2018年 東大理系数学 第6問の解説(空間図形、2次不等式、積分、切断面)

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2018年 東大理系数学 第6問の解説(空間図形、2次不等式、積分、切断面)

まずはいつも通り問題をどうぞ。
東大理系では昔から空間図形が頻出だと言われています。そして、たまに物凄い難問が含まれます。(一方で、易しい問題もありますが。)
その点で、この問題は実に東大らしい問題だと思いますね。
・空間図形の共通部分
・単なる積分計算で終わらない。
・小問構成。
・基本の組み合わせで解ける。
・空間図形ばかりでなく、別単元の考えも用いる
などなど、よく練られた問題だと思いました。
入試で出題されたら、得点し辛いような気もしますが、これからの受験生にとって練習問題として非常におススメ。
まだ解いていない方は、ぜひチャレンジしてみて下さい。

(1)切断=次元下がる、移動=次元上がる

では(1)から見ていこうと思いますが、(1)は図形が共通する条件。実は、この問題が一番重たかったりします。
空間図形の超重要な定石の手段として「切断して平面図形にする」というのがありますが、ここでも非常に効果的です。ちなみに、座標を一つ固定するとか、z=tの平面で考えるとか、全て切断してるのと同じです。

空間図形を切断すると平面図形になりますから、グッと解きやすくなるということです。
 
ちなみに、切断すると次元が一つ下がり、移動すると次元が上がります。言い換えれば、切断は次元を一つ下げる行為で、移動は次元を一つ上げる行為なのです。
この問題は、球が移動しているので4次元になるかと思いきや、4時限目の時間は固定されている(別に時間の前後を意識しなくて良い)ので、結局3次元の問題です。

xyzどこの軸で切断する?

次にどの軸で切断するかの判断なのですが、皆さんは何を基準に判断してますか?
今回はV1とV3の共通部分の体積を求めるのですが、ポイントはどの軸に対して動いているか、を考えること。すなわちV1とV3の移動に関係ないy軸方向で切断するのが良いyのです。

y軸で切断するということで、y=tを代入してみると、その切断面が円になります。
そりゃそうです。球を切断したら、必ず円になりますから。
 
最終的に求めるのはV1とV3の共通部分ですが、いきなりでは難しいので別々に書いて考えるのも良いでしょう。
空間図形は紙に図示するのが難しいからと言って、頭の中で空間図形をイメージして取り組む人が多いですが、紙に描いた方が圧倒的に解きやすくなります。
というか、空間図形の問題の解答力は、紙に書く力とかなり相関があるような気がしますね。
 

半径で場合分け

さて、y=tの切断面には円が二つ登場するわけですが、同一平面上に書こうとすると半径の大きさが気になるはず。
そこで、半径を場合分けして図を描けば、(1)が解けます。
では、手書きの解答をどうぞ。

(2)円が図形を含む条件=中心から遠いところを探す

(2)は、(1)の延長の問題です。今度はV2が登場しますので、先ほどの図にV2を書き込もうとすれば、方針が立ちます。
V2が、V1かつV3を含むということで、先ほどの共通部分の中で、中心から最も遠い場所を探せば答えが出ます。
円は中心からの距離が等しい点の集合ですから、図形的な処理をする場合、中心からの距離を考えるのがセオリーです。

常に+不等式=最大最小問題

さて、ここでは2次不等式が出ますが、2次不等式が常に成り立つ条件ですね。これは最大最小問題にすり替えて解きます。
例えば、「クラス全員が赤点ではない」条件は、「クラスの最低点が赤点ではない」と言い換えられます。
これと同じで、「f(x)≧0が常に成り立つ」条件は、「f(x)の最小値≧0」と同値なのです。

この言い換えは、かなり使えます。頻出ですので、ぜひ知っておきましょう。

(1)よりは解きやすいような気がしますが、突然の2次不等式に驚かないように。
 

(3)珍しい! 空間図形×ド・モルガンの法則

次に(3)ですが、結論から言うとド・モルガンの法則を使います。
しかし、この発想が中々出ない方も多いのではないでしょうか?空間図形と絡める問題は非常に珍しいですので、個人的にはとても興味深いと思いました。
 
どこから連想するかと言えば、やはりSとTの定義からでしょうか。
SはV1の体積で、TはV1かつV2の体積ですが、これだけで全体の体積を求めるということは、V2の体積とかV3の体積、それらの共通部分など、難しいところもSとTを使って求められるはず。
この辺りから、集合を発想するのでしょうね。でも難しいなぁ
 
では、手書きの解答です。
 

(4)計算のみ!

