから、いきなり一般的な小数の問題です。
普通(1)では、具体的な数字を当てはめさせて、法則を見破らせることが多いんですが、それもしない。
という事で、とても難しい問題なのです。

抽象的な問題では、具体的な数字で試そう

だからと言って、具体的な数字で試してはいけないわけではありません。
数学の定石「具体的な数字を代入して、イメージを掴みなさい」は、受験数学でもお馴染みのテクニックです。
東大入試の数学は、冊子をめくって左半分は問題文、右半分は計算用のスペースですから、そこを使ってアレコレ計算すれば良い。

という事で、私も例に漏れず、小さな値を代入してみました。
では、手書きの解答ですが、左半分をご覧ください。

簡単で小さい値という事で、0.12を代入してみました。(さすがに0.1じゃ、桁が少なすぎてマズイでしょうね笑)

移項して、二乗して・・・と計算を進めると、nとして求められたのは10025と10026です。小数ばっかりの問題だと思いきや、10000以上の数字が登場。中々面白いですね。

僕は、ここまでで方針が見えたので止めましたが、分からなければ他にも何個か代入して法則を見つけて下さい。0.345とか、0.4213とか、何でも構いません。

やってみるとわかりますが、どんな数字を代入しても、nは2個求められるはずです。そして、必ず桁数が大きい数字になります。
もっと言えば、10000…??のように、一番上の位の数字は1で、その後0がいくつか続く。(場合によっては続かないかも)
そして、最後の方0に以外の数字が登場するような数になると思います。

ポイントはスケール(桁数)

という事で、この問題のポイントを発表しましょう。これはスケールの問題です。

スケールという言葉は一般語として日常でも使いますね。「スケールの大きい話」みたいに使います。
しかし、理系でスケールっていう言葉が出てきたら、主に桁数を表します。
例えば、アリはミリメートルのスケール、人間の体はセンチメートルのスケール、みたいに使います。(本当は、10の3乗のスケールとか、10のマイナス5乗のスケールっていう使い方ですが。)

スケールでnを絞り込む

与式を見て下さい。
左辺は1より小さな小数ですね。右辺は左辺の小数第k位に1を足した数ですから、これも1より小さな小数です。

では真ん中はどうでしょう。
ルートnの値はわからないとして、10のk乗を引いています。10のk乗って、0がk個並ぶような、物凄く大きな数ですよね。
要するに、左辺と右辺は小さな数なのに、真ん中だけスケールの大きな計算をしているっていう、変わった式なのです。

この式で、nを求めようとすると、10のk乗を移項して、全体を二乗する作業になります。すると左辺と右辺に3種類のスケールの項が登場するのがわかりますでしょうか?
(ちょっと面倒ですが、手書きの解答と見比べて読んで下さい。)

①10の2k乗のスケールの数(0が2k個も続く様な大きな数)
②1とか10とかそれくらいのスケールの数
③物凄く小さな小数

の3種類です。要するに、大中小の3種類。
しかも、①と②はほとんど同じ値で共通していて、③だけコマゴマした計算になります。

一方で、求めろと言われているのはn、つまり整数ですよね。スケール感で言うと、①と②のスケールだから、③のコマゴマした小数なんてどうでも良いのです。

小数なんて、どうせ0と1の間の数なので、挟んでしまえば消えてしまいます。こうして、ざっくりとした計算をしながら、nの候補を絞り込んでいくのが、大きな方針です!
ということで、あとは先ほどの手書きの解答をご覧ください!

(2)整数の存在証明

では次に(2)の話ですが、これは(1)の延長。ほとんど同じ話なので、手書きの解答をいきなりどうぞ。(左半分です)

(1)と違うところは最後の候補の絞り方です。
整数の存在証明のために左辺と右辺の差を取るっていう、ちょっと変わった方法を使っています。珍しく感じるかもしれませんが、整数の存在証明の時にはたまに使うので是非ここで覚えて下さい。
※近い概念としては、連続する整数のどちらかには必ず2の倍数が含まれるとか、連続3整数のうち一つは3の倍数が含まれるとか。十分広く範囲を取れば、どこかに一つは含まれるっていう発想です。

