2018年夏 河合東大オープン 理系第4問

こんにちは。
今日も、東大模試の解説行きましょう。今年(2018年)の河合東大オープン理系第4問です。

問題はこちら。

見た瞬間手を出しそうな、関数や極限の問題。
今の高校数学のカリキュラムは、関数や方程式の分野に偏ってボリュームが多いので、こういう問題は得意な受験生が多い!
だから、ある意味で今の数学教育は計算訓練の延長みたいになってるともいえるのですが、そういう話は置いておいて、やりたくなる問題でしょう。

とりあえず、微分して・・・
早速(1)からやってみましょう。
ふむふむ、Cの接線を引いて、共有点がもう一つしかないことを示せとな。
これは、簡単!方針がすぐに見えますね。
とりあえず微分して、接線を出して、fとlを連立して・・・とサクサク作業が進みます。

共有点が一つということは、連立した解が一つってことで、全部左辺にもっていって、x軸との交点を探るっていう流れはアルアル。
スムーズに進めましょう。

グラフを描いてみると、x=1で負の極小値を取りますから、あとはx軸より上の方まで増加するかどうか調べればよいんですが、
xの2n+1次関数ですから、無限大に発散するのは当たり前。
リミットを取って、ハイおしまい。

前半戦は簡単でした!ここまでは満点をもらいましょう。

(1)の後半が難しい・・・。
続きまして、(1)の後半戦。その解をtnとおいて、不等式を証明しろという問題。
これは、少し難しいですね。

これは、種別としては、不等式の証明問題なんですが、一番基本的な方法は、「左辺-右辺を計算して正を示す」というものです。
しかし、tnはg(x)=0の解で、詳しい正体は分かりませんし、右辺から引いても上手く計算できない。

ということで、工夫をしなければなりません。

そこで登場するのが、関数を利用した縦の比較!
横の比較は左辺-右辺なのですが、縦の比較は関数のy座標を比較します。
非常によく使う(特に理系)なので、ぜひマスターしてください!

正体不明な極限問題
次に(2)ですが、これは正体不明なtnが登場する値の極限問題。
Snや、Sn/nを計算すると、nとtnがたくさん登場します。
nに関しては気にせず極限を飛ばせばよいのですが、tnに関しては工夫が必要。

具体的には、tnの極限はハサミウチの原理を使います(←これも、アルアル)

ふー、これで終わりか、と思って安心して間違えた人も多いのでは?
よく見ると、tn^nの項がありますが、これは単純に計算できません。
1の∞乗になるので、1で良いじゃんと思うかもしれませんが、そうはいきません。ピッタリ1なら、何乗しても1ですが、1より少しでも大きいときはそうはいかないのです(反例、eの定義)

そこで、次数下げを実施してから極限をとるという、凝った問題。
非常に勉強になる問題ですね。ぜひ何度も復習して、マスターしたい問題です。

では、手書きの解答を。

難しいのですが、東大合格を狙うなら取りたいレベル。
(1)の後半を乗り切れば、満点が見えます。

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