最後の(4)ですが、(3)まで解けてしまったら、(4)はもらったようなものでしょう。
SとTを求めれば答えが出ます。きっと興奮して手が止まらないのではないでしょうか?
 
Sは簡単に求められます。
TはV1とV2の共通部分ですが、これも慣れていれば簡単。とは言っても、Tを求めるだけでもそこそこ難しい問題なんですけどね。(1)と同じように、切断してから図を描けば解けるでしょう。
 
最後に計算をして終わり。計算ミスが誘発されそうな雰囲気ですので、ご注意を。
 

まとめ

さて、さいごに一言ですが、ここまで読んできて(1)や(2)が解けなくても、(3)と(4)が解けるのに気づいたでしょうか?
東大は、小問構成の場合が多く、それらが誘導問題になっています。
しかし、(1)が解けなくても(2)が解ける場合も見受けられます。
 
いつも言っていますが、ペンを持つ前に問題文を最後まで読むこと!
(1)から取り組んで0点だった人も、(3)と(4)で10点くらいもらえるかもしれません。
(特に(4)のSを求めるところなら、カンタン!)
 
こういう、作戦面も含めて練習に良い問題でした。
東大理系を目指すなら、今後必須の問題でしょう。

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2018年 東大理系数学 第5問の解説(複素数平面、図形と座標、放物線)

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2018年 東大理系数学 第5問の解説(複素数平面、図形と座標、放物線)

さあ、東大頻出の複素数。苦手の人も多いと思います。行って見ましょう。
 
 

(1)の方針 複素数の図形は時間がかかる

図を描きながら、条件を追ってみましょう。まず、単位円上に点P(z)があり、円に対しての接線を引きます。その接線に対して、点A(1)と対称な点Q(u)を設定したあと、そのuに対してwを定義して、uやwに関する式を求めるというもの。
要するに、z → u → w の順に点を設定していくわけです。
uとwの関係式は問題文に与えられていますから、zとuの関係式を正確に求められれば(1)はもらいですね。
 
問題なのは、円の接線や、線対称が登場するところです。なぜかと言うと、座標の上で図形を扱う問題は厄介になり易いからです。
図形が登場すると解法が1つに定まらず、ハマらない解法で解くとやたらと時間がかかる事が多いのです。
 
予備校の模範解答では、簡単そうに解いてますが、それは模範解答だからであって、この模範解答に辿り着くまで、色々試さなければならないでしょう。時間がかかることを覚悟しなければならない問題です。
 

複素数zの範囲の絞り方が難しい

(2)では、zの条件を絞り、点R(w)の軌跡を求める問題です。
先ほども書きましたが、zとuの関係式も、uとwの関係式も、この時点では判明していますから、素直にwをw=x+yiとおきxとyの関係式を求めれば良いでしょう。
 
難しいポイントは、zの条件です。
zが単位円の上の一部だけしか動かなくなります。実部が1/2以下だけと言うことなんですが、これをwに反映するのが難しいのです。
予備校の解答も割れていましたし、どれも「そうすれば解けるのはわかるけど、なぜその発想になるのかがわからない」という感じ。複素数平面の入試問題では、こういうことがよくあります。
これに関して、少しまとめてみましょう

偏角か、絶対値か、a+biと置くか

複素数平面というのは、非常に汎用性が高い技術です。
まず、複素数をa+biとおくことがありますが、これはxy座標を意識した文字の置き方です。
これに対して、絶対値と偏角を利用するのは、極座標を意識した設定の仕方。
ということで、基本的に2種類の座標のどちらで解くかという判断が必ず生じます。
また、複素数の和と差は平行移動を表しますし、積と商は回転や原点からの距離の変換を表します。ということは、ベクトルみたいな計算の仕方もするし、三角関数も登場する。指数も登場するし、方程式の概念も使うし、図形も絡む。
ようするに、何でもアリの単元なのです。
 
そのため、解法が様々に分岐して体系的に学べないという、困ったことが生じます。本当に受験生泣かせの単元です。

2018年 東大理系数学 第5問の手書きの解答

今回は、入試問題の解説記事なので、解説や導出の全てを書く事は出来ませんが、予備校の解答速報では特定の解法しか登場していなかったので、私の手書きの解答では、3パターン載せておきました。
意外とゴリ押しでも行けてしまう問題だったかもしれませんね。
 
では、どうぞ。
 

補足として(2)解法3の、xとyの範囲の求め方を載せておきます。

微分しても良いでしょう。
図示の問題では、高得点を取る事が難しくなります。
この問題は、構成としてはスタンダードな問題なんですが、随所に混乱させるようなポイントが混ざっています。
その分、復習に非常に適した問題ですから、何度も解きなおしてみて下さいね。
 