(3)誘導ではない問題は、作戦が大事

最後に(3)。
普通、こうやって問題文が続いてくると、(1)とか(2)が誘導になっているんですが、全く誘導になっていないという、珍しい問題(笑)

僕はいつも生徒に
「数学は全て誘導問題!あっ、これ誘導だったんだ、て気付いてはアホ」
と言っているのですが、この問題は誘導と関係ないので通用しません。

しかし、こういうときには作戦がポイントになります。
私の記事では、作戦とは「一つの科目の試験を攻略するために必要なこと」を表していますが、試験において作戦の最も大切な考え方は
「計算を始める前に、最後まで通読してから解く。」
です。
ほとんどの受験生が、学校や予備校で作戦の概念を習いません。「通読してから解け」なんていう、基本中の基本の動作すら習わず、1問ごとの解法ばかり習います。だから、(1)から順序良く解く人しか生まれないのです。

すると、(1)が解けないと分かった瞬間に、(2)を読まずに諦める人になってしまいます。
試験は加点式の計算をしますから、(1)が解けなくても(2)が解ける問題が一定の確率で出題されます。
だから、解いた問題に関しては点数がもらえます。

この東大の問題に関しても、(主観ではありますが)(1)や(2)より解きやすかったように感じました。
ということは、やはり(1)や(2)が解けなくても(3)読んでおいた方が得する可能性は高いでしょう。この記事を読んでいる受験生には、最初に通読して問題を解き始めるクセをつけてほしいものです。

ガウス記号は整数部分

では(3)の解説をしましょう。

まず、ガウス記号が登場しています。
苦手にしている生徒が多いですが、そのほとんどは直感的な理解ができないからでしょう。確かに、「xを超えない最大の整数」なんて言われてもピンときません。
一発で直観的にわかる方法を教えましょう!それは、ガウス記号は(中身が正のとき)ただの整数部分です。

背理法で証明

そして、もう一つ。背理法が連想出来れば、勝負ありです。
この問題で、なぜ背理法が思い付くかというと「存在しないことの証明」だからです。

「存在しないことの証明」の場合、「存在すると仮定して矛盾を示す」というのが定石です。
練習問題を出しておきましょう。
「直線lと、直線l上にない点Pがある。点Pを通り、直線lに平行な直線は1本しか存在しないことを示せ。

背理法で有名なのは、ルート2が無理数であることの証明ですが、この東大の問題もほとんどそれと同じで解けます。
という事で、さっき貼りつけた、手書きの解答の右半分をご覧ください!

むずかしい問題だったので、長くなってしまいました。
この問題であれば、半分取れたら結構凄いレベルでしょう。(3)だけ解けたって人も中にはいたのかも。

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2016年 東大数学 理系第4問(三角形をなす条件、鋭角三角形の条件、複素数平面)

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2016年 東大数学 理系第4問の解説

文系第1問と比較

非常にシンプルな問題ですね。問題文が短くて、主張もシンプル。ちょっと京大ぽい感じもします。

問題を読んで、パッと理解出来ない部分は恐らく1点でしょう。すなわち「鋭角三角形をなす」という部分。問題文が短いですから、この条件をどう立式するかがポイントですし、これさえクリア出来れば満点の問題です。

さて、ここで思い出してほしいのは、文系の第1問。理系の受験生でも文系の問題はとても勉強になるので、ぜひご覧ください。
私が書いた記事はここをクリック!
文系の第一問では、xy座標に3点与えられていて、鋭角三角形をなす条件を求める問題でした。こちらは複素数平面ですが、非常に似ていますよね。

鋭角三角形をなす条件

理系の問題という事で、文系の時よりちょっと詳しく書きましょう。

鋭角三角形をなす条件というのは、高校数学の教科書のどこにも明確に登場しません。つまり、知っている条件を組み合わせて使う事によって、鋭角三角形の条件を構築しなければならないという事。ということで、少し難しいかなぁと思います。

