2019夏 河合東大オープン 文系数学第4問の解説(整数、互いに素、分数式が整数になる条件)

2019年夏 河合東大オープン 文系数学第4問の解説

さて、第4問。
典型的な整数問題。
(2)も、かつての難しさほどではなく、東大受験する人ならば知っておきたい解法というレベル。
取りたいです。

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2019夏 河合東大オープン 文系数学第3問の解説(図形の問題の3つの解法)

2019年夏 河合東大オープン 文系数学第3問の解説

だいぶ更新が遅れてしまっていますが、文系第3問です。
この問題は、ぜひ東大文系受験者によく研究してほしい問題ですね。
理由としては、
①同じような問題が、ここ最近出題されている。
②別解やアプローチが複数あり、比較検討することにより、解法がパターン化できる。
といったところ。
ではまず問題です。
図形が与えられて、面積やら長さやら角度やらを求めさせる問題。
単純そうで、苦手な子が多いのです。
では、どのように考えたらよいでしょう。

図形の問題のアプローチは?

このブログでも何度か書いていますが、このような図形の問題のアプローチの方法は、意外と体系化されていません。
私は主に、以下の3つくらいが使いこなせると良いだろうと思っています。
図形問題の解法パターン
①図形の性質を利用して解く
②座標を設定して解く
③ベクトルで解く
ということで、今回は(作るの大変だったのですが)3パターンの解法を全て載せます。(それでアップが遅れたんですが)

①図形の性質を利用して解く

まずは、図形の正室を利用してとくもの。余弦定理、正弦定理や、数Aの平面図形の分野で登場する公式や定理を利用して解くパターンです。
河合塾の模範解答でも、この方法が紹介されています。
まず、紙の折り返しの問題ですが、これは「線対称」の問題であり、「垂直二等分線」の問題でもあります。
Point
紙の折り返し = 線対称 = 垂直二等分線
つまり、△ABDと△ABD’が合同になっているのです。
これを利用して、線分の長さを書きこんでくと、結局、余弦定理一発で長さがわかる問題になってしまいます。
ちなみに、直線ACを軸に対称移動させた図を描くとき、少し図が書きづらいですね。D’の位置がどのあたりになるかわからなくなり、困るかもしれませんが、こういうときは、とりあえず適当に書いておけばOK。
困ったらきれいに図を描きなおせば、大抵のことは済まされます。
ということで、こんな解答になるわけですね。
(下の図の左側です)
このように、①図形の性質を利用して解ければ、一番簡単♪
基本的には、なるべく図形の性質を利用して解ければ、それが手数の少ない解答になることが多いような気がします。

②座標を設定して解く

では次に、座標を設定して解くパターン。
使い慣れてない人からすると「天才的な発想」に見えてしまうかもしれませんが、天才でもなんでもなく、
図形問題の解法パターン
①図形の性質を利用して解く
②座標を設定して解く
③ベクトルで解く
を知ってて、一つずつ検討しているだけです。
さて、座標を設定する問題の場合には、いくつか書かなければならないことがあります。

座標は、直角関係の図形が登場したら導入を検討せよ

まず、普通は直角が絡む図形(直角三角形、長方形、正方形など)に使う場合が多いです。
リンク先を見てもらうと分かりますが、この問題は正方形が登場しています。また、文系は初めから座標が与えられていますが、理系は図形だけで座標は導入されていません。この辺りも、学びになるポイントです。
では、話を戻して、この河合の問題ですが、直角が絡む図形ではありません。平行四辺形です。
では、なぜ座標を導入しようと思うかというと、角度が45°で、長さが√2になっており、(1,1)と座標を導入するとキレイにハマるからです。
つまり、座標を導入させたいのかという意図がありそうなので、直角じゃなくても座標の導入を検討できます。
※無理やりであれば、どんな図形でも座標を導入して構いません。

座標上の垂直二等分線の処理

さて、このブログでは再三に渡り書いているのですが、垂直二等分線の処理は非常に重要です。意外にも頻繁に出ますので、パターンをおさえられていない場合、必ず身につけてください。
なぜなら、上にも書きましたが、
Point
紙の折り返し = 線対称 = 垂直二等分線
があるため、線対称とセットで登場するのです。
垂直二等分線の処理の仕方は、基本がこちら。数Ⅱの「図形と方程式」に登場する問題の解法を覚えておきましょう。
簡潔に言えば、
①垂直条件、②中点の条件 という、文字通り「垂直二等分線」の名の通りの立式をします。
これを利用して、地道に計算を進めていくと、このような解法になります。