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2018年 東大理系数学 第3問の解説(パラメータ、通過領域と軌跡、面積計算)

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2018年 東大理系数学 第3問の解説(パラメータの扱い方、通過領域と軌跡、面積計算)

文系の第4問と共通問題です。(難易度は大分違いますが)
理系第2問のときにも書きましたが、この年の共通問題は文理で難易度がかなり違います。ということで、両方を見比べて学ぶと非常に効果が高いように思えます。
(但し、文系がこの理系第3問を見ても、分からなくなっちゃいますが。)
 

領域(軌跡)の問題

では具体的に問題に行きましょう
今年は小問の数が減りました。この問題も小問構成ではなく、大きな一つの問題です。
問題の設定としては、動点が二つ(PとQ)が与えられ、さらに正の範囲で動くkが与えられます。この3つの文字と連動する点Rが通過する領域を求めるという、凝った問題です。
ちなみに、点の通過領域のことを「軌跡」と言います。
ということで、この問題は、「点Rの軌跡を求めよ」と言い換える事も出来なくはない・・・のですが、領域と言った方が分かりやすいと思います。
 

パラメータ多いよ!

点Pや点Qのパラメータの設定の仕方は、問題ないでしょう。
これをベクトルの成分として代入して、ORベクトルを作れば、点Rの座標がpとqとkを用いて表せる。恐らくここまでは、多くの受験生が到達したことと思います。
 
しかし、問題はここから。
通常はパラメータは一つ。せいぜい二つ登場する程度です。例えばこちら。
数研出版の教科書の例題ですが、円に連動する軌跡を求める時に、sとtの2文字を設定することも出来ますし、
角度をθとおいて、三角関数で軌跡を求めることも出来ます。
 
しかし、今回は3つ。
ここで、方針を見失ってしまう人も多いでしょう。
どう考えれば良いのでしょうか?
 

基本に立ち返ろう!

先ほども書いたとおり、この問題は「通過領域」の問題でもあり、「軌跡」の問題でもあります。
そしてパラメータ付の軌跡の問題は、パラメータを消去するのが鉄則。ということで、pとqとkのうち、どれから消去しようかな~?と考えます。
 
別の言い方をすれば、「文字が多い時は、消去せよ(減らせ)」。数学では非常にポピュラーな格言もありますね。
いずれにしろ、困った時は基本に立ち返ることが大事だと思います。
 

結論からたどれ!

また、結論からたどっても良いでしょう。求める面積の式をご覧ください。「S(k)を求めよ」となっています。
という事は、最後に求める式はkの式。よって、kを消去するのはNG。残さなければなりません。
 
では、qを消すのかというと、qは1か所にしか登場しておらず、代入することが出来ません。
ということは残ったpを消すのが自然な発想でしょう。
このような考えをして、pを消すという結論に至って構わないと思います。
 

kを動かすか、qを動かすか

pを消去すると、xとyの関係式が得られます。これが軌跡の式です。
しかし、まだkとqが残っています。
これをどう考えるかですが、先ほど上にも書いたとおり、kは最後まで残さなければならない文字です。
つまりkはこの時点で動かすべき文字ではありません。定数と見なして、qを動かすのがセオリーです。
 
ではqを動かすのですが、ラッキーなことが起こります。なんとqを動かすと、放物線が左右に(厳密にはx軸方向に)動くだけ!
まあ、そりゃそうです。点Qが、原点と(1,0)の間をウロウロする動点ですからね。
 
ということで、放物線を左右に動かす問題へとすり替わります。
 

場合分けを丁寧に。図を描きながら考えよう

そして、最後の砦。場合分けの登場です。
放物線が左右に移動するのは分かりましたが、左端と、右端でどこまで移動するかによって、求める図形のカタチが変わってしまいます。
この場合分けが、いささか厄介なんですが、手書きの解答で詳しく書いておきましたので、どうぞご覧ください。
 
 
 
 

面積計算が面倒

放物線が、遠く離れない方(手書きの解答でいう、(ⅰ)の方)の面積計算が、面倒ですね。ここで計算ミスが多発しそうです。
東進も河合塾も、簡単な計算方法をネット上に掲載しています。どちらも同じ方法なので、キレイな方を選んで東進のものを載せておきます。
 
確かに、こんな見事な等積変形が、入試の会場で思いつけば良いのでしょうが、余程冷静であるか、普段からこのタイプの等積変形に慣れ親しんでいる人しか出来ないのでは?
そんなに頻繁に登場するものでもないし、どちらかというとセンターテクニックのような感じ。
 
