2026年東大文系数学（第2問）・理系（第2問）入試問題の解答（答案例）・解説
２０２６年 東京大学数学 文系第２問・理系（第2問）
三角形をなす条件は絶対覚えろ！
３点を選んで三角形をなす条件がでましたね。東大の過去問でもたびたび見かけます。
過去問をしっかり取り組んでいる人ならば即答でしょうが、そうでない人な「えっと、三角形になるってことは・・・」と考えるところからスタートになります。時間もかかるし、間違える可能性もあります。こうやって時間も点数も差がついていくわけですから、基礎は大事ですね。
一方、今年の第４問なんかは難しくて、後半なんかはほとんど誰も解けないでしょう。
後半が解けちゃうような数学超得意な人だけに関わる話で、大半の受験生には無関係です。つまり合否にあまり影響がない。と考えると、結局合否を分けるのは、基礎なんだよな～、と考え直した１問でした。
さて、余談が過ぎましたので、本題へ。
３点が三角形をなすためには「①３点がどれも重ならない（同一の点にならない）」かつ「②同一直線状に並ばない」です。①かつ②を満たさなければなりません。
今回の問題は、３ｎ個の点から３つ選んで確率を求める問題ですが、普通にｎＣｒを使って点を選べば、同一の点を選んでしまうことは避けられます。つまり①に関しては、気にしなくてよいなので、「②の同一直線状に並ばない」だけがこの問題で考えるべき要件ですね。
（１）たて、よこ、ななめ
求めるのは「三角形をなす条件」ですが、上述したとおり「同一直線状にならばない」のが条件です。同一直線状に並ばない場合を一つ一つ数えても良いですが、同一直線状に並ぶ場合を数えた方が圧倒的に早いので、素直に余事象を取りましょう。
では、つぎに横３×縦５の格子点（ｘ座標もｙ座標も整数の点）に、直線を引いていきます。
ここはシンプルに「たて、よこ、ななめ」の３パターンに場合分けして数えていけば、もれなく数えられるでしょう。（他の分け方もあります）
横（ｘ軸平行）に引いた直線に３点が並ぶ場合は５通り、縦（ｙ軸平行）は１本につき５C3通りでその３倍、斜めは傾きが±１と±２の４本があります。傾き±２の直線を忘れないようにしましょう。
数えれば４３通りになります。（あとあ手書きの解説参照）
（２）斜めの本数を間違えないように
（２）もほぼ（１）と同じです
余事象をとって、たてよこななめに場合分けして数えればＯＫです。方針で迷わなくて済む分、楽ですね。
横（ｘ軸平行）は２ｍ本、縦は１本につき２ｍＣ３本で３本引けるからその３倍。ここまでは簡単です。
この問題が難しいのはここから。斜めをどう数えるかで手こずるでしょう。
（１）で行ったように、傾きを利用するのがスタンダードでしょう。
このような場合、傾きをｋとおいて、直線が引ける数を数え、Σをとるのが楽です。
傾きｋの直線が引ける本数を求めてΣの中身にして、ｋの最小値と最大値（傾きの最小値と最大値）を求めてΣの上下に書き込めばお終いです。
傾きで場合分けをするということも考えられますが、傾き１のとき○○本、傾き２の時〇〇本・・・とやっていくと、結局これ自体が数列になっていることに気づくと思います。これがΣの中身に相当するので、やはり始めから傾きをｋとおいてしまった方が早いのです。
あとは計算して終わり、ということで細かいところはいつも通り手書きの解説をご覧ください。
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