【世界一早い東大模試解説】２０１７秋　河合オープン　文系第３問

秋の河合オープン文系第３問

駿台の東大模試も終わりましたね。

皆さん出来はいかがでしたでしょうか？

残っている、河合文系第３問の解説を書いていきましょう。

解く前に情報を読み取れるだけ読み取ろう！

まず問題文を一読して、１文字も解かずに読み取れるものを読み取りしょう。

サイコロを何回も振るということは、反復試行の問題ですね。

また、「初めて、〇〇する確率」ということで、いわゆる優勝決定法の問題です。

反復試行では極めて定番。

例えば、こんなのが例題です。

さらに、（１）から（３）まで、似ている問題が続きます。

（１）は３の倍数、（２）は６の倍数、（３）は１２の倍数ということで、徐々に条件が複雑になっているのも、お分かりかと思います。

ということは、明らかな誘導問題。

ま、いつも書いてますが、数学は全ての問題が誘導問題だと思って解いて良いですから、珍しくもなんともないんですけどね。

と何度書いても、誘導だと後で気付いてしまう人が出るので、何度も書いているわけなんですが。

さらに、もう一つ突っ込むと、この問題は積が３の倍数（や６の倍数、１２の倍数）になるかどうかが問題になっています。

「積が３の倍数になる」というのは、「少なくとも３の倍数が出るかどうか」を調べる問題ということ。

「少なくとも」は、狭く言うと余事象を使うという目印で、広く言うとベン図を使う目印です。

と、そんな事を考えながら、もう少し丁寧に問題の設定を読み取っていきましょう。

（１）は、教科書例題レベル

（１）から見ていきましょう。

問題の設定としてはサイコロを何度も振って、ｎ回目に初めて３の倍数になる確率です。

ということは、ｎ－１回目までは、一度も３の倍数が出ず、ｎ回目に３か６が出ると言うこと。

これは、カンタン！

教科書の例題レベルですね。優勝決定法の典型問題です。

これは、取らないとダメなレベルでしょう。

優勝決定法はベン図の問題！

では（２）。

今度は、ｎ回目に初めて６の倍数になる確率と言うことなんですが、これは一気に複雑になりました。

というのは、３の倍数に比べて、場合分けが増えるからです。

ポイントは、素数なのか合成数なのかです。

一応説明しておくと、素数というのは１とそれ自身以外に約数を持たない数で、合成数とは素数以外の数です。

３は素数ですから、ベン図を描いた時に（３の倍数）と（３の倍数でない）という領域しか出ません。

しかし、６は６＝２×３ですから合成数。

つまり、（６の倍数）＝（２の倍数）かつ（３の倍数）となります。

さらに、優勝決定法は、実はベン図の問題と相性が良いです。

ｎ－１回目までと、ｎ回目が否定の関係になります。

今回の問題で言えば、ｎ－１回目までは（６の倍数でない）状態が続きますが、ｎ回目で（６の倍数）になります。

ということは、ｎ－１回目までは

（６の倍数）＝（２の倍数）かつ（３の倍数）

を否定して、（ド・モルガンの定理）

（６の倍数でない）＝（２の倍数でない）または（３の倍数でない）

として、考えなければなりません。

場合の数・確率の問題では、排反（重複がない）に場合分けをしなければなりませんから、

場合①：２の倍数だが、３の倍数でない

場合②：３の倍数だが、２の倍数ではない

場合③：２の倍数でも３の倍数でもない

の３通りに場合分けをするということです。

反復試行の最大・最小問題

次に、少し脱線して、反復試行の最大・最小問題に少し触れます。

反復試行と言えば、（コンビネーション）×（確率のｎ乗）×（確率のｎ乗）の形を想像すると思いますが、最大・最小問題と絡むと、途端に解法が変わります。

教科書的には発展内容の扱いになっていて、模試や入試では難問扱いになることもあるのですが、恐らく皆さん解いた事があるはず。

こういうタイプの問題です。

確率の問題には、くじ引き型とサイコロ型というのがあります。

サイコロ型というのは反復試行や独立試行と呼ばれるもの。

くじ引き型は、試行を行うたびに分母が小さくなってしまうタイプのものです。

比較するために、くじ引き型の画像も貼っておきます。

（順番としては、くじ引き型から見てもらうとわかり易いかもしれません）

というように、くじ引き型とサイコロ型では、最大最小問題の解き方が全く違います。

そして、今回の問題では、要所要所に、サイコロ型の最大最小問題の解法が登場しますので、参考にして下さい。

（３）の場合分けの考え方

では、（３）ですが、求めるのは条件付き確率。

条件付き確率を求める場合は、集合の名前の定義と、確率の定義式を必ず書きましょう。

すると、求める確率は、分母が（ｎ回目で初めて６の倍数になる確率）、分子が（ｎ回目で初めて６の倍数になり、かる、ｎ回目で初めて１２の倍数になる確率）となります。

※河合塾の回答では、この辺りが厳密に書いていなかったように思います。

分母は（２）と全く同じなので、そのまま使いまわすとして（笑）

分子はどうかというと、初めて６の倍数になって、しかも１２の倍数にもなるということですよね。

ということは、先ほど使った３つ場合分けをもっと細かくすれば良いのです。

先ほどは

場合①：２の倍数だが、３の倍数でない

場合②：３の倍数だが、２の倍数ではない

場合③：２の倍数でも３の倍数でもない

と分けましたが、

場合①：２の倍数だが、３の倍数でない

をもっと細かく分けて、

場合①Ａ：２の素因数が１つだけあり、３の倍数ではない。（２の倍数だけど、４の倍数ではなく、３の倍数ではない）

場合①Ｂ：２の素因数が２以上あり、３の倍数ではない。（４の倍数で、３の倍数ではない

とし、

場合②：３の倍数だが、２の倍数ではない

は、そのまま使えます。よって、

場合②：３の倍数だが、２の倍数ではない

と、文字は同じで、色だけ緑に変えておきましょう。

場合③：２の倍数でも３の倍数でもない

に関しては、最後のｎ回目でどんなサイコロの目が出ても、絶対に１２の倍数にならないので、無視することになります。

ということで、上に示した緑色の３つの場合について、それぞれ検討すればＯＫ。

あとは、手書きの解答をご覧くださいませ。

それにしても、計算が面倒ですねぇ。

こんな複雑な計算、当てられる人なんか、ほとんどいないでしょうに。

場合分けも面倒ですし、難しい問題に分類されるでしょう。

（１）は絶対解けなきゃだめだけど、（２）から部分点の問題に変わります。

半分取れたら、中々な問題になるのでは？と予想しますが、いかが？