恐らく、発想出来る人の方が少数派だと思うので、僕は手書きの解答に、素直に分割して計算する方法を書いておきました。
このブログでは、ウルトラCみたいな解答や、美しく、切れ味の鋭い解法よりも、「受験生にとって、試験会場で使いやすい解法」を心がけています。発想力よりも、積み重ねた努力の末に使いこなせる解法の方が、実用的だと思いますので、参考にして下さい。
 
最後の極限計算は、非常に簡単。問題ないと思うので、この問題の解説はここまでにします。

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2018年 東大理系数学 第2問の解説(数列、互いに素、最大公約数、理系と文系)

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2018年 東大理系数学 第2問の解説(数列、互いに素、最大公約数、理系と文系)

以前も書きましたが、文系第2問と共通問題です・・・と書きながら、あまりにも難易度に差があるので、共通問題と言って良いのかどうか。
是非、文系第2問と比較しながら問題を見てほしいのですが、誘導の有無で難易度がここまで違うのかが、よくわかる問題です。

数学の問題は、全て誘導問だ!

数学の入試問題では、「誘導問題」が出題されます。ご存知の通り、(1)の結論を使って(2)を解き、(2)の結論を使って(3)を解くというものです。
 
そして、「あーーー、これって誘導問題だったのか!!」と気付いて、反省することが多々あるかと思いますが、このHPに訪れた読者の方々には、このレベルを早く脱出してほしい!!

なぜなら、数学の問題は全て誘導問題です。作問者がいて、最後の結論に結び付けたいから(1)や(2)を設置するのです。
そして、こんなこと小学生だって教えれば気付けることです。教えたい先生が悪いというしかない。

ということで「数学の問題は、全て誘導問題だ!!」と言い続けています。

問題の難易度は調整されている

受験生には、あまり理解されませんが、出題者は問題文の一語一句に気を付けて問題を作ります。
特に難易度の関しては、超敏感。
これでは簡単すぎるかな、これでは難しすぎるかな・・・と、どこまで受験生にヒントを出すか、とても気を遣いながら問題を作ります。
 
その、気の遣い方がよく分かるのが、この問題。
繰り返しますが、文系第2問と見比べると、問題の難易度は仕組まれたものだと、よく分かると思いますよ。
 

既約分数の表現は3つある

では、問題の詳しい解説に行きますが、(1)は本番で不十分な解答を作った受験生が多いのではないでしょうか?
問題としては、an/an-1を計算して、既約分数で表す問題なのですが、恐らくanの定義を代入して、終わりにした人が多いのではないかと予想します。
 
しかし、この問題のポイントは、「既約分数」にこだわれるかどうかです。
an/an-1を計算するのは容易なのですが、その計算結果が既約分数になっているかどうかの判別は、とてもややこしい。
そのためには、分子と分母が互いに素になっているかを調べなくてはなりません。
 
ちょっと脱線しますが、「互いに素」って、どう覚えているでしょうか?
実は、色々表現方法があるので、整理しておいた方が良いと思います。
まず、一番有名なのは、「1以外に公約数を持たない」というもの。これは定義ですね。
しかし、受験数学では、もう一歩二歩進んで理解しておいた方が良いでしょう。
二つ目は「最大公約数が1」であるというもの。これは整数の分野で良く使います。
 
そして三つ目は「約分出来ない数」というもの。
これは、厳密かどうかよりも、直観的な理解や、低学年の理解に役立ちます。互いに素な2数を分数にすると、約分できません。
だから、小学生でも互いに素な数が一発で分かるため、役立ちます。
 

既約分数の証明

ということで、an/an-1が既約分数まで約分する話になります。
上で説明した通り、既約分数と互いに素は表裏一体のもの。また、最大公約数も絡むテーマです。
 
最大公約数で連想するものとしては、ユークリッドの互除法。(他にもいくつかありますが、瞬時に連想出来るようにしておいてください。)
ということで、分子と分母をユークリッドの互除法を使うと、互いに素なことが証明出来ます。
 
最後に2が残るので、連続2整数は2!の倍数だという性質を使って、終わり。
しかしそれにしても、正確に証明するのは、やや難しいのでは?と思います。

整数を全て求める

(2)は、整数になるanを全て求める問題です。しかし、これが骨が折れる問題でした。
 
まず考えられることとして、(1)の結果を誘導として利用するので確認しましょう。
(1)では、分母と分子をそれぞれ求めました。
そして、anが整数になると言う事は、分子÷分母が割り切れるということ。
 
あれ?(1)では、割り切れない証明をして、(2)では割り切れる条件を示す・・・
ということで、迷った受験生も多いでしょう。
 
この辺りの性質を上手く利用して証明する方法が、河合塾の解説に載ってました。こちらです。
上手い!
上手いのですが、試験会場でこれを思いつけるかと言えば、うーむ。
限られた受験生だけではないでしょうか?
 