 

但し、①図形として解くパターンに比べて、かなり計算量が増えます。文系受験者にはちょっと厳しいかもしれませんね。時間もかかりますし。

③ベクトルで解く

では、最後の1つ、ベクトルで解く場合です。

垂直二等分線の条件をベクトルで解くことは、かなり珍しいと思いますが解けます。

但し、やはり①図形で解くよりもやや面倒くさいですね。

 

ベクトルの解法の場合、交点の位置ベクトルを求めるのが、やや面倒くさかったり、大きさや面積といった、内積がからむ計算が面倒になりがちなので、必ず解きやすいものではないのですが、武器として持っていると安心感があります。

図形の問題とベクトルは、基本的には相性が良いので、これも使いこなせるようになりましょう。

 

まとめ

このように、図形の解法には3つありまして、どれも使えるようになると、東大文系レベルは盤石。

むしろ、今まで、「解説を読んでわかった」とか、採点をして終わり、みたいな勉強法をしてきた人は、実力が積み重なりにくいのです。

 

こうやって、別解の検討や体系化をしていくことで、効率よく実力に還元していきます。

ぜひやってみてくださいね。

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2019年夏 河合東大オープン 文系数学第2問の解説

ちょっと期間あいてしまいましたが、河合オープンの解説です。

第2問は文理共通問題でしたが、文系には少し難しかったでしょうか。でも、東大の本試の方がもう少し難しい印象なので、これくらいは解きたいところ。理系なら20点を平気で取りたいレベルです。

 

大雑把な感想としては、確率漸化式が解きなれてれば完答できるけど、苦手だと何もできないで終わるという感じ。あとは計算量が多いのが面倒ですかね。 という前振りで、細かく見ていきましょう。

 

(1)場合分けて計算するだけ。でもそれだけでは・・・

(1)は確率でよくあるタイプ。nが小さい場合の値を計算させる問題でございます。

得点を取るだけなら、樹形図を描いて計算すればよいのですが、(2)のようにnの場合につなげるにはそれだけではダメ。

 

なんなら、先に(2)を解いて、そのために必要な要素を(1)から探るくらいでよいと思います。

 

確率漸化式は、遷移図描いて、掛けて足すだけ

ということで、今回はいつもと変えて、(2)から解いてみましょう。

確率漸化式の問題は、遷移図を書いて状況を調べれば、ほとんど解けたも同然。計算ミスさえなければ、勝利が確定します。

 

その時のポイントは、

まず状態を細かく分けて分割し、まとめられるところをまとめて、シンプルにする

というもの。

 

今回は、

(Aの水量、Bの水量)と座標のように表現すると、

(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)

の6個の状態しかありません。

 

(2)で問われているPnは、nが3以上の場合に限定されていますが、nが3以上の場合、(0,0)と(0,1)は発生しません。

(0,0)は一度も(操作)を行っていない時にしか発生せず、(0,1)は(操作)を一度行ったときにBの容器を選択した場合にしか発生しません。

 

ということで、6つのうち(0,0)と(0,1)を除き、残り4つの状態で考えます。

状態を分割したら、まとめてみよう!

ここまでで4つの状態に分解しましたが、これで終わりではありません。ここからまとめる作業に移ります。

「まとめる」というのは、遷移図をシンプルに表現するということです。
今のままだと、an、bn、Cn、Pnの4種類が登場する漸化式になりますが、4つの連立漸化式を解くのは中々計算が多くなる。
これを、3種類にまとめることができれば、計算が簡単になり解きやすくなります。
具体的な注目ポイントとしては、
①対称性などに注目して複数の状態を1つにまとめるタイプ

 

②偶奇に関わるなどで、複数の試行を1つにまとめるタイプ

2012年文系第3問&理系第2問2008年文系第2問&理系第2問など

 

この問題は、特にまとめられるものがないので、仕方なく4つの場合のまま遷移図を書きます。

 

すると、こんな漸化式が立てられます。

 

ここまでくれば、あとは計算だけ。頭を使うというより、ミスしないように神経を使う問題にすり替わります。

 

計算が多少面倒臭い

ただし、計算が多少面倒臭いです。4本も漸化式が立ってますし、n=1で定義されない確率もあるので、等比数列の公式が使いにくいし。

こういうのに引っ掛かって計算ミスをすることなく、正確に計算しましょう。

細かい部分は、手書きの解答をご覧くださいませ。

 

