2018年東大入試1日目を解いてみたコメントや感想、難易度など。

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昨日は国公立大学の前期試験でしたね。
私も早速、東大入試を解いてみました。
昨年も当日に解いて、即アップしたのですが、好評だったので今年も。
以下、1問ずつコメントです。

文系第1問:2次関数、点と直線の距離、最小値、領域図示

東大文系数学にしては、標準的な難易度でしょうか。
(1)はlとmの直線の方程式を出すのは非常に簡単。ここは部分点もらいでしょう。
点Aを何かの文字でおき、lとmまでの距離を「点と直線の距離」の公式で出す。
これらの√を取って絶対値の計算と流れますが、割とパッと見の印象通り。
しっかり勉強していれば、手を動かしていくだけで点数が取れる問題だと思います。

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2018年 東大文系数学 得点の作戦(戦略とは?各設問で考えること)

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戦略と作戦と戦術と大戦略

気付いてみれば、最近めっきり戦略っぽいことを書いていませんでした。
細かく言えば、これまで書いてきた、東大入試解説でも少し戦略っぽいことを書いていたんですけど、でもちょっとだけ。
「戦略」という言葉が流行ってまして、濫用されています。
狙って目標を達成するような思考法のことを「戦略」と表現しているような気がしますが、決してそれだけではありません。
例えば、世間で言われている、目標を立て、計画を立案し、実行して結果を出すようなタイプのものは、戦略学では「順次戦略」と言われるものであって、それ以外の戦略もある。(累積戦略)
年末に発売されました『論理アタマのつくり方』(ダイヤモンド社)のメインテーマである「論理」なんかは定義のない用語ですから、誰でも好きなように語って良いのですけど、「戦略」はそうではありません。
「戦略」「戦術」「作戦」はそれぞれ違う概念ですし、「大戦略」なんて言葉もあります。それぞれ違いを説明出来ますでしょうか?
一見受験から遠いようで、実は受験に直結するのが戦略の考え方です。
東大入試では、一語一語の持つ意味合いに非常にこだわって考える必要があります。何となく文章を読んでいる人は、まず「読解力」を鍛えることをオススメします。
戦略も、読解力も、成績の上げ方も分からない!!
と言う方は、幣塾の門をたたくことをオススメします。

2018年東大文系数学の攻略作戦

と、前置きは長くなりましたが、2018年の東大文系数学の作戦に行きましょう。
拙ブログでは、各科目の攻略する道筋のことを「作戦」と呼んでいます。(戦術だと小さすぎて、戦略だと大げさでしょう。)
100分の試験時間で、どのような時間を使い、どのような頭を使い、どこまで攻めていくのか。
そういう事を考えなければ、攻略が遠くなります。
極端なことを言えば、試験開始5分は1文字も書かず、解答用紙は白紙のままにするくらいで丁度よいです。
では、4問を改めて、眺めて下さい。

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2018年 東大理系数学 得点の作戦(戦略とは?各設問で考えること)

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戦略と作戦と戦術と大戦略

「戦略」という言葉が流行ってまして、濫用されています。
狙って目標を達成するような思考法のことを「戦略」と表現しているような気がしますが、決してそれだけではありません。
例えば、世間で言われている、目標を立て、計画を立案し、実行して結果を出すようなタイプのものは、戦略学では「順次戦略」と言われるものであって、それ以外の戦略もある。(累積戦略)
年末に発売されました『論理アタマのつくり方』(ダイヤモンド社)のメインテーマである「論理」なんかは定義のない用語ですから、誰でも好きなように語って良いのですけど、「戦略」はそうではありません。
「戦略」「戦術」「作戦」はそれぞれ違う概念ですし、「大戦略」なんて言葉もあります。それぞれ違いを説明出来ますでしょうか?
一見受験から遠いようで、実は受験に直結するのが戦略の考え方です。
東大入試では、一語一語の持つ意味合いに非常にこだわって考える必要があります。何となく文章を読んでいる人は、まず「読解力」を鍛えることをオススメします。
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2018年東大数学(文)第4問 1文字も書かずに勝利を確信できるようになる