反復試行の最大最小を思い出す

では、他の解答はないのかと言うと、あります。共通問題である、文系の誘導と同じように解く方法です。
 
しかし、さっき上に書いた方法と、どちらが思い付きやすいでしょう。
私個人としては、現時点で答えが出ていません。
上に書いた、分母と分子の偶奇に注目して解答する方法と、下に載せた文系と同じ方法。どちらが、より受験生向けの解答でしょうか?
ぜひ、ご意見を聞いてみたいところです。
 
と、あまりはっきりしないのですが、手書きの解答です。
 

まとめ

解答は、文系の問題と同じ方法を載せました。
僕は文系の問題を先に見て、その後理系を見たので「犯人を知っている推理小説」のような感覚になってしまい、十分に楽しむことが出来ませんでした。
どちらが現実的なのでしょうね。
 
一つ問題提起するなら、
・理系でも、文系の問題を見てみよ!
・文系でも、理系の問題を(共通問題だけでも)見てみよ!
ということでしょうか?
 
誘導や、条件の付け方で、どのように問題の難易度が変わるか知ると、とても勉強になります。
理系と文系は、別々に扱うことがありますが、むしろ一緒にしてみたら、教育的効果が高いのでは?と思いますね。
 

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2018年 東大理系数学 第1問の解説(サービス問題!?、極限、増減表)

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2018年 東大理系第1問の解説

では、今日から理系数学に入りましょう。まずは、ちょっと話題になった第1問です。
 
問題を見た瞬間、多くの受験生が
「えっ???」
と思ったでしょう。しかも、冊子をめくってすぐのページ。驚きも倍増です。
 
何が驚きかって、増減表を書くのも、極限を調べるのも大して難しそうではないから。「本当に、こんなんで良いの?」と、変な疑いが生まれてしまうでしょう。
 
いつも、解かずに分析コーナーをやってますが、この問題に関してはほとんど書く事がありません。
増減表を作るって、微分して0になるxの値を調べるだけだし、極限に関しては、その通り極限計算をするだけ。
 
東大では珍しいですが、いかに時間をかけずに20点を取るかが勝負の問題です。25分かける方が負け。
では、手書きの解答をどうぞ。
 
 
 
強いて、難しいところを上げるならば、sinxとxの大小が分かるかどうかでしょうね。
sinx/x→1を証明する過程で登場する結論ですが、ちゃんと覚えていたでしょうか?

知らない人は、すぐにチェック!!

 
教科書の細かい知識が必要なことが多いですので、来年の受験生はしっかり読み込んでおきましょう。
そして、東大の過去問研究と、その対策法を日本一徹底したければ、幣塾の門を叩いて下さい。

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2018年 東大文系数学 第4問の解説(ベクトル、領域図示、面積)

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2018年 東大文系数学 第4問の解説(ベクトル、領域図示、面積)

 

何度も書いてますが、2018年は領域図示ばっかりでした。本当に珍しい。

そして当然、それぞれ3問が同じ方法で図示出来ない問題です。

領域図示と言えば、図形と方程式や、軌跡と領域の範囲が思い浮かべますが、ベクトルにも登場します。

それが、この問題。しかも平行移動や軌跡も絡む応用問題です。理解出来れば簡単な問題ですが、手持ちの参考書や問題集で、このような応用的な類題を探すのは難しいかもしれません。

とにもかくにも、詳しい解説に行って見ましょう。

解かずに分析

では、恒例の解かずに分析コーナー。

(1)をよく見て下さい。ベクトルが色々出てきますが、最も大切なのは最後です。

結局は軌跡を求める問題なのです。

 

先生によって色々な教え方があるでしょうが、私は普段、軌跡の問題には3パターンあると教えています。

今回は、点Pが動くことによって、求める軌跡の点Qが動いていくパターンなので、問題集で言うとこのパターンと同じです。

私はこのパターンを「連動型」と呼んでいますが、こいつを応用すると(1)が解けます。

 

ちなみに、「連動型」の軌跡では、元の動点と、求める軌跡が相似な図形になります。今回は、点Pが放物線を動きますから、点Qも放物線を動くのではないかと予想出来ます。

 

ということで、早速手書きの解答を出してしまいましょう。

主に、左の真ん中までをご覧ください。

(2)図形ごと平行移動

では(2)ですが、(1)と違うのはベクトルORが存在することです。

 