普通の問題と逆

普通、東大の確率というと、カラクリを解き明かすのに時間がかかり、計算はそれほど時間がかからないというパターンが多いのですが、これは逆。

カラクリはまあまあ早く見極められますが、計算が面倒。ミスした人も多いでしょうね。

 

さて、計算量が多い問題は、どこまで計算を踏み込むのか常に気を配らなければなりません。

計算量が多くなった時、多くの人は「もう少しいじってみよう」と追いますが、実は大抵の正解は「ストップ」深追いせず、その先の展開を予想して、目途が立ってから進みます。

この辺りの感覚は、中々活字で伝えづらいのですが、覚えておくと、同じ実力でも、点数が数十点変わることがあります。

では、また次の記事をお楽しみに。

 

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2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問の解説

2019年夏 河合東大オープン 文系数学第1問の解説

毎年恒例、東大模試の解説を始めていこうと思います。
昨日実施された、河合オープンの文系第1問です。
まず問題から。
2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦

(1)は教科書例題レベル

瞬殺です。
(1)は教科書例題レベルと言ってよいでしょう。

関数の問題の超基本事項(中2で習います)である
関数の交点 ⇔ 連立した方程式の解
を使って、とにかくC1とC2を連立。すると、定数kが右辺に分離出来て、左辺が3次関数となります。

あとは増減表書いて、グラフを描いて、3回交わるkの範囲を求めると。
まさに教科書例題です。
2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦
↑この教科書の例題と同じ問題です。

さすがに、これは解けなきゃ。

(2)はも瞬殺

(2)は教科書例題レベルとは言いません。しかし、教科書レベルではあります。

α+β+γという数式はどこで見たことがあるでしょうか?端的に行って「解と係数の関係」の時だけでしょう。3文字の和という意味であれば、因数分解の公式など、他のものもありますが、今回は交点のx座標の和です。
先ほども言いましたが、交点のx座標というのは、方程式の解です。
つまり、3つの解の和ですから、3文字の解と係数の関係で一択になります。

というのが分かってしまえば、あとは鼻息交じりで、連立して3次方程式を作って解と係数の関係を立てておけば終わり♪
これも瞬殺で、ラスボスにチャレンジしましょう。
数学が得意なら、ここまでで3分以内でたどり着きたい問題。

垂心は扱いが雑でよい

では、最後に(3)に行きましょう。
簡単に言うと、△ABCの垂心の軌跡を求めろという問題。
軌跡の問題は、その点の座標をパラメータで表し、消去してxとyの関係式を求めるだけです。
但し、その計算過程で、少し図形的な考察を加えると簡単に行くこともあります。(アポロニウスの円など)

では、垂心はというと「何もなし」。
はっきり言って、垂心なんてその程度「イジって」おけば十分。いや、イジッたところで何もでてきません。
外心なら正弦定理と組み合わせるとか、重心なら2:1に内分するとか、色々あるのですが、、、。
垂心に関しては、ただ単に頂点から垂線を下ろしたら垂心を通るというだけで、特に何も覚えることはありません。

ということで、安心して各頂点から垂線を下ろしておきます。

垂線を下ろして、パラメータを消去

直線ABの方程式を求めたり、点Cから垂線を下ろしたりと計算を進めると、それなりに複雑な式が出てきますが、ここからはただの「計算力勝負」

こういうときは、自分が立てた式を箇条書きにしておいて、使える「武器」(つまり式)をはっきりさせておくのが良いでしょう。
今回の問題は、解と係数の関係の3本がパラメータ消去に使える式です。
これを念頭に置きながら、そして何度も計算ミスや遠回りをしても良いから、最後まで計算し終わったら終了です。

ちなみに、αとβとγとkは、それぞれが関係のある文字なので、1つになるまで消去しなければいけません。
そして、αとβとγはそれぞれ対称性がありますから、1つが消去できるということは3つが消去できるということ。
こういうことを冷静に考えられると、kを残すのが正解だとわかります。

ということで、手書きの解答です。
2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦

2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦

まとめ

(3)の計算が面倒くさく、慣れてないと混乱してしまうのでしょうが、流れ自体は一文字も書かなくても読める問題です。
(1)や(2)は満点を取らなければならない問題ですから、(3)の部分点も含めて10点以上はほしいところ。
東大の本番の入試の難易度と比べても、それほど違いはないと言えるでしょう。
では、また次回

2018年夏 河合東大オープン 理系第6問(複素数平面)

今日も更新できました!
これで、河合の東大オープンは揃いましたね。

では、いつも通りやっていきましょう!