とは言いつつも、近い条件は教科書に存在します。それが「三角形が鋭角になる条件」です。
どう違うかというと、
教科書に載ってるのは「鋭角になる条件」だけ調べればよいのに対して、この問題で求めるのは「3点が三角形をなす条件 かつ 鋭角になる条件」です。

ということで、二つをまとめましょう。

3点が三角形をなす条件

では、1つ目の3点が三角形をなす条件をまとめましょう。
下の二つを同時に満たすことです。
・3点のうち、どの2点を選んでも同一の点ではない(3つが全部バラバラの場所にある)
・3点が、同じ直線上に並ばない
です。この2条件を両方満たしていれば、鋭角かどうかはともかく、三角形になります。

三角形が鋭角をなす条件

今度は、三角形が存在するのが前提として鋭角三角形になる条件をまとめましょう。
まず、鋭角三角形というのは、「内角のうち最大のものが90度未満のもの」が定義です。そして角度の計算方法として、よくあるのは余弦定理とベクトルでしょう。ということで
・三角形の最大の内角に対して、余弦定理でcosが正になる
・三角形の最大の内角に対して、ベクトルの内積が正
となります。

但し、今回の問題はどれが最大の内角になるかわからないので、
∠Aが90度未満 かつ ∠Bが90度未満 かつ ∠Cが90度未満
という条件で使います。
この辺りの細かい条件の変換も難しさを増しますね。

複素数の偏角argを使う

しかし今回は複素数平面ですから、argを使おうっていう発想が出るのです。
教科書や参考書に、argを使って鋭角三角形の条件を作る問題のパターンは載ってませんから、これも連想が難しいところです。
とは言っても複素数平面では、余弦定理やベクトルの内積が使いづらいでしょうから、自然といえば自然なのかもしれません。

複素数平面は、習うのが高校3年生の最後の方になる場合もあるでしょうから、扱いに慣れずに入試に突入するかもしれません。
僕も現役の頃は、比較的苦手な分野だったのですが、この問題は比較的簡単な部類なのかもしれません。
条件もシンプルだし、計算も簡単です。15点以上を狙えます。

最後にもう一度言っておきますが、鋭角三角形の条件を、いかに自分の頭の中から引っ張り出せるか。この応用が問題のポイントでした。
文系第一問と合わせて復習しておいてくださいね。では。

 

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2016年 東大数学 理系第3問(空間図形、ベクトル、三角形の面積)

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2016年 東大数学 理系第3問

問題文も短く、図形の作り方も求めさせることもシンプルな問題ですね。これ、はっきり言って得点率高いと思います。恐らく、多くの受験生が半分以上得点したのではないかと思います。
そういう根拠は何かというと・・・

難しいポイントがない

というのも、難しいポイントが計算のみだからです。

普通、数学の問題っていうのは、問題文を読み解くのが難しいとか、立式するまでが難しいとか、場合分けが煩雑だとか、様々あるのですが、この問題に関してはそういう難しいポイントがほとんどありません。

問題文を読んだ段階で最後まで方針が見えてしまいますし、使う公式も分かってしまう。敢えて言えば、面積を求める公式は実際に計算してみないとわかりませんが、xy平面上の面積を求めるだけなので、それほど面倒にはならないだろうな、とわかります。

そのあとの微分も、面倒かもしれないけどやれば出来そう。とにかく丁寧に計算を進めていけば得点出来るだろうなと予測が付きますから、真っ先に手を出して良い問題です。
そして東大理系の受験生であれば、この問題を見た時に、このくらいまでは読めるようになって普通だと思ってください。

東大数学は空間の問題が良く出ます。難易度はまちまちで、難しい場合は非常に難しくて、誰も解けないようなものもあります。
しかしこの問題は、絶対に点数を取りたい問題です。
15点以上は必須。ちょっと時間をかけても計算ミスをのチェックなどをして20点を狙いたい問題でしょうね。
近年は、受験生の計算力を試すような問題がたくさん出ますから、日ごろから複雑な微分の計算なんかは、訓練を怠らないようにしましょう!