 

数学を解くときのコツ

数学で、いきなり解き始めるのはアウト

久しぶりに、受験の内容を。

うちの塾の看板でもある、「東大文系受験者のためだけの数学講座」ですが、ちょっとだけ内容を公開しましょう。

 

こんなことをやっています。

 

 

文系受験者にとって、数学は悩みの種。

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2019年 東大数学 理系第6問(2) (解と係数の関係、複素数平面の3方針)

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2019年 東大数学 理系第6問(2)

昨日の(1)の解説に引き続き、(2)に行きましょう

解と係数の関係を使おう!

(2)は、bとaの関係式を求める問題。
これは、解法の方針が立てやすいかと思います。
なぜなら、
・(1)で4つの解の情報が絞り込めている(実数解2つ、共役な虚数解2つ)
・aやbは、4次方程式の係数
ということから、解と係数の関係を使うというのは、発想としては自然。
早速、解と係数の関係を立式してみましょう

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2019年 東大数学 理系第6問(1) (第1手をどうするか?。有名事実を覚えよう)

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2019年 東大数学 理系第6問

では、2019年最後の問題
頻出の複素数平面です。
しかし、見たことのない条件がたくさん!これは難しい問題でした。
さて、第1手として、あなたはどうする?

条件や方針の整理

まず、与えられた情報を整理してみましょう。
条件1:α、β、γ、δは全て違う複素数
条件2:その4つが解となる、4次方程式
条件3:αβ+γδは純虚数
の3つです。

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2019年 東大数学 理系第5問(微分、解の配置、不等式の証明、極限、ハサミウチ、微分の定義)

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2019年 東大数学 理系第5問

今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題(笑)
極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。
では、解説していきましょう。

微分しても解を持つ条件がうまくいかない

では、(1)から見ていきましょう。
よくある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。
なければ、中間値の定理で、yが負になるxの値と、yが正になるxの値を求めれば終わりなのになぁ。

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2019年東大数学文系第4問(ベクトル、領域図示、1文字固定)

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2019年 東大数学 文系第4問

なんと、3連続でベクトルの領域図示の問題が出ました!これは驚き。

これまで入試では、それほど頻出で扱われなかったタイプの問題でしたので、今後、問題集などで例題や類題が増えるでしょう。

「2019年東大数学文系第4問(ベクトル、領域図示、1文字固定)」の続きを読む…

2019年東大数学理系第4問(整数、最大公約数、ユークリッドの互除法)

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2019年 東大数学 理系第4問

では、今日は理系第4問です。

(1)は東大らしく、ユークリッドの互除法

(1)から早速、東大らしさが全開の問題です。

大好物の「最大公約数」の問題。当然「ユークリッドの互除法」を使います。

 

「当然」と書きましたが、「え?そうなの?」という人のために少し書いておくと、新課程になり「ユークリッドの互除法」が指導範囲内になった瞬間から、東大では超頻出問題になりました。

過去問を参照すればわかります。

「2019年東大数学理系第4問(整数、最大公約数、ユークリッドの互除法)」の続きを読む…

2019年 東大数学 文系第3問 (確率、多角形グルグル、道順、中学受験で解ける)

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2019年 東大数学 文系第3問

では、今日は文系第3問です。復活した確率の問題。

確率の問題は、設定の読み込みに10分かけても良い

東大の確率だなぁっていう問題。

知らない設定が登場し、読み込んでカラクリを解き明かすのに時間がかかる。

複雑な場合分けが登場し、立式までに時間がかかる。でも計算はそれほど面倒ではない、といったところ。

 

ということで、うちの塾では「確率の問題が出たら、10かけてよいから設定の読み込みをせよ」と教えています。

 

さて、今回のカラクリやいかに!?

