教科書や問題集で誤魔化されている、背理法の正しい使い方

東大合格塾の実施速報の続き、始めていきましょう。

前回は、背理法と対偶命題の証明法の使い分けについて書きました。
命題には2種類あって、それが断定型と推論型。
断定型の証明には背理法を使い、推論型の証明には対偶命題を使うという話でした。

これで完結したら簡単なのですが、そうもいきません。
推論型なのに、背理法を使う解法が、流通している問題集によく載っています。
しかもその説明が不十分で、誤魔化さず書かれている参考書に出会ったことがありません。

なぜ、推論型なのに対偶命題ではなくて、背理法を使うのか。
推論型の命題に対して、背理法を使う方法はどういうものなのか。
今日は、この疑問を解消していきましょう。

まずは、背理法の時に行う、否定の仕方について話すことからです。
教科書では「条件pに対し、pでないことを否定という」と書かれています。
英語で言うと、not。
厳密な定義というより、観念的な定義ですね。
また、これは断定型の命題に対して定義されています。

しかし、実は推論型の命題にも否定が使えます。
推論型の命題とは「pである ならば qである」という形の命題です。
記号でかくなら「p⇒q」となります。(矢印は“ならば”の意味です)

“ならば”を否定するってどういうこと????
って思うかもしれませんが、大学数学まで学習すると“ならば”の否定の仕方が登場します。

今回は難しいことは省いて、結論だけご紹介しますが、
「pならばq」を否定すると、「p かつ qでない」とします。
これさえ覚えていれば、大学受験の背理法の使い方は十分でしょう。

例えば、
「nが偶数 ならば、n^2が偶数」を否定すると、
「nが偶数 かつ n^2が奇数」となります。

この否定の仕方が理解出来れば、もうゴールです!
推論型の背理法は、
「p かつ qでない」という条件で矛盾を示す技術だということになります。
大学受験の方法論としては、ここで終了。

最後に、前回の記事で紹介した問題の解説をして終わりましょう。

私の手元にある、教科書傍用の問題集に
「pとqを有理数、Xを無理数とする。
p+qX=0 ならば、p=q=0である ことを証明せよ」
という問題が載っていました。
※これは、いわゆる無理数の相当の証明問題ですね。

そして、解答の一行目を読むと
「q≠0と仮定する。」
と書かれています。

問題自体は推論型なのですが、背理法を使って証明しています。
ということで、今日の記事のテーマに沿っていますね。

しかしながら
「q≠0と仮定する。」
というところが非常に怪しい。

なぜなら、
「p=q=0である」を否定すると
「p≠0 または q≠0」となるはずだからです。

「q≠0を仮定する」だけで、本当に証明出来ているのか、非常に怪しいですから、もう少し厳密に証明してみましょう。

「p≠0 または q≠0」をベン図で書いてみると、
①「q≠0」

②「p≠0 かつ q=0」
の場合分けをすれば、背反に分けられることが分かります。

①の「q≠0」であれば、
p+qX=0が、X=-p/qと変形出来て
左辺が無理数、右辺が有理数となるので矛盾。

②の「p≠0 かつ q=0」であれば、
p+qX=0にq=0を代入したp=0と、仮定のp≠0が矛盾。

いずれにしても矛盾。
ということで、背理法により証明完了となります。

ちょっと細かい話をしましたが、教科書や参考書に誤魔化しなく書かれているものがないので、書きました。
証明法って、皆さん必ず解法に困ると思うので、今後も折を見て紹介していこうと思います。

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