２０１４年 理系第６問の解説④ 解の配置、ファクシミリ、包絡線
２０１４年 理系第６問の解説
長々書いてきましたが、これで通過領域の問題の解説、最後です！
前回と前回の記事
２０１４年 東大文系数学第３問 理系第６問 通過領域の解法をノウハウにしよう！
で、通過領域に必要な解法の種類を、基本問題で解説しましたので、どうぞ先にご覧くださいませ。
定通過領域の問題にたどり着くまで。
昨日は文系第３問を扱いましたが、理系もほぼ同じ問題。（数字だけ変えてある）
文系の方が、場合分けが複雑な気がしますが、、、理系も十分に複雑。
とにもかくにも、解説していきましょう。
通過領域のフェイズに入るまでは、文系と全く同じ！
昨日とほとんど同じではありますが、ご覧くださいませ。
まず、ｙ＝√３ｘと、ｙ＝－√３ｘが見えますが、傾きが√３と来たら、６０度の傾きになっているのを思い浮かべなければなりません。
すぐに反応しましょう。
計算用紙に、ｘｙ座標と、２本の直線を書き、６０度を意識。
点Ｐと点Ｑのｘ座標をｐとｑかなんかで置いてみると、なんとＯＰが２ｐ、ＯＱが-２ｑとなり、
ＯＰ＋ＯＱ＝６の縛りも、
２ｐ-２ｑ＝６
⇔
ｐ-ｑ＝３
という、単純な式で落ち着きます。
あら簡単。ここまでは、あまり不自然な発想はないかと思います。
ちなみに、ｐの定義域やｑの定義域も、問題文を読めば
０≦ｐ≦２、－２≦ｑ≦０と簡単に求められます。
ｐ－ｑ＝３から、ｐに統一するか、ｑに統一するかの２択がありますが、素直に正の数であるｐに統一した方が良いでしょう。
よって、－２≦ｑ≦０に代入して、
－２≦ｐ－３≦０
⇔
１≦ｐ≦３
よって、０≦ｐ≦２ と、１≦ｐ≦３の共通部分を求めて、１≦ｐ≦２が定義域になります。
次に、直線ＰＱを求めますが、これは簡単。
直線の方程式の公式を使えば簡単です。
そして、（ｓ、ｔ）を代入。
すると、ｓとｔとｐの関係式が求められます。
ここから、通過領域の問題のスタートです。
解の配置で解く！
では、まずは解の配置で解く解法です。
解の配置の方針は、パラメータが解を持つ条件を求めていくこと。
今回の問題は、最終的にｓｔ平面の図を描くことになるので、ｐがパラメータになります。
そこで「ｐがｓの定義域に少なくとも１つ実数解を持つ条件」を求めるというのが方針です。
以下のようになります。
今回の問題は、通過領域の問題というだけでなく、ｓの範囲がややこしくて難しさが増しています。
先ほど求めた１≦ｐ≦２という範囲と、ｓ≦ｐ≦ｓ＋３の共通部分が、何パターンかに分かれていて、ｓに関しても定義域がある。（０≦ｓ≦２）
そして、さらに軸の位置でも場合を分けるという、ややこしさ。
まず滅多に見る事の出来ない面倒臭さです。
しかも解の配置では、場合分けが多くなることが多いので、非常に面倒な解法となってしまいました。
すだれ法（ファクシミリ論法）で解く！
次にすだれ法（ファクシミリ論法）を利用した解法です。
方針としては、ｓとｔとｐの関係式において、ｓで場合分けをし、ｔの値域を求めます。
もっと具体的にいうと、
（ｔの最小値）≦ｔ≦（ｔの最大値）
という評価の式を作るのが目的です。
では解法をどうぞ（解の配置と似ています。）
これの方が、少し簡単でしょう。
少し計算量が減りましたし、使いこなせれば見通しが良いと思います。
包絡線で解く！
では、最後に包絡線を使った解法です。
皆さん、使いこなせますか？
使えれば、最も計算量が減って簡単ですが、中々難しいのかもしれません。
包絡線の方針は、
ｓとｔとｐの関係式と、それをｐで微分した式を連立します。
すると、元々の式が常に接しているグラフが求められてしまうという、不思議な性質を利用したものですね。
では、手書きの解答をどうぞ。
今回の包絡線の解答は、「直線」ではなくて「線分」だというところが、少し特殊。
本当に設定がややこしくて、イヤになりますね。
でも、３パターンの解法のどれでも、同じ答えに辿り着きました。
ちなみに、理系は最後に対称性からＤの図をｙ軸対象に折り返さないといけないという、オマケ付き。中々難しいでしょうね。
部分点は取り易いけど、満点を取るのはかなり厳しいタイプの問題でしょう。（つまり差がつかない）
私のスケジュールも少し落ち着いてきたので、今後入試まで、まだまだ解説をアップしていきます！頑張れ受験生！！
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