「2019年 東大数学 文系第3問 (確率、多角形グルグル、道順、中学受験で解ける)」の続きを読む…

2019年 東大数学 理系第3問(3) (空間図形、平面で切断、射影)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、(1)の解説(2)の解説に引き続き、(3)に行きましょう。

今度はx=0に射影する

(1)と(2)ではy=0に射影しましたが、今度はx=0に射影する問題ですね。座標平面上で(y、z)となっていて、ここから読み取れます。

ということは、(2)の答えを出すときに描いた図が、とても役立ちます。

再掲しましょう。こちら。

「2019年 東大数学 理系第3問(3) (空間図形、平面で切断、射影)」の続きを読む…

2019年 東大数学 理系第3問(2) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、昨日の(1)の解説に続きまして、(2)の解説に行きましょう。

(1)の解説はこのリンクから

切断面は何角形?

(2)の問題は、切断面が八角形になるpの範囲を求めよというものです。

(1)が大きなヒントになっているのですが、お気づきになったでしょうか?

まずは、(1)の結論の図をもう一度ご覧ください。

「2019年 東大数学 理系第3問(2) (空間図形、平面で切断)」の続きを読む…

2019年 東大数学 理系第3問(1) (空間図形、平面で切断)

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2019年 東大数学 理系第3問

出ました、空間図形。

東大では毎年頻出のテーマです。

去年の空間図形(第6問)は非常に難しかったですが、今年もなかなかの難易度です。

そして、苦手にする人が多いということで、3回に分けてアップしていきます。

丁寧にわかりやすく解説するので、長くなりますがお付き合いくださいませ。

さっそく見ていきましょう。

空間図形は、ほぼ必ず切断する。

まずは、空間図形の問題そのものの考え方から行きましょう。

平面図形は考えやすいけど、空間図形になると苦手という方がいますが、

それ、恐らく人類全体の悩みですよ(笑)

 

平面に比べて情報量が多いし、

そもそも平面に描かれた問題文という活字から、実物しない空間図形をイメージして取り組むわけですから、解きやすいわけがない。

 

この時に役立つのが、切断です。平面で空間図形を切断します。

受験数学において、「切断とは次元を落とすこと」です。3次元の空間図形も、切断すると2次元の平面図形に早変わり。

すると計算用紙(2次元)にも正確に描けて、考えやすくなる、という寸法なのです。

 

平面との共有点はどうなる?

では、平面で空間図形を切断するとどうなるか。

切断が苦手だという人も多いのですが、ここで使うのは2つだけです。

・平面と直線の共有点は、点。

・平面と平面の共有点は、直線。

この、2つの簡単な事実をもとに考察します。

 

ちなみに、当たり前すぎて、上に含めませんでしたが、

・互いに平行でない2つの平面は必ず交わり、共有点が直線(交線という)になる。

・互いに平行でない直線と平面は必ず交わり、共有点が点になる。

というのも、大事ですよ。

 

もう少し応用して、(イメージしながら読んでください)

・平面αと平面βが平行な時、どちらにも平行でない別の平面との共有点(交線)は、互いに平行である。

なんかもよく使いますけどね。

 

ただし、どれも別に難しいことではありません。ちゃんと図を描きながら条件を整理すれば、当たり前のことばかりです。

(1)y=0の切断面① 四角形が登場

では、(1)の解説に入ります。

とりあえず、正八面体をxyz平面上に描いてみましょう。ちょっと複雑ですが、書かないよりはイメージできると思います。

八面体の辺は赤色y=0の切断面は青色で登場します。)

 

今回は、y=0の平面での切断を問いている問題ですから、y座標が0の点を調べます。

すると、PAECの四点が出てきますね。

ここで注目したいのは、PとA、AとE、EとC、CとPが全て正八面体の辺だということです。つまり、y=0で切断したときに、他の点を考慮しなくてよいということです。

ということで、y=0の図示では、四角形PAECを描けばOK。座標も全て問題文に書いてありますから、そのままzx平面に書き込めばすみます。

 

(1)y=0の切断面②直線と平面の共有点は点

次に、平面αとy=0の共有点の図示に参りましょう。

ここで大事なのは、平面αも、y=0も平面ですから、書き込む図形は「直線」です。y=0の中に、どのように書き込めばよいか考えながら、進みます。

 

