2025年東大文系数学（第4問）入試問題の解答（答案例）・解説
目次
２０２５年 東京大学数学 文系第４問
解くまでの手順は簡単だが・・・
問題を見た瞬間に解き方が分かる問題です。
領域を図示して、面積を求めて、最大値を求める。その際、ａの値によって場合分けが生じるだろう。
ほとんどの人がこのくらいのことは読めてしまうでしょう。
しかし、そんな基本パターンの問題にも、東大らしい「仕掛け」が用意されています。簡単なのに解けないという絶妙な難易度の問題です。
各グラフの概形を確認
まずは固定されたグラフから描く
では解いていきましょう。
与えられたグラフが３つありますが、１つは文字定数ａを含まない関数（ｆとします）で、真ん中がａを含み絶対値も含む関数（ｇとします）、下のものはｘの範囲（この場合、定義域と考えてもよいでしょう）です。
真ん中のグラフｇがａによって場所が変わるものなので、グラフを描くのを後回しにして、先に他の２つを図示しましょう。
すると、ー１から１の範囲で、上に凸のグラフが描けますね。領域としては、ｙ≦ｆ（ｘ）なので、下側になります。このグラフに、真ん中のｇを合わせていくように考えます。
動くグラフの動き方を把握
次に動くグラフｇの動き方を把握しましょう。
ｇのグラフは、ｙ軸対象で下に凸の放物線に絶対値がついたものです。今回のように関数全体に絶対値が付いている場合は、ｙ軸より下の部分を折り返せばよいというのは有名ですね。
この法則に従ってグラフを描いてみましょう。
頂点が（０，ａ）ですからａ≧０のときには、放物線がｙ軸より完全に上にあります。ということはｙ軸より下の部分がないため折り返す必要はありません。よって絶対値をそのまま外しても大丈夫ですね。（ａ≧０なので、絶対値の中身が常に０以上だから、外せるのは当然です）
ということで、放物線を素直に書いて終わりですね。ということで、ｙ≧ｇ（ｘ）のグラフはこんな感じです。
次に、ａ＜０の場合です。
この場合、絶対値の中身の放物線の頂点が、ｙ軸より下になってしまいます。ということは、そのｙ軸より下の部分を折り返さなければなりません。
よって、このようなグラフになります。
場合分けをして、全種類の領域を図示してみよう
ａを段々小さくしてみよう
では、３つのグラフ（領域）を重ね合わせてみましょう。
ここからが複雑なところです。余談ですが、受験生や合格者に聞いたところでは、この重ね合わせる作業がややこしくて挫折したという声が多いように思います。
さて、ややこしい時はどうするか。
面倒さを許容して、丁寧に作業するしかありません。「こんなに面倒なはずはない」とか「こんな面倒なの、私にはできない」と思わず、我慢してやるしかありません。
まず、考えやすいように、ａの値が大きいところから考えてみましょう。
ａ＝２では、ｆの頂点とｇの頂点が一致してしまい、領域がなくなってしまいます。厳密には点（０，２）のみが領域内の点なのですが、面積としては０です。
次に、ａを少しだけ小さくして、ｇのグラフをｙ軸負の方向に移動させましょう。
すると、こんな感じ。上の方に面積が見えるようになりました。
このままａを小さくしていくと、ｆとｇの交点が、ー１≦ｘ≦１の範囲からはみ出してしまいます。
そこで、ｆとｇの交点の座標を求めると、ａ＝１／２と分かります。
よって、場合分けの分岐点がａ＝１／２と分かりました。
ということで、先ほどのこの場合は、
１／２＜ａ＜２の場合だったと分かりました。
また、ａ＝１／２の場合の図は、下のように、ｆとｇの交点がｘ＝ー１とｘ＝１ピッタリになる場合であり、
ａ＜１／２の場合は、下のようにｆとｇの交点がはみ出てしまう図になることが分かります。
さらにａを小さくしてみる
さらにａを小さくしてみましょう。すると、今度はｇのグラフの頂点がｙ軸より下の方まで移動してしまいます。
先ほど考えたように、頂点がｙ軸より下になってしまうと、ｇのグラフは放物線を折り返さないといけません。よって、ａ＝０が場合分けの分岐点であることが分かります。
（というか、ｇのグラフを描いている段階で分かっていたことでもあります。）
ということで、先ほどのこの図
は、０＜ａ＜１／２の場合だったことが判明します。
そして、ａ＝０の場合の図はこちらで
ａ＜０までａを小さくすると、このような図になります。
最後の場合分け
さらにａを小さくしてみましょう。
ａを小さくすると、ｇの放物線がさらに下に下がります。すると、ｇとｘ軸の交点がｘ＝ー１とｘ＝１より外側まではみ出てしまうことが分かります。
そこで、ｇとｘ軸の交点がｘ＝±１を通る場合のａを調べると、ａ＝ー１であることが分かります。
よって、先ほどａ＜０の場合だと調べた下図は、ー１＜ａ＜０の図であったことが判明し、