【複素数平面は難しい!!】
東大でも頻出の複素数平面!
一つ前の過程では行列が代わりに入り、複素数平面がありませんでしたが、僕が現役の頃は数Bにありましたね。
そのころから、難しい単元だなと思っていましたが、こうやって先生になってから見ても難しい単元だと思いますわ。

なんたって、 「2018年夏 河合東大オープン 理系第6問(複素数平面)」の続きを読む…

2018年夏 河合東大オープン 理系第5問

やっと更新!
これからもなるべく書いていきますので、気長にお待ちくださいませ。

では、早速問題を見ていきましょう!

東大ではまず必ず出る、整数問題。(文系も)
東大模試でももちろん出ます。
でも、問題分からヒントがたくさん。まずは解く前でも読み取れる情報を取っていきましょう。

【解く前に情報を読み取ろう!】
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2018年夏 河合東大オープン 理系第4問

こんにちは。
今日も、東大模試の解説行きましょう。今年(2018年)の河合東大オープン理系第4問です。

問題はこちら。

見た瞬間手を出しそうな、関数や極限の問題。
今の高校数学のカリキュラムは、関数や方程式の分野に偏ってボリュームが多いので、こういう問題は得意な受験生が多い!
だから、ある意味で今の数学教育は計算訓練の延長みたいになってるともいえるのですが、そういう話は置いておいて、やりたくなる問題でしょう。

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2018年夏 東大河合オープン 理系第3問

すこしご無沙汰しましたが、今日からなるべく再開していこうと思います。
今日は河合の理系第3問です。
まずは問題から。

頻出の立体問題。
問題に図が書いていないのが、ややこしくしていますが、実はそこがミソの問題でもあります。

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2018年夏 駿台東大実践 文系数学第1問

駿台の東大実践も終わったので、解説を更新していきましょう。
では、文系第1問から

驚きの簡単さ!!
これは、チャートや4STEp、FOCUSGOLDなんかで登場しても良いくらいの、基本問題。
これは解けなければダメでしょう。

この問題は、この問題の類題です。

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2018年夏 河合東大オープン 理系数学 第2問

では、昨日に引き続き、2018年夏 河合塾の東大オープン、理系第2問です。
問題はこちら。

この問題は、文理共通問題でしたね。
(1)と(2)だけにしたのが文系の問題、理系は特別に(3)が追加されてます。

ということで、(1)と(2)の解説は、すでにこちらでアップされていますので、どうぞご覧くださいませ。
2018年夏 河合東大オープン 文系第4問

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2018年夏 河合 東大オープン 理系数学 第1問の解説

では、今日からは、先週行われた河合の東大オープンの理系の問題の解説に入りましょう。
いつも通り、問題から。

所見の感想、どうでしょうか?
xとyの関数が与えられていて、x+y=tとおき、最大値を求めよと。

これは、文字変数を減らす工夫の問題ですね。

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2018年夏 河合 東大オープン 文系数学第4問

それでは、文系数学の最後、確率の問題に行きましょう。

東大の確率は、見たことのない問題が出る
東大数学といえば、確率の問題が頻出!
毎年必ず出るといわれてますが、実際は数年度だけ出題されなかった年がありまして、それが去年の入試。

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2018年夏 河合東大オープン 文系数学第2問

それでは、昨日に引き続き東大模試の解説をしましょう。

河合の東大オープン文系数学の第2問です。

東大の整数問題は、比較的難しいことが多いですね。
確率とか微積分の問題の方が取りやすいことが多い印象ですが、この整数問題(ガウスと領域図示の問題)は、比較的取りやすい部類かと思います。

というのも、日ごろの勉強の延長線上に全て解法が乗っかっているからです。

この問題は、2つのポイントを押さえていると、満点解答が作れます。

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2018年夏 河合東大オープン 文系数学第1問の解説

お久しぶりです!
しばらく更新をさぼってましたが、絶好調で元気に頑張っております。

さて、東大受験生として非常に大切な、東大模試の季節ですね。
私も問題を入手して早速解きましたので、恒例の解説を書きたいと思います。
今回は、河合オープンの第1問です。

まずは問題から。

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【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系数学の作戦

4問を並べて作戦を考えよう!

昨日に引き続き、東大模試の作戦考察をしましょう。

昨日も書きましたが、簡単に趣旨だけ。

いつも一問ずつ復習して、解説を聞くことはありますが、入試を攻略しようとしたら、一年分の問題全体でバランスを考えなければなりません。

 

試験開始の合図の直後、問題の初対面の状態から、どう考えて、どう時間を使えば点数が最大化されるか、考えてみましょう。

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