平面αの定義を考えると、「点Mと点Nを通り、直線AEに平行」です。

点Aと点Eは、先ほど言った通り、y=0の上の点ですから、そのまま答えの図に登場します。

しかし、点Mと点Nはy=0の上にありませんから、答えの図にMとNは登場しません。

 

そこで、直線MNとy=0の交点を考えます。

と言っても、M(1,1,0) N(1、-1、0)ですから、中点がy=0にあるのがすぐにわかってラッキー。

その中点をLとおくとL(1、0、0)が、直線MNとy=0との交点であり、答えの図に書き込む点です。

 

ここでも、「平面と直線の共有点は、点」を使いました。

 

(1)y=0の図を描いてみよう。

では、平面αを、実際にy=0に書き込んでみます。

するとこうなりますね。

(今後、平面αは緑色で登場します)

 

書き込んでみると、結構簡単♪

なにせ、点Lを通り、直線AEに平行な直線を求めるだけですから。

ということで、四角形PAECも、同じ図に書き込むと、こうなります。

平面αは、辺PCと交わるか、辺PAと交わるかが分からないので、場合分けをします。

ただし、これも図示してみようとすると、当然生じる疑問なので、難しくありません。(というか、場合分けをしないと描けない)

 

一応、(1)の答えの全体像をお見せしておきましょう。

(1)はこれで終わり。では、明日は(2)の解説に行きますね。

 

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2019年 東大数学 文系第2問

 

今日は、文系第2問です。

なにやら複雑そうな問題ですが、一つ一つ解読していきましょう。

問題文で分かるものは、どんどん求める。

問題文を読むと、不思議な直線lの定義があります。なぜこういう記述をしたかよくわかりませんが、とにかく簡単なので求めてしまいましょう。x+y=4です。

 

次に、条件1において、ベクトルの内積が登場していますが、点Aも点Pも、問題文中に成分が定義されていますから、そのまま計算してしまいましょう。2x+2yですね。

すると、8≦2x+2y≦17ですから、辺々2で割って、直線の帯になる領域が得られます。

 

また、条件2において、点Oと直線lの距離cも簡単に求められちゃいます。

点Oはもちろん(0,0)ですし、直線lはx+y=4ですから、点と直線の距離の公式を遣ったら、c=2√2と求められます。

 

とこのように、なんかよくわからないうちに、色々な値が計算できてしまいます。

このようなものは、正確に計算するだけで部分点が(わずかながらでも)もらえますから、一気に計算してしまいましょう。

「2019年 東大数学 文系第2問 (絶対値の外し方、領域図示、傾きに注目)」の続きを読む…

2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問(座標と図形、元と式の本数、最大最小)

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2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問

今日も解説行きましょう。

文系第1問と理系第2問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。

 

文系の問題はこちら

理系の問題はこちら

 

 

共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。

 

まずは、この話のカラクリを解説しましょう。

「2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問(座標と図形、元と式の本数、最大最小)」の続きを読む…

2019年 東大数学 理系第1問(定積分、置換、計算力)

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2019年 東大数学理系第1問

では、今日から1問ずつ、東大数学の解説をしていこうと思います。

この理系第1問は、今年の入試で一番話題になった問題でしょうね。

 

東大は計算力のある学生を求めている

第1問に、ただの定積分の計算問題。

これは、かなりのショッキングです。東大数学では、話題になる問題が度々登場しますが、これもかなり話題になるでしょう。

東大数学では、昔に比べて、思考力よりも計算力重視になったといわれますが、これもその流れを汲んでいるような気がします。

 

僕が東大の理系に入学したときに、初めの数学の授業で

「2の3乗根を、少数第2位まで求めよ。」

という問題を出されました。

 

要するに、3桁くらいの3乗の計算をひたすら繰り返し、2を超えるかどうかをチェックし続けるという問題です。

 

日本の数学教育の特徴は、計算力だという指摘を聞きますが、それも失われているのでしょうか。

これはワナだ!!