その点Rの定義を確認してみると、原点と点A(1,0)の間のだとのこと。

ということは、ベクトルORを足すというのは、x軸方向に0~1平行移動させるということです。

 

(1)の結果が放物線でしたが、これを踏まえると(2)の結果は放物線を平行移動させることになりそうです。

点Pと点Rは、それぞれ独立に(お互いに影響せずに)動きますから、放物線全体を移動させると考えてOK。

ということで、手書きの解答の残りの部分のようになります。

面積計算

最後に面積計算が残りますが、東大では面積計算を少し工夫して求めることが多いような気がします。

特に頻出は「対称性」

どこかで線を引くと、左右や上下で同じ図形が登場することが多く、今回も、x=1/2で左右対称になります。

絶対に気付かなきゃいけないポイントではないですが、気付いたら得点率が上がりますから、積極的に取り入れたいところです。

 

また、積分計算はそこそこ面倒なことが多い気がします。

果たして残りの時間を費やしてまで、積分計算に取り組むかどうかは難しいところ。他にコスパが良い問題があれば、積分計算は飛ばすのも良いでしょう。

2年連続でベクトルと領域の問題が出た

さて、ベクトルと領域の問題は、2年連続でした。

東大では、同じような問題が連続して出ることは珍しく、毎回違うような問題が出ることを原則として分析します。
つまり、同じような問題が出た時は特に取り上げて考えます。

誰でも単純に考えられますが、例えば、「去年の過去問対策をしっかりしているか?」というと取るとか。

これです。

2017年 東大文系数学 第2問の解説

 

学校や塾、予備校の指導が、数年遅れになる可能性は十分あります。だから、そもそも自分の人生を、塾や学校、予備校に託すという発想自体が負け戦。

自分の知能を高め、自分の知性を磨くのが最短距離です。

一年後の運命を誰に託しますか?

 

幣塾では、自分で過去問が解ける指導を、日本一徹底します。

東大レベルの問題が自分で解ける方法を確立させたければ、門を叩け!!

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2018年 東大文系数学 第2問の解説(連続数と離散数、反復試行の最大値、コンビネーションなど)

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2018年 東大文系数学 第2問の解説(連続数と離散数、反復試行の最大値、コンビネーションなど)

解かずに分析 わからない時こそ「ググる」解法

コンビネーションと階乗が含まれた数列の一般項が与えられています。
これに対して、(1)ではa7と1の大小比較をさせ、(2)では、an/an-1と1との大小比較をさせます。(そして、それを満たすnを求める。)
そして、(3)では整数となるanを全て求めよとのこと。
あれあれ、あまり見たことがない問題だぞ?と思うかもしれません。
こういう問題の時こそ、問題文を丁寧に読むのが大事!
拙ブログでずっと言っている「ググる」解法です。
an/an-1<1の証明は、どこかで見た事がないでしょうか?

反復試行の最大値・最小値の問題

実は、受験数学でちょっとだけ登場します。
教科書で勉強していると出会わないかもしれませんが、例えば青チャートレベルの問題集(問題カタログ)を勉強していると必ず登場するタイプがあります。
「反復試行の最大値・最小値」の問題です。
どうでしょう?

an/an-1(と同じ主張の、Pk+1/Pkが登場しているのが分かりますか?
この問題を踏まえていると解ける問題でした。
 

連続数と離散数

この問題を連想できるようになる前に、一つ概念を知って下さい。
「離散数」と「連続数」という概念があります。

離散数というのは隙間がある数字のこと、一方で連続数というのは隙間がない数字のことです。

離散数の代表は、整数や自然数です。
1と2の間に、整数があるでしょうか?ありません。1の次は2です。

しかし、実数だったらどうでしょう?
1と2の間には1.5や1.3があります。1と1.3の間にも1.2があります。
このように、どんな2つの数を選んでも、必ず間に数字があるのが、連続数です。

単元で言うと、1次関数、2次関数、三角関数などの関数の分野は、扱う数が連続数(隙間がない)です。
一方で、整数や数列(の項数)などは、離散数(隙間のある)です。

離散数の最大最小問題

そして、一般に最大最小問題というのは、連続数に対して応えさせることが多いのです。
連続数はグラフを描くことが出来ます。
3次関数(理系なら、三角関数や指数関数、対数関数)は微分すればグラフの増減が求められるのです。

