２０１８年夏　河合　東大オープン　理系数学　第１問の解説

では、今日からは、先週行われた河合の東大オープンの理系の問題の解説に入りましょう。
いつも通り、問題から。

所見の感想、どうでしょうか？
ｘとｙの関数が与えられていて、ｘ＋ｙ＝ｔとおき、最大値を求めよと。

これは、文字変数を減らす工夫の問題ですね。

変数を減らす方法
もともとの問題はｘとｙの２変数関数です。
しかし、上手い変形をすることにより、変数の数が減らせて、問題の設定が簡単になることがあります。

例えば、過去に東大でも、同趣旨の問題が出題されています。

＜１９９５年　文理共通問題＞

この過去問題は、ｘかｙで両辺を割って、ｘ／ｙかｙ／ｘを新たな文字ｔで置くと、変数が２つから１つに減って、見通しが良くなる問題です。（次数が同じ式ということで、同次式といいます。）

今回の河合塾の問題は、これをさらに応用させた問題。
ｘ＋ｙと、ｘｙが混在するのですが、ｘ＋ｙ＝ｔとおき、ｘｙの最大値をｔで表すと、式全体からｘとｙが消滅し、ｔだけが残る。
すなわち、ｔの関数として考えられるというものです。
詳しくは、最後に載せてある手書きの解答をご覧くださいませ。

（１）和と積といえば？
では、具体的に問題の解説に入りましょう。
自然対数の底ｅの指数にｘ＋ｙが見えて、これをｔとおくのは誰でもわかります。
問題は、ｌｏｇの方。
ｌｏｇｘ＋ｌｏｇｙは、このまま計算するとｘとｙの積が登場してしまいます。
しかしｔはｘとｙの和。
こういう場合どうするでしょうか？

ヒントとなるのは、「最大値を求めよ」というもの。

和と積と最大値、ときて連想したいのは相加相乗平均の関係。
相加平均は、２つの数字を足して２で割ったもの、相乗平均は２つの数字を駆けて平方根を取ります。
要するに、和と積が登場する不等式。

だから和と積と最大（最小）と来たら反応しなければなりません。

別解多数

しかし、この問題。
あまりに基本問題すぎて、別解が多数存在します

例えば、数Ⅰの２次関数の範囲では、ｙ＝ｔ－ｘと変形し、ｘｙ＝ｘ（ｔ－ｘ）をして、２次関数に持ち込む方法が紹介されています。
また、ｙを固定し、ｘだけを変数と見て微分し、グラフを書いても出来る。

と、別解が多数なので、せめて３パターンくらいは、頭に入れておきたいところです。

いずれにしても、ｘｙの最大値を求めると、（１）は終了。
問題文にはいろいろ書いてありますが、結局は基本の最大最小問題にすぎず、難易度は控えめです。

１変数になったので、素直に微分

では、続いて（２）
とは言っても、（１）を終えた時点で、ｔだけの１変数関数になってますから、ｔで微分すればよいだけの話。
普通の微分の問題を解けばＯｋ。
２回微分する必要はありますが、特に難しいところはなく、最後までいけるでしょう。

強いて言えば、ｔ＝２で最大をとるのを見破るのが難しいでしょうか。
式の形を見ながら、「あ、２を代入すれば、いけるんじゃないか？」と気づかなきゃいけないわけで、方程式を解くと出てくる値ではありません。

ということで、この問題の解説は以上。
東大模試とはいっても、微積分は難易度が低めの問題が紛れていることが多いので、ねらい目です。