そして、このような計算が面倒な問題が、しかも第1問に登場したら、「ワナの問題」です。

「2019年 東大数学 理系第1問(定積分、置換、計算力)」の続きを読む…

2019年の東大数学【理系】を全て解いたので、簡単なコメント

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2019年 東大数学【理系】の簡単な分析

文系に引き続き、理系の問題にコメントしていきましょう。

文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。文系のコメント記事はこちらです。

確率が復活せず!!

とにかく、これが一番の話題でしょう。

確率が2年連続で出題されませんでした。しかも文系では出題されたのに。

これまで毎年必ず出てたのに、なぜ!?

 

基本的な計算問題が再登場

確率の代わりに、第1問に定着したのが、基本的な問題。

去年の第1問も衝撃的でしたが、今年の第1問もとても話題になりそう。

 

10~20年のスパンでも、計算力を問う問題が散見されていましたが、今年も顕著にみられました。

整数、空間、複素数平面など頻出分野が登場

そして、頻出分野はやはり出題。

整数、空間図形、複素数平面が出題されました。

やはり、東大理系を対策するには、必ず押さえなければならない分野。受験生の皆さんは、ちゃんと対策しましたか?

「2019年の東大数学【理系】を全て解いたので、簡単なコメント」の続きを読む…

2019年の東大数学【文系】を全て解いたので、簡単なコメント

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2019年 東大数学【文系】の簡単な分析

ついに東大入試でしたね。

まだ受験生は終わってないですが、来年の受験生や保護者の方、同業者の方など注目しているでしょうから、例年のように簡単なコメントをしようと思います。

理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら理系のコメント記事はこちら

ベクトルの領域図示が3年連続で出題!

まずは、ニュース的な話題から。

最大の話題は、これでしょう。なんとベクトルの領域図示に関わる問題が3年連続で出題されました。

2018年の問題と解説はこちら

2017年の問題と解説はこちら

 

まさか3年連続で出るとは・・・。今後、受験数学界のトレンドに入りそうな予感がします。

来年も出ると踏んで対策をするか、もう出ないと踏むか、悩みどころでしょう。

 

確率は復活!!

一方、去年はまさか、出題されなかった確率が復活!

しかし、理系ではまた出題されませんでした。。。

確率は、共通問題になることが多かったんですが、これは驚きましたね。

「2019年の東大数学【文系】を全て解いたので、簡単なコメント」の続きを読む…

2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問 の解説(漸化式、帰納法、整数の証明、背理法

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2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問

入試前日ですが、少しでもためになるようにと、今日もアップします。

 

 

今日も整数問題。

そして、これも東大で頻出パターンです。

 

本質的に同じ問題

これまでは、共役な無理数のn乗のパターンを書いてきましたが、今日は別の問題です。

しかし背景として同じ考え方を使っています。ぜひ、1997年の問題2003年の問題2017年の問題と比較してください。

 

これまでの3問は、帰納法で証明するために、3項間の漸化式を作っていましたが、この問題も(1)で漸化式を作らせています。

 

今回は、一見、30項間漸化式ではなく、anとbnの混合した漸化式ですが、実は3項間漸化式です。

このような、2種混合漸化式は、片方を消去してもう片方だけ残すと、3項間の漸化式が登場するのです。

(実際するかどうかは別)

 

また、(2)では、「anとbnが正の整数であることを証明せよ」という問題があります。これも、過去の3問と同じ。

 

ということで、①漸化式を作り、②帰納法で証明、③整数であることを証明などの点で、本質的に同じ問題なのです。

漸化式の作り方を、そっくりそのまま覚えよう

では、その漸化式の作り方ですが、これは超有名な方法です。そのまま覚えてほしいですね。

nに対して漸化式が定義されている時に、n+1の場合を2種類で表現して、恒等式で比較します。

「2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問 の解説(漸化式、帰納法、整数の証明、背理法」の続きを読む…

2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問 の解説(過去問とそっくり)

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。

 

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

 

実は、この問題の解説を書くのは2度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の1997年の問題と、前回の2003年の問題の流れで見てほしかったからです。

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