しかし、数列や整数の最大最小問題は、ちょっと違った解法になります。
先ほど、反復試行のの最大値・最小値の問題をお見せしましたが、他にもこんな典型問題があります。

直接、平方完成して最大値を求める事も出来ますが、別解扱い。普通は、anが正や負になる境界を見極めて計算します。

(1)と(2)誘導の見極め

(1)ではa7を求め、1と比較させました。
そして、(2)では、anとan-1のどちらが大きくなるかを求めます。
そして、反復試行の最大最小問題を思い出せば、もう簡単。
ようするに、a7以降はずっと1より小さいため、整数は登場しないことが分かります。
つまり、答えはa6までの中になるのではないか?
と想像出来れば、もう簡単。
恐らく、上に書いた情報をまとめて考えれば、最後まで解答が書けるのではないかと思います。
では、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回は、超頻出ではないものの、頻出パターンを押さえておけるかどうかが大切でした。
唐突ですが、皆さん「基礎」とは何だと思いますか?
「基礎」と聞くと、簡単な問題のことだと思う人が多いかと思いますが、実はそれは「入門」のことです。
基礎と入門は違います。
基礎とは、その道の専門家やプロが口をそろえて重要だと言うことだと、私は思います。
今回の、離散数の扱いに関しても、(教科書のそのようなテーマで記述されていないですが)、重要なテーマです。
この問題から学び、習得して下さいね。

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2018年 東大数学 文系第3問 理系第4問の解説(3次関数の解の配置、増減表)

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2018年 東大数学 文系第3問 理系第4問の解説

 

文系第3問

理系第4問

 
2018年は、文理の共通問題が3題されたんですが、そのうち2問は設定が同じなだけで、難易度に大きく差がある問題。共通ではあるけど、別問題のような感じでした。
残る1問が、上に貼り付けた問題なんですが、これはバッチリ共通問題といえるでしょう。違いといったら、文系に(1)が挿入されているだけです。
 
ということで、以下は文系第3問の解説のみ行います。(理系第4問も含んじゃいますので)
 

解かずに分析(1)

では、いつも通り解かずに分析です。
(1)ですが、問題の設定は非常にシンプル。パラメータが入った3次関数が与えられ、x≧1で単調増加になる条件を求めよ、というだけです。
関数が単調増加になる条件は、ご存知のとおり微分後の関数の符号が正になればよい。
つまり「x≧1で、常にf’(x)≧0となる条件」を求める」条件を求めることとなります。
 
また、頭の中でちょこっと微分して見れば分かりますが、f’(x)=0はx=aとx=-aで解を持ちます。
ということは、1とaの大小関係で場合分けかな?という予測が立てられるでしょう。
解く前から、この辺りまで読めれば十分だと思います。
 

解かずに分析(2)

(2)では、条件が二つ与えられています。
条件1:f(x)=bが異なる3解を持つ
条件2:その3つの解のうち、真ん中の解の大きさが1より大きい
とのこと。
 
条件1に関しては、物凄く有名な類題が存在します。いわゆる定数分離の問題です。
 
そして問題の条件2。
これが、2次関数だったら解の配置の問題が使えるのですが(こちらのリンク先の前半を参照)、今回は3次関数です。
2次関数と違って、体系的に型を教わっている受験生は少ないと思いますので、割とアドリブ対応していることが多いのではないかと思います。
 
うーん、どうやるんだろう・・・。と悩みつつ、(1)に手を付けていくのが現実的な所でしょう。
 

(1)増減表を書いて終わり!

では、もっと具体的に問題の解法の解説をしましょう。
先ほどの考え通り、微分して因数分解をして増減表を書きます。考える条件は、「x≧1で、常にf’(x)≧0となる」ことです。
 
ということは、f’(x)が負のところにx=1が来てはいけません。
つまり、x≧aの領域にx=1があれば良いので、求める条件は、a≦1です。
最後に、問題文の条件であるa>0と合わせて、0<a≦1とすれば完成です。
難なくクリアしたい問題でした。
 

(2)横ではなく、縦を見る

では、(2)ですが、条件1だけなら教科書の例題レベルの問題。
手書きの解答の左下の方に書きましたが、bが極大値と極小値の間にあればOKです。
 
難しいのは条件2の方。
β>1になるということは、真ん中の解が1より右側ということ。つまり、横の話をしているのですが、ポイントは縦に見れるかどうか。
つまり、y=bの直線と、x=1より下で交わるということです。

「え??そんなの思いつかないよ!」
と言ってはいけません。それなりに典型問題です。
「3次関数の解の配置では、横の比較が難しいときに、縦の比較をすることがある」
ということを覚えておきましょう。

 
これに気付けば、答えまでもうすぐ!
領域図示のために、交点を出したり、境界を含むかどうかを確認して答えを書いて下さい。
では、手書きの解答をどうぞ。

この問題は、パーフェクトに取りたいところ。
3次関数の解の配置の問題は、2次関数に比べて解く機会が少ないでしょうが、今後頻出になるかもしれませんね。
来年以降に受験する予定の方は、要チェックです!