ａ＝ー１の図は下のようになり
ａ＜ー１の場合の図は下のようになることが分かりました。
さて、このままａを小さくしていき、ａ＝ー２まで小さくしてみます。すると場合分けの必要がない変形しか起こらないと分かります。
（領域の上部はつぶれてしまいますが）
ということで、これですべての場合分けが終わりました。
このような丁寧な作業をしないといけません。ややこしいし面倒ではありますが、丁寧に作業をおこないましょう。
このような作業に慣れていない人は、必ず自分でやってみて、慣れておいてくださいね。
面積の増減を調べよう
ここまででも大変でしたが、やったこととしては、領域を図示しただけです。
求めるのは面積の最大値。ということでここから面積に注目していくことになります。
普通なら、面積を求めてグラフを描くが・・・
さて、面積の最大値を求めるにあたって、普通なら書く場合について面積を実際に計算して、グラフを描いて、最大値を求めることになります。
たくさん場合分けしたものを、列挙すると
１、ａ＝２
２、１／２＜ａ＜２
３、ａ＝１／２
４、０＜ａ＜１／２
５、ａ＝０
６、ー１＜ａ＜０
７、ａ＝ー１
８、ー２＜ａ＜ー１
９、ａ＝ー２
と、９通りもありました。
但し、このうち、ａ＝０とか、ａ＝２などの等号の場合は、左右どちらかの場合に含めてしまえば場合分けしなくても良いので、
実際は９通りのうち、４通りだけで良いことになります。いや、４通りもしなければなりません。しかも全部積分計算だし、特にー１＜ａ＜０の場合なんかは、インテグラル自体も場合分けしないといけません。
これは面倒くさすぎるということで、ちょっと珍しい工夫をします。
図示しながら、面積の増減を示す
ということで、本問の最大のポイントを解説していきましょう。
本問は場合分けと面積計算が面倒すぎるので、手間を省くために「面積の増減を図から示す」という解法を採る解法を採ります。（解説を描く際に、色々な塾や予備校さんの解答を参考にしましたが、多くがこの解法を使っていました）
どういうことかというと、例えば、ー２＜ａ＜ー１の場合と、ａ＝ー１の場合を比べてみましょう。
ａが大きくなるほど、ｇの放物線（を上下反転させた上に凸の部分）が下に下がります。すると、明らかに面積が増えます。ということは、ー２＜ａ＜ー１において面積は単調増加になり、ａ＝ー１の場合の面積より必ず小さいことが分かりますので、ー２＜ａ＜ー１の場合は面積を計算する必要がありません。
同様に、ａ＝０の場合と、０＜ａ＜１／２の場合を比べてみましょう。
このときは、ａが大きくなるにつれて、ｇの放物線（反転していない）が上に移動していきます。すると、面積はあきらかに減っていくことが分かりますね。つまり０＜ａ＜１／２において面積は単調減少であることがわかるので、やはり面積を計算する必要がありません。
そして、動揺に１／２＜ａ＜２の場合も前後と比べて面積が単調減少であることが分かります。
このように、面積が明らかに単調増加したり単調減少したりする場合が３つ生じます。
このように、図を見ながら面積の増減を指摘する問題は、あまり他に例を見ないかもしれませんが、日本語を添えながらしっかり記述すれば十分論証できます。
面積計算は１通りだけでよくなる
ここまでの話を増減表にまとめると、非常にわかりやすいので、載せてみましょう。
これを見ると、結局ー１＜ａ＜０の場合に最大値を取るはずだと分かりますね。
では、ー１＜ａ＜０の場合の図を見てみると、ａが大きくなるにつれて、面積が減る部分と増える部分が混在していて、
図を書くだけでは単調増加とも単調減少とも言い切れません。
こうなると仕方なく面積を計算するしかありません。
ということで、やっとインテグラルの計算をすることになります。あとは計算なので手書きの解説をご覧いただきたいと思います。
ちなみに、図だけで増減を論証せずに、計算したらどうなるかという点も手書きの解説に描いてありますので、よかったらご覧くださいませ。
手書きの解説
2025(4)文数 解説オマケ：図で論証する問題
さて、この問題では、普通なら計算して示すものを、図で示すところがポイントでした。
ここで思い出したのが、２０２０年の第３問の（１）です。
この問題は半直線の通過領域を求める問題なのですが、普通は通過領域の解法として順像法や逆像法を用いて式で処理するところ、図形的に処理するのが最適解となる問題でした。
「式で処理すると煩雑になるから図形で処理する」という部分がそっくりです。
式で計算をしていればよいと考えてしまいがちな方は、図形的なアプローチ「も」行うようにしてみてください。
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