2014年 東大文系数学第3問③ 解の配置、すだれ法(ファクシミリ)、包絡線

入試の解説
大変お待たせしました。
2014年の東大文系第3問と、理系第6問の解説の続きです。
東大で超頻出のテーマである、通過領域について、皆さんのノウハウになるよう、しっかり書こうと思い、少しお時間を頂きました。
前回と前回の記事

2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!

で、通過領域に必要な解法の種類を、基本問題で解説しましたので、どうぞ先にご覧くださいませ。
定通過領域の問題にたどり着くまで。
では、まずは問題を見てからどう考えるか、です。
問題はこちら。
まず、y=√3xと、y=-√3xが見えますが、傾きが√3と来たら、60度の傾きになっているのを思い浮かべなければなりません。
すぐに反応しましょう。
計算用紙に、xy座標と、2本の直線を書き、60度を意識。
点Pと点Qのx座標をpとqかなんかで置いてみると、なんとOPが2p、OQが-2qとなり、
OP+OQ=6の縛りも、
2p-2q=6
p-q=3
という、単純な式で落ち着きます。
あら簡単。ここまでは、あまり不自然な発想はないかと思います。
ちなみに、pの定義域やqの定義域も、問題文を読めば
0≦p≦2、-3≦q≦0と簡単に求められます。
p-q=3から、pに統一するか、qに統一するかの2択がありますが、素直に正の数であるpに統一した方が良いでしょう。
よって、-3≦q≦0に代入して、
-3≦p-3≦0
0≦p≦3
よって、0≦p≦0 と、0≦p≦3の共通部分を求めて、0≦p≦2が定義域になります。
次に、直線PQを求めますが、これは簡単。
直線の方程式の公式を使えば簡単です。
そして、(s、t)を代入。
すると、sとtとpの関係式が求められます。
ここから、通過領域の問題のスタートです。
解の配置で解く!
では、まずは解の配置で解く解法です。
最終的にはst平面の図を描くことになるので、pがパラメータになります。
そこで「pがsの定義域に少なくとも1つ実数解を持つ条件」を求めるというのが方針です。
以下のようになります。
今回の問題は、通過領域の問題というだけでなく、sの範囲がややこしくて難しさが増しています。
先ほど求めた0≦p≦2という範囲と、s≦p≦s+3の共通部分が、何パターンかに分かれていて、さらに軸の位置でも場合を分けるという、ややこしさ。
まず滅多に見る事の出来ない面倒臭さです。
しかも解の配置では、場合分けが多くなることが多いので、非常に面倒な解法となってしまいました。
すだれ法(ファクシミリ論法)で解く!
次にすだれ法(ファクシミリ論法)を利用した解法です。
方針としては、sとtとpの関係式において、sで場合分けをし、tの値域を求めます。
もっと具体的にいうと、
(tの最小値)≦t≦(tの最大値)
という評価の式を作るのが目的です。
では解法をどうぞ(解の配置と似ています。)
これの方が、少し簡単でしょう。
少し計算量が減りましたし、使いこなせれば見通しが良いと思います。
包絡線で解く!
では、最後に包絡線を使った解法です。
包絡線の方針は、
sとtとpの関係式と、それをpで微分した式を連立します。
すると、元々の式が常に接しているグラフが求められてしまうという、不思議な性質を利用したものですね。
では、手書きの解答をどうぞ。
今回の包絡線の解答は、「直線」ではなくて「線分」だというところが、少し特殊。
本当に設定がややこしくて、イヤになりますね。
でも、3パターンの解法のどれでも、同じ答えに辿り着きました。
この3パターンの存在をしらないと、お手持ちの参考書や問題集で予習や復習が、非常にしにくい!
ぜひ、比較しながら参考に学習を進めて下さい!
それでは、次回は理系第6問の解答です。

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