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2018年 東大文系数学 第1問の解説(2次関数、距離の最小、領域図示)

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2018年 東大文系数学 第1問の解説(2次関数、距離の最小、領域図示)

まずはいつも通り問題からどうぞ。

解かずに分析(1)

初めに、私のスタイルの特徴である、解かずに分析コーナーを。
(入試問題は、解く前に問題文を通読し、読み取れる情報を全て読み取ることが大事です。)

放物線Cと領域Dに登場するのは、同じ放物線だということを確認して、その放物線Cの上側が領域Dだと認識。
また直線lと直線mは、原点を通り放物線Cに接するとのことですが、放物線の正体が分かっているので、計算すればすぐにでも求められます。(方法は、微分を使うか、判別式かで2通りあります。)
 
(1)を見ると、放物線上の点Aと直線l、直線mまでの距離をL、Mとすると書いてありますが、これも定番の求め方。
放物線Cの上の点を文字で置き、点と直線の距離の公式を使えば計算出来そうです。
 
ちょっと変わっているのは、LとMを使った最小値ではなく、√Lや√Mが登場するところ。
「なんだこのルートは!?」
と眉をひそめますが、計算しないと正体がわからない以上、なんか面白いことが起こるのかもしれないと放置で良いでしょう。
 

解かずに分析(1)

(2)に行くと、今度は領域図示の問題になりました。
しかも、px+qy≦0という見慣れない式が登場。
また、条件の中身が、領域Dのすべての点に対し、不等式が成り立つとあります。
 
一瞬、何を言ってるのか分からないかもしれませんが、こういう時に考える事は2つ
・わかんないから、別の問題を先にやろう(第1問(2)は後回しにしよう。)
・ちょっといじってみて、方針が分かったら解こうかな。
でしょう。
 
結果論ではありますが、この第1問(2)は、第4問までのバランスを考えると後回しにしても良い問題かと思います。
積極的に序盤で取り組む相手ではないかなと思いますね。
 
そんなことを考えつつ、(1)の細かい解説に入ってみましょう。
 

(1)予想通りの展開

さて、(1)の計算に入ってみましょう。
上で書いたとおり、直線lと直線mを求め、点Aを文字で置きます。
そして、点と直線の距離の公式を使ってLとMを求めると、なんと分子に2乗が登場!!
 
なるほど!!
√Lや、√Mは、この2乗が取れるって事ね♪(そだね~)
ということで、絶対値が二つ付いた式の最小値を求めることになります。
 
具体的には、一つ目の絶対値の中身が s-2で、二つ目の絶対値の中身が、s+2です。(点Aのx座標をsとしてます。)
これはアルアルの問題パターンで、sの値が真ん中辺りのときに全体の最小値を取ります。有名な結論。
 
今回は、一つ目の絶対値と、二つ目の絶対値の係数が違います。
片方だけ√5がくっつくので、ピッタリ真ん中にはならないのですが、真ん中あたりと言えば、真ん中あたりでしょう。
 
また、絶対値が複数ある関数のグラフで、しかも中身が直線の場合は、傾きだけ調べれば良いです。
そんなことを踏まえて、解答を書くとこんな感じになります。
 

(2)条件を読み替えて、不等号の向きで場合わけ!

では、問題の(2)です。
条件を確認しますが、領域Dに属する(x、y)が全て、px+qy≦0を満たすとのこと。
これを、もう少し直観的に分かるようにしてみましょう。
px+qy≦0を満たす領域をEとすると、DがEにスッポリはいってしまうということです。
 
イメージ図はこちら
赤い領域(D)が、青い領域(E)にスッポリ入ってしまいます。
 
そのために必要なのは、領域Eが、「y≧(なんちゃら)」というように、直線の上側の領域を表す不等号になることです。
 
そのため、qの符号を正と0と負で場合分けをします。
 
qが正の時には不適
qが0の時にも不適、
qが負の時には、放物線Cに接する時を考えます。
 
ここで登場するのが(1)の条件。
そういえば、傾きが1の時と、-7の時に接したなと。
 
ということで、傾きの条件を使うと、完了です。
 

2018年 東大文系数学 第1問の解答例

では解答を。
まとめ
東大文系にしては、標準か、やや難しいくらいでしょうか。
解いてみると、決して難しいことを聞かれているわけではないけど、試験会場で見ると難しく見えるんですよね。
 
これまで、解の配置を利用した領域図示の問題が頻出でしたが、今年は違うタイプの領域図示が出題されました。
今後、注意すべきテーマだと思いますので、しっかり勉強しておきましょう。

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