2018年夏 東大河合オープン 理系第3問

すこしご無沙汰しましたが、今日からなるべく再開していこうと思います。
今日は河合の理系第3問です。
まずは問題から。

頻出の立体問題。
問題に図が書いていないのが、ややこしくしていますが、実はそこがミソの問題でもあります。

では早速解説をしていきましょう。
線分の長さの積と来たら相似
(1)はNP×NP’の値を求めよという問題です。
いきなり大きいなポイントですが、線分の長さの積と来たら相似をはじめに考えましょう。
図形の問題のパターンはたくさんあるようですが、実は結構パターンが決まっています。この問題も、その一つ。
実は、長さの積に関する問題は、ほとんど相似の式を立てれば終わってしまいます。

高校数学で習う図形の性質はたくさんありますが、一度教科書をめくりながら、結論の式を眺めてみて下さい。
NP×NP’のような、長さの積になるのでは、相似の問題だけだと思います。

例外といえるか分かりませんが、方べきの定理も長さの積が登場しますね。しかし、方べきの定理も相似を使って証明する定理ですので、結局は全部相似と言って良いでしょう。

あとは、丁寧に図を描いて、相似の式を立てれば終わり。実は中3でも解ける問題でした。

手書きの解答には、別解を載せておきましたが、そちらの解説もちらっとしましょう。

図形の計量の問題は、長さ、角度、面積、座標
先ほどの相似を使った解法は、最も簡単に解く方法だったと思いますが、他にも解く方法がありまして、それが計量に持ち込む方法です。
「計量」というと、聞きなれないかもしれませんが、要するに長さや角度を文字で置いて、立式して解く方法です。

恐らく、問題を解いた方の中にも、どこかの長さを文字で置いたり、角度をΘで置いたりして解いた方もいると思いますが、そういうのは全部、図形の計量をしているといえます。

さて、そこで大きなポイントなのですが、図形を計量するときには、手段が4種類しかありません。それが
①長さを文字で置く
②角度を文字で置く
③面積を文字で置く
④座標を設定する
の4つです。

ミソは4つ目。
図形の問題に思いきや、座標の問題として解くと、意外に簡単♪という問題は多数あります。
この問題も、座標を設定して解くことが出来ますので、どうぞ別解をご覧ください。
ちなみに、四角い図形が出るときに、座標を設定するのがおススメです。何しろ、直交座標は四角の組合せですからね。

なお、面積を文字で置くパターンは、比較的少ないかと思います。

対称性+最大最小と来たら・・・?
では、(2)に行きましょう。
今度は、PだけではなくQも設定して、P’Q’の取りうる値を求めよという問題。

まずは、超基本事項の確認ですが、とりうる値の範囲を求めよというのは、最大最小問題とほぼ同じです。
そして、基本的にはグラフを描く問題に帰着するのも押さえましょう。
グラフが描けない場合や、グラフより早く解ける手段がある場合は、グラフ以外に手を伸ばすこともありますが、グラフが第一候補だと考えておけば、まあまず外しません。

そして、今回はPとQが対称性を持っています。
PとQに対して、どちらかが特殊な条件があるわけではありませんので、解答を進めていっても、PとQに関しての対称式が出るのが当たり前。
これをどう処理するのかが、腕の見せ所です。

その手段は・・・?
ということで、手書きの解答を見ながら、P’Q’の長さを求めるところまで行ってほしいのですが、するとやはりpとqの対称式が出てきますね。
ここで、pとqの条件を確認すると、
0<p<k、0<q<k、p^2+q^2=k^2の3つです。

式の見た目は複雑でも、設定は簡単。
一番簡単なのは、1文字消去をして、グラフを描くことでしょう。
ということで、手書きの解答もそのようにしておきました。

トリッキーなやりかた(!?)としては、相加相乗を使うことも出来ますね。しかし、最小は求められても、最大が求められないので、やはりグラフが今回は良い気がします。

また、第1問のように、pとqの関係式を合わせて、新しい1文字の変数に置くことも考えられますね。
ただ、式の形が複雑になるため、あまり有効ではありません。ということで載せませんでした。

と、色々書きましたが、最後に手書きの解答をご覧くださいませ。

さて、この問題。
実は使っている数学が、中3と高1だけ。
高校1年生に、理解させようと思ったら出来てしまう問題です。
でも、こうして模試として出されて、緊張感の中で解かされると、なかなかできないんですよね。
非常に、復習するのに良い問題だと思いますので、ぜひ何度か解きなおしたり、別解を探ったりしてみて下さい。

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