ということで、あまり解説する事がないので、手書きの解答を貼り付けて終わらせてしまいます。

問題の解き方に関しても、ほとんど難しい所がありません。とにかく最後の微分計算を間違えないようにするだけ。
丁寧に図を書いていけば、直角三角形だっていうのも気付きますね。完璧に解けるようになるまで、しっかりと解きなおしして下さい。

では、今回は以上です!

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2016年 東大理系数学 第1問(不等式の証明、自然対数の底、単調増加関数)

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2016年 東大理系数学 第1問(不等式の証明、自然対数の底、単調増加関数)

こういう大小を評価する問題はよく出ます。
僕が現役生のときを思い出すと、こういう不等式の問題はイヤでした。きっとそういう受験生、今でもたくさんいると思います。

しかし東大とは言っても、数学です。いやもっと言えば、受験数学です。
受験数学にはセオリーがあります。
セオリーでわからなければ、定石の手段でも良いですし、パターンでも良いです。
そういうセオリーをたくさん知っていて、正しい時に正しく使える人が勝つというだけのシンプルな世界なのです。

3つの大小評価の扱い方

では、この問題はどう考えれば良いか。
証明したい式を見てもらうと、(仮に細かい部分の意味が分からなくても)3つの値が二つの不等号でつながっているのがわかります。
すなわち、A<B<C となっているということです。

そして一つ目のポイント「A<B<C」というのは、「A<B かつ B<C」と同値です。同値というのは数学的に全く同じだということ。そして、この事実は証明なしに、いつでも使って良いものです。
3つの値を同時に比べると煩雑なので、2つの比較を2回やりましょう。

次に、左側の二つ、A<Bの証明に移りますが、これは数Ⅱで習う「不等式の証明」の範囲を丁寧に使うのが、基本的な考え方です。
この問題を証明するのにはタマタマ必要ありませんが、復習しておいて損はないですよ。何しろ、不等式の証明は頻出中の頻出です。
簡単にまとめておくと、不等式の証明には、主に4種類の手段があります。

不等式の証明のセオリー

不等式の証明にはセオリーがあります。A<Bを証明したい時には、
①B-Aを計算していって、正を示す
②A>0かつB>0の場合なら、B^2-A^2を計算して正を示す。
③特殊不等式の利用(相加相乗、コーシーシュワルツ、三角不等式など)
④面積の比較(数Ⅲの積分の最後に登場する手法)
の4つがあります。

自然対数の底の定義

では、この問題のA<Bを証明する方法を、具体的に検討していきましょう。この問題の最大の特徴は、Bの部分、すなわち真ん中がe(自然対数の底)という、ただの数字になっている事です。
端的に言えばこれ以上いじれないという事です。平方完成したり、微分したりという手段は通じません。

だから、単純に左辺とeの比較をすれば良いという、シンプルな解法になります。
そして左辺を見るとeの定義に似ています。というか、発散させればeになる形そのものです。ご丁寧に、eの定義式では、tを使っているのに対し、証明したい不等式ではxになっています。

これは明らかにヒントですよ。
xで連想する事と言えば、当然関数です。よって、左辺のグラフを書いて最大値がe未満だと言えれば、証明完了です。

では、手書きの解答に移りましょう!

単調増加、単調減少を調べると・・・

この問題のポイントは、左辺は単調増加で極限値がe、右辺は単調現象で極限値がeだという事を示す問題です。
実は、左辺が単調増加だということは、有名な事実ですから、知っておいてほしい所です。もちろん証明方法も含めて。

算が煩雑なのが気になりますが、正直言って東大数学レベルから言えば、決して難しくありません。出来れば20点満点を狙いに行きたい問題だと思います。
ちなみに、手書きの解答では、前半戦と後半戦という言葉で分けてますが、どちらもやることはほとんど同じです。前半戦が解ければ、後半戦も解けます。
ということでおしまいです。

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2016年 東大文系数学 第4問(小学生でも解ける、整数、合同式)

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2016年 東大文系数学 第4問(小学生でも解ける、整数、合同式)

東大は整数問題が大好き

一見、数列の問題みたいですが、ほとんど数列の要素はありません。整数の問題です。

整数は東大で頻出です。そして東大対策で最重要項目です。
その理由を三つ、
①毎年確実に出題される
②高1で習う(2年以上対策が出来る)
③他分野との絡みが少ない(から対策がしやすい)
この3つは「確率」も同時に持っている性質です。

