数学4月②
こんにちは、スタッフBです。
今回は「論理」です。
数学全体に関わる分野になります。
事前に与えられた方程式や不等式、証明法の問題に目を通し、レシピ化、行間読み、別解の検討を行ってから授業に望むことになっています。
以下、授業で学んだことを整理しました。
・入試では、解の公式を使う問題は少ない。
・連立方程式は奥が深い。
連立方程式の解き方は2つしかない。
代入法か加減法。
なんとなく選ぶのではなく、どちらが妥当か比較して判断しなければいけない。
２次方程式ならxとyのどちらを消すかの判断も必要。
・複素数と実数と虚数の違いは？
a＋b iで表せる数 複素数
複素数でb＝0のとき 実数
b≠0のとき 虚数
・簡単な問題でレシピを抽象化して複雑な問題でも使えるように。
たとえば
｜xー4｜＝3x
でxを求めるとき、「かつ」や「または」を使って言語化できるように理解しておく。
・用語を学ぼう
解とは？
元の式に代入すると成立する値
方程式を解くとは？
解を求める、でなく、解を過不足なく求める
解なしとは？
この方程式を満たすxは存在しない
連立とは？
複数の式をかつで結ぶこと
今回扱った問題で、ぼくが使っている青チャートで見慣れない問題を紹介します。
11
xやyの解をtで表す問題
abの値で場合分けをして、aやbで解を表す、tで表す、解なしの3つになる。
12
解を求めるのではなくaを求める問題
xを消去して、因数分解をして場合分け
aの値によって、2式が一致して解が無数、解なしなどになる
・｜x｜＝C のとき
y＝｜x｜とy＝Cの交点を求めると考える。
だから C〉0のとき x＝±c
C＝0のとき x＝0
C〈0のとき 解なし
・両辺を2乗したときは気をつけよう
2乗するのはどんなとき？
不等式、√、絶対値など
2乗すると同値性が崩れるので十分性のチェックが必要
どうやって十分性をチェックする？
①AとBが同符号か確認
②解を元の式に代入
・命題とは？
真偽がはっきりするもの
・真偽の判定法
反例を探すしかない
真の判定は難しい
・背理法でなく対偶を使う証明の問題は？
代数では、次数を下げるのがセオリーだが、整数は次数が下がらないので、なんと次数を上げることが多い！
だから、「m^2が偶数ならば、mは偶数であることを証明せよ」のような問題では、対偶を取って「mが奇数ならば、m^2は奇数である」とし、次数を上げる方針で解く。
「〜である」の命題は背理法←「断定型
」と便宜的に呼ぶ
「pならばq」の命題は対偶←推論型と便宜的に呼ぶ
・対偶を使う例
2次式○○ならば1次式○○→対偶！
「ならば」→対偶
「すくなくとも」→対偶
・推論型「ならば」でも、背理法を使う時がある
ただし「ならば」を背理法で否定する方法は教科書にない
pならばqの反例は「p∩¬q」となる要素があること。この反例があると仮定して、矛盾させて証明する。
