2026年東大文系数学（第３問）入試問題の解答（答案例）・解説
目次
２０２６年 東京大学数学 文系第３問
下に凸の放物線と、ギザギザ
２つの関数が与えられて、大小関係と共有点を求めろと言われています。問題自体はシンプルな設定ですが、全てはｇ（ｘ）が複雑にしています。直感的に理解できないと思いますので、そういうときは分かる情報から積み重ねて、徐々に全体像をつかみましょう。
まずは次数。ｘの１次関数です。場合分けがどれだけ複雑でも、１次関数であることには変わりません。こういうのが大事。
次に傾きを見ると、２ｎ≦ｘ≦２ｎ＋１のときは１で、２ｎ＋１≦ｘ≦２ｎ＋２のときはー１です。ということは、傾き１の直線と、傾きー１の直線が登場するということです。
場合分けを見てみると、２ｎ≦ｘ≦２ｎ＋１と、２ｎ＋１≦ｘ≦２ｎ＋２です。要するに、「整数ｎに対し」とありますが、これは「すべての整数ｎに対し」というのと同じ意味です。「すべての」はよく省略されるので注意しましょう。これを踏まえて、２ｎ≦ｘ≦２ｎ＋１と、２ｎ＋１≦ｘ≦２ｎ＋２を解釈していきましょう。２ｎは偶数で２ｎ＋１は奇数ですから、「偶数から奇数のｘでは」と「奇数から偶数のｘでは」という意味になります。
これらを組み合わせると、「偶数から奇数のｘでは、傾き１の直線」で「奇数から偶数のｘでは、傾きー１の直線」という意味に解釈できますね。
最後に、端点を調べてみましょう。ｇ（２ｎ）＝０で、ｇ（２ｎ＋１）＝１で、ｇ（２ｎ＋２）＝０となります。
よって、ｇ（ｘ）のグラフはｙ座標の０と１の間をギザギザしている関数だということになります。
ｆ（ｘ）も複雑そうに見えますが、下に凸の関数で、軸がｘ＝１であることがわかれば、とりあえずＯＫだと思います。
（１）
ｘ≧５は調べなくてもよい
グラフの形もわかったところで、（１）に行きましょう。
（１）は「ｘ≧４においてｆ（ｘ）＞ｇｘ）であることを示せ」というものです。最初の「ｘ≧４において」も「すべてのｘ≧４において」という意味です。つまり、ｘ軸の４より右側では必ずｆ（ｘ）が上にあって、ｇ（ｘ）が下にあることを示す問題です。
ここでグラフの形を思い出してください。
ｆ（ｘ）は放物線ですから、軸であるｘ＝１より右側で単調増加です。一方ｇ（ｘ）はｙ座標が０と１の間をギザギザ動くだけで、大して増えもしなければ減りもしません。
ということは、ある程度右の方では、ｆとｇの差は開くばかりです。具体的にグラフを描いてみると、４≦ｘ≦５でｆ＞ｇを調べれば、５≦ｘでは調べなくても一言書けば済むということが分かります。
ということで、４≦ｘ≦５に限定して、ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）を調べます。不等式の証明は、（大きい方）ー（小さい方）とするのが基本です。ということで、ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ーｇ（ｘ）とおいてしまいましょう。
ｆーｇの最小値を調べるように論理を展開
また、４≦ｘ≦５の範囲で、常にｈ（ｘ）＞０となっていることを調べますが、常に不等式を満たす問題の場合、最大最小問題に置き換わります。４≦ｘ≦５を満たす全てのｘでｈ（ｘ）＞０となることを調べるのではなく、「４≦ｘ≦５の範囲のｈ（ｘ）の最小値＞０」を示せばよいのです。（クラス全員が赤点を回避していることを調べる代わりに、クラス最下位のヤツが赤点を回避していることを調べてもOK）
ここまでくれば、ｈ（ｘ）という２次関数の最小値の問題です。つまり平方完成して、範囲を調べて終わり、ということになります。
軸の位置、相加相乗、等号成立しない証明・・と手数が多い
平方完成してみると、軸の場所に文字定数ａが入ってしまいます。
仕方がないので、与えられたａの範囲である０＜ａ＜１を使ってみると、軸は５＜ｘにあることが分かります。よって最小値はｈ（５）に決定！
ｈ（５）を計算してみると相加相乗の形が登場するので使って、ああ面倒くさいと思ってやってみると、やっとｈ（５）≧０が証明完了・・・かと思いきや等号が邪魔です。求めるのはｈ（５）＞０であって、等号が付いていてはいけません。
ということで、いつもやっている「等号成立条件」ではなく「等号が成立しないこと」を示す必要があります。等号になるのはａ＝±１のときであるので範囲外です。ここまで調べてやっと証明完了でした。
設定はシンプルながら、手数が多いですね。色々やってやっと（１）が終わりました。
論理の展開もおおく、数学に慣れていない人は途中で混乱したことでしょう。文系にしては難しい（１）なのかなと思います。
（２）
またまた、初めにグラフを確認
（２）は共有点の個数を数える問題です。
範囲はｘ≧０と指定がありますが、（１）でｘ≧４ではｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）となること（つまりｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の共有点はない）が示されています。
ということは、調べる範囲は０≦ｘ≦４のみです。
さらに、ｆ（ｘ）もｇ（ｘ）もｘ＝１で線対称なので、０≦ｘ≦１と１≦ｘ≦２では同じです。ということは、１≦ｘ≦４で調べればＯＫです。かなり絞り込めました。
ｆ（１）を調べる
では共有点を調べていきましょう。
ｇ（ｘ）はギザギザで、各点の座標を調べるまでもないので、ｆ（ｘ）の座標を調べることで共有点が分かります。
まずｆ（１）を計算してみると、またａが分母の式になります。面倒ですが、与えられたａの範囲で調べてみると、なんと０＜（ｘ）＜１が出てきます。（というより、こうなるようにａの範囲を設定したのでしょう）これで、ｘ＝１の時に、０＜ｆ＜ｇ＝１となっていることが分かりました。
ｆ（２）を調べる
次にｘ＝２ではどうなっているかというと、これは計算する必要はありません。
ｘ＝１でｆ＜ｇとなり、ｘ＝２でｆ＞ｇとなるので、必ず共有点があります。（厳密にいうと、ｆが単調増加でｇが単調減少であることを指摘して、初めて共有点が１個だと言えますが、グラフが描いてあれば、そこまで言わなくても大丈夫でしょう。）
ｆ（３）を調べる
ということで、ｆ（３）を調べます。
まずｆ（３）＞０は明らかです。単調増加なのでｆ（１）より大きいですからね。ｆ（１）＞０はさっき調べています。
問題なのは、ｆ（３）が１より大きいのかどうかです。
計算してみるとまたまたａが分母にある式になるので調べてみると、ａの値によって変わりそうです。面倒ですがａで場合分けをしてｆ（３）が１より大きいのかどうか調べます。
これで共有点の個数が分かりました。
グラフを描いてみて場所を確認しながら、答えましょう。
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