東大は昔から整数問題が大好きです。
僕が現役生(18歳)だった頃には、高校の教科書に整数の範囲がなかったにも関わらず、整数の問題が出題されてました。
そのため、学校の先生や塾の先生に、整数を教えてもらいながら、何とか対策したものです。
そんな思い出話はどうでも良いとして、今も整数は毎年のように出題されています。

③に関しても、比較的他分野との絡みが少ないのは、「場合の数・確率」と共通していますが、整数問題の方が、やや難しい問題が出題されやすかったり、他分野と絡みやすかったりします。
また、「場合の数・確率」を先に履修する高校が多いので、私は「場合の数・確率」を優先して対策するように指示しています。

とは言え、整数を徹底的に極めるのも、東大数学においては非常に有効であることには違いありません。
なにせ「場合の数・確率」と「整数」を極めてしまえば、それだけでほぼ確実に、東大数学の合格点を取れてしまいます。
闇雲に問題集を端から端まで勉強するのではなく、出やすい所を狙って勉強するのは効果的ですから、是非参考にして下さい。
ちなみに、このHPでは確率と整数の過去問を優先して解説をアップしているので、どうぞご覧くださいませ。

全体的に難易度は低め

では、具体的に問題の解説に移りましょう。

この問題も、比較的解きやすい部類でしょう。
(3)は、ややこしいかもしれませんが、少なくとも(2)までは満点で切り抜けたいところです。それくらい、東大入試にしては簡単です。
恐らく(2)までで、20点中で10点以上は得点が与えられると思いますので、そこまでは取りましょう。

(1)とても簡単

まず(1)は、はっきり言って簡単です。簡単すぎます。
問題文の表記は、n乗を使ったり、数列の記号を使ってますが、問われている内容は中学入試レベルです。中学入試の先生に聞いたところ、同じような問題が出題された事があるそうです。

しかも答えがあってれば、満点をもらえると書いてますから、これは落としてはいけない。焦っていようが、この問題が解けずに東大に入りたいと言っても、通じません。

合同式をマスターしよう

手書きの解答に書いておきましたが、余りの問題は原則として合同式を使いましょう。今は教科書に合同式が載ってますから、堂々と解答に書いて良いです。
合同式をあまりちゃんと教わらずに東大受験をしようとしている方は、今すぐ先生に聞きに行って下さい。その時間を投資する価値はあります。はっきり言って合同式を使わずに整数を得意にすることは不可能です。

(2)これも合同式を使えば簡単

また(2)は記述する義務がありますが、聞かれていることは(1)と同じです。
いや、むしろ(1)より簡単かもしれないくらいです。
結局、2つしか場合分けがないわけですから、記述の仕方に余程のミスがない限り得点出来ると思います。これも、満点を取って普通のレベルの問題です。(だって、中学入試レベルですから)

(3)混乱しても丁寧に

そして本丸の(3)ですが、これは頭が混乱しますね。
実際、僕も試験会場で混乱してしまいました。ちょっと冷静に考えれば出来そうなものなんですが、時間勝負をしていると、どうしても本来の力は発揮できませんね。修行が足りません。

笑い話として聞いてほしいんですが、僕は東大入試の数学の時間の最後の最後にこの問題を解いていました。
しかし試験には魔物が住んでますね。
なぜか「3のn乗が奇数になる」ことに気づかず、証明しようとしてドツボにはまって時間終了。
冷静になったら間違えないことも、試験だと気づけない。怖い怖い。
今ではネタになってますから良いとして、みなさんは注意してください。

(1)(2)が誘導

さて、この問題、まず明らかに(1)と(2)が誘導になっています。というか、全ての数学の問題は誘導なんですけど、この問題は露骨に誘導です。
恐らく、(1)と(2)の答えで出てきて、1か3か7か9のどれかが答えなんだろう、という所までは分かるかしれませんが、ちゃんと記述しようとすると、ちょっと大変かもしれませんね。

