2026年東大文系数学（第４問）入試問題の解答（答案例）・解説

２０２６年 東京大学数学 文系第４問

本文には概要を書きますので、詳しくは下の方にある手書きの解説をご覧ください。

（１）ただの加法定理

ただの加法定理を書くだけ。
これを見て「ラッキー♪」と思ってたらまだまだ。これを出されるってことは舐められてるってことだと思いますよ。
理系と共通問題で、文系だけ（１）が出されています。いくら何でもこれは簡単すぎます。
こういう問題を出しておかないと得点がなくなっちゃうと思われているのか。

唯一の救いは、東大側が今年の問題を難しいと認識していることでしょう。

（２）本領発揮

ここから本領発揮です。

３次関数に接線が３本引いてあって、その３本がどれもπ／３で交わっているという条件。久しぶりに「座標上で（９０°以外の）角度を扱う問題が来たな」と思ったら、２０２０年ぶりでした。このテーマはどこか１時期に頻出ということではなく、ずーっとちょこちょこ出されています。いつ出されるか分からないので注意しましょう。

角度をどう扱う？

さて、難しいのは、どうやって条件（※）を満たす式を作るのか。
３直線の角度をΘと、Θ＋π／３と、Θ＋２π／３にするのは思いつくとして、Θより小さい角度（例えばΘーπ／３など）は考えなくてもよいの？O、P、Qでの接線のうち、どれをΘにすればよいの？
などを考えていると立式が出来なくなってしまいます。

まず、図を書きながらなど、自分で気付かなければならないんですが、Θ＋２π／３は、Θーπ／３と同じ角です。今回、６０°ずつ回転させた直線をかんがえるので、正の方向に１２０°回転させたものとー６０°回転させたものは、一致してしまいます。
これが６０°以外だと成り立ちませんが、今回は元の直線と、６０°回転と１２０°回転の３種類だけしかなく、O,P,Qでの接線３本がどれかに該当することになります。

そして次にポイントなのは、大小関係を明らかにすることです。
今回ラッキーなのは、原点での接線が存在すること。微分してみればわかりますが、接線の傾きは原点で一番小さくなります。
残った２本はPとQの接線なのですが、これはどちらのｘ座標が大きいとか小さいとか決めてません。ならば自分で決めてしまえば良いので、（ｐのｘ座標）＜（Ｑのｘ座標）と決めてしまいましょう。
これで、傾きの大小が決まります。

こうすることで、どの接線がどれに対応するの？という疑問が払拭されて立式出来るようになります。

点Ｐと点Ｑの存在条件

立式すると等式が得られますが、ここで「あれ？どうやるんだ？」となるでしょう。
計算さえすればよい問題ではなく、論理も追わなければなりません。今回問われているのは「条件（※）を満たすＰ、Ｑが存在するようなｋの範囲」です。つまりＰとＱが存在しなければなりません。

説明が前後してしまいますが、文系数学で「点Ｐが存在するかどうか」と言われたら、点Ｐのｘ座標を文字でおき、その文字が実数として存在するかどうかを調べます。
だから、問題の初手は「点Ｐ、Ｑのｘ座標をｐ、ｑとおく」からスタートさせるのがおススメデす。

角度の立式を済ませると、ｐ＾２とｑ＾２が登場する式が得られるでしょう。
ｐとｑが存在するためには、ｐ＾２とｑ＾２が０以上にならなければなりません。これが条件（※）を満たす式（の必要条件）になります。

あとは、ｐとｑが実際に存在することを確かめれば終わりです。今回はｐとｑの値が直接求められてしまうので、求めてしまえば良いです。

（３）正三角形の面積

見通しが悪いとき、どうするか

最後の問題です。
先ほどの３本の接線で正三角形を作り、面積の最大値と最小値が４：１になるｋを求めよということですが、なかなかアプローチが難しいです。
というのも、（２）のように座標平面上で（９０°以外の）角度を扱うことが、まず面倒だし難しいんですよ。これに辺の長さが加わるとさらに複雑です。
正三角形の面積というのは、１辺の長ささえわかれば求まりますよね（手書きの解説で公式確認）。なので１辺の長さを求めに行くんですが、そのためには接線を出して、交点を求めて、三平方を使ってルートと２乗を使わなければなりません。こうなると計算が面倒になり見通しが悪くなってしまいます。

うーん困ったな・・・とずっと考えてて、手が止まってしまったんですが、なんと答えは引き出しの手前の方に入っていました。
そう、そのまま計算する！というもの。
普段、生徒を指導していて「アレコレ頭で考えてないで、手を動かしてみろ！」と偉そうに言っていたのに、自分がそうなってしまいました。

ということで、接線を求めて、交点求めて、辺の長さを計算して、面積を計算して・・・と、意外と計算が楽に進めました。（楽になるように作っているのかも）

面積の最大値、最小値について

面積が求められたところで、「最大値、最小値」に困ると思います。
今回、（２）の最後にｐとｑを求める場面がありましたが、１つの値に定まっているわけではありませんでした。（手書きの解説を見直してみてください）
ｐとｑが満たす式が得られたあと、「ｐとｑが少なくとも１つ存在する条件」を求めています。すくなくとも１つなので、別に２つ３つあっても良いし、別に無限個あってもよい。だから、色々なＰとＱが得られるうち、もっとも求めやすいものだけを求めたということなのです。

ということは、ＰとＱの値によっては面積が最大になるものの、最小になるものもあります。これを求めて立式すれば、ｋが求められます。

まとめ

それにしても、難しい問題でしたね。
計算の方向性も見出しづらいし、ＰとＱの存在する条件についても深い理解が必要だし、最後の最大値、最小値についても同様でちゃんと理解していないと解けません。
文系にしてはかなり難問だと思います。

実際のところ、文系の受験生は（１）しか解けない人が多かったのではないでしょうか。

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