(X10を10で割ったあまりだから、3のX9乗を10で割ればよくて、てことは、X9を4で割れば良いから・・・)
と考えているうちに、混乱してしまう人も多かったことでしょう。

こういう時は、X1から順にX5くらいまで考えて、その形跡を解答欄に残しておくことも一つの手段です。考えた形跡が認められれば、1点でも2点でももらえるかもしれませんが、書かないと絶対に0点です。

最短ルートで解答を書くと、手書きの右下の赤い枠の中だけで、満点解答が書けてしまうんですが、いきなりこれを書くのは難しいでしょう。いくつか具体的な数字で試しても良いので糸口を見つけて下さい。
では、手書きの解答をどうぞ。

東大の合否は、1点で決まりません。
小数点以下第三位くらいまで計算されて合否判定が行われますから、あと0.3点で落ちた受験生も数多くいます。
1点をバカにせず、ドンドン取りに行って下さい。

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2016年 東大文系数学 第3問(サービス問題、2曲線が接する条件、面積)

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2016年 東大文系数学 第3問(サービス問題、2曲線が接する条件、面積)

見た瞬間、サービス問題!!

受験生の皆さん!!

この問題を一度見て、絶対に点数を取らなきゃいけない問題だって気付けますか??

これは、正直言ってサービス問題でしょう。計算は、やや煩雑になりますが、問題の流れとしてはよくある典型問題です。

なんなら、数字を簡単にすれば、センターの問題と大差ありません。

 

もちろん僕も入試会場で見た瞬間、もらったなと思いました。

と同時に、この問題で点数を落としてるようでは、合格は危ないでしょうから計算ミスしないように、気を付けないといけません。

ちょっと時間をかけてでも、計算ミスを防ぎ点数をもらう問題です。

 

さて、なぜここまで点数が取れる問題だと言い切れるのか?

その理由は、問題を一読しただけで、どんな問題なのか、どこがポイントになるかが、ほとんど全てわかってしまうからです。

2曲線が接する条件

(1)から一つずつ、ポイントをまとめてみましょう

(1)の問題は、2つの曲線が接するという条件を知っていれば終わりです。

手書きの解答には、3種類の解き方を(つまり2種類の別解)を載せておきました。どれも基本ですから、絶対に覚えておいてください。

 

 

さて、三つ載せましたが、どれも2本立式出来る事に注目です。

問題文にpとqの二文字が出てきますから、二本の式が必要なことは分かりますね。これに対して、接する条件から二本の式が立式出来る。これでこの問題は解けます。

つまり、問題を見た時に、解ける事がわかってしまうわけです。

 

面積だから積分(1/6公式)

次に(2)です。

(2)はBの放物線を平行移動させた放物線Cと、Aの囲んだ面積を求める問題ですね。

平行移動させようが、tというパラメータが入ってようが、二つの放物線が囲んだ面積には他なりません。

これは、東大受験生だったら、是非ともすぐに思いついてほしいですね。もちろん6分の1公式で一発です。>要するに、いつもやっている計算を、丁寧にミスなく行えば、点数がもらえる問題ということです

 

では、手書きの解答いきましょう。

 

放物線の交わり方によって面積の場合分け

注意点としては、2つの放物線が交わるときは面積を計算して、交わらない時は面積ゼロと場合を分けて書かなければならないことですね。そのためには、2つの放物線が交わる条件を立てる必要がありますが、これもお馴染み、判別式で一発です。

 

平行移動をした後の放物線の式がちょっと複雑ですし、面積を求める時も複雑になりがちです。僕は解と係数の関係を使いましたが、ストレートに解の公式で解を直接求めてもOKです。

という事で、これも計算をする前からどんな解答になるのか、分かってしまう問題でした。

 

最大最小問題の解法

では最後の(3)ですが、面積の最大値を求めよ、とのことです。

最大最小問題は、基本的にはグラフを書いて、定義域の中で最も値域が大きくなる点を求める問題です。理系であれば、微分を使えば無理矢理グラフが書けてしまいますね。

しかし、文系では簡単な微分法しか習わないので、知らない関数が出てきたら工夫しなければなりません。

 

今回の問題でも、S(t)の右辺は知らない関数ですから、どう工夫するかがポイントの問題です。というか、それしかポイントがありません。

では、解答をどうぞ。

 

 

この最大値の求め方もよくあるタイプです。だから、なんなくクリア。ぜひとも、満点を狙ってほしい問題です。

 

まとめ

(2)を解き終わるまでは、面積がどんな式になるか分かりませんから、当然(3)の解答がどうなるかはわかりません。でも、少なくとも(2)までは解けそうだとは判断してほしいですね。(本当は、(3)まで予想出来ますが)

細かいポイントは、手書きの方に色々書いておきましたから、読んでみて下さい!

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2016年 東大文系数学 第1問(三角形の成立条件、鋭角三角形の条件、領域図示)

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2016年 東大文系数学 第1問(三角形の成立条件、鋭角三角形の条件、領域図示)

 

4問のうち、一番得点が取りづらい問題

この年の東大入試は僕が実際に受けたものです。そして実際に受けたとき、冊子をめくった瞬間、この問題だけ点数が取り辛いと一瞬で分かります。

分かってしまえば、解答はシンプルなんですが、解答の方針を見つけることが中々難しい。そして、最後の領域図示ですが、これも減点を食らいやすいポイントです。

鋭角三角形をなす条件

では、解説に行きましょう。
この問題の最大のポイントは「鋭角三角形をなす条件」です。
しかし、鋭角三角形をなす条件というのは、高校数学の教科書のどこにも明確に登場しません。つまり、知っている条件を組み合わせて使う事によって、鋭角三角形の条件を構築しなければならないという事。ということで、少し難しいかなぁと思います。

とは言いつつも、近い条件は教科書に存在します。それが「三角形が鋭角になる条件」です。
どう違うかというと、
教科書に載ってるのは「鋭角になる条件」だけ調べればよいのに対して、この問題で求めるのは「3点が三角形をなす条件 かつ 鋭角になる条件」です。

ということで、二つをまとめましょう。

3点が三角形をなす条件

では、1つ目の3点が三角形をなす条件をまとめましょう。
下の二つを同時に満たすことです。
・3点のうち、どの2点を選んでも同一の点ではない(3つが全部バラバラの場所にある)
・3点が、同じ直線上に並ばない
です。この2条件を両方満たしていれば、鋭角かどうかはともかく、三角形になります。

ただし、この問題に関しては、点Pと点Qが原点対称で、点Rがx軸上にあることから、3点が三角形をなす条件が簡単にまとめられます。
・上の条件(どの2点を選んでも同一の点ではない条件)は、
(x,y)が原点ではない かつ (1,0)ではない かつ (-1,0)ではない。

・下の条件(3点が、同じ直線上に並ばない)は、y≠0
とまとめられます。

さらにこの2つをまとめると、y≠0だけという、シンプルな条件に集約されてしまいます。これが、三角形をなす条件です。

三角形が鋭角をなす条件

今度は、三角形が存在するのが前提として鋭角三角形になる条件をまとめましょう。
まず、鋭角三角形というのは、「内角のうち最大のものが90度未満のもの」が定義です。そして角度の計算方法として、よくあるのは余弦定理とベクトルでしょう。ということで
・三角形の最大の内角に対して、余弦定理でcosが正になる
・三角形の最大の内角に対して、ベクトルの内積が正
となります。

但し、今回の問題はどれが最大の内角になるかわからないので、
∠Aが90度未満 かつ ∠Bが90度未満 かつ ∠Cが90度未満
という条件で使います。
この辺りの細かい条件の変換も難しさを増しますね。

ここから先は、余弦定理を使っても、ベクトルを使ってもほとんど同じです。
手書きの解答には両方載せましたので、どうぞご覧くださいませ。

2016年東大数学文系第1問解答解説

図示した後の図が面白いですね。円の中に内接する円が二つ。対称性もあってキレイな図形です。
丁寧に条件を追えば、あまり難しくないのですが、鋭角三角形になる条件が少しマニアックな気がします。忘れていた方は、要復習です。

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