2019年東大理系数学（第5問）入試問題の解答（答案例）・解説（微分、解の配置、不等式の証明、極限、ハサミウチ、微分の定義）
目次
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２０１９年 東大数学 理系第５問
今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題（笑）
極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。
では、解説していきましょう。
微分しても解を持つ条件がうまくいかない
では、（１）から見ていきましょう。
よくある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。
なければ、中間値の定理で、ｙが負になるｘの値と、ｙが正になるｘの値を求めれば終わりなのになぁ。
「ただ一つの」と言われているので、仕方なく微分して増減表を描く路線に行きます。
いつものように、（左辺）－（右辺）をｆ（ｘ）とおいて、微分します。
しかし、ｘ≦０の様子がいまいちわからないのです。
（ｘ≧０では、単調増加になるのがすぐにわかります。）
「あれ？どうしよう、ｘ≦０の範囲をどうやって調べればよいかわからないぞ」
ということで、もう一回微分しても、中々うまくいかない。
ここで困ってストップした人が多かったでしょう。
工夫をしてみよう
そんなときは、別の工夫が必要です。
そこでご紹介するのが、元々のグラフのイメージをすること。
つまり、ｙ＝ｃｏｓｘと、ｙ＝ｘ＾２ｎ－１のグラフをイメージします。
と言いつつ、本当はグラフのイメージは、どんな問題でも必ず行うことなんですけどね。微分したり、差をとったりと、ちょっとでも変形したら必ずイメージをするのが標準です。
さて、この２つのグラフをイメージする（描いてみる）とこうなります。
すると、確かに解（交点）は、０≦ｘ≦１に１つしかないだろうというのが分かります。
これを利用して、解の配置条件を絞っていきます。
不等式で挟もう
さて、グラフを利用しながら、上手く解の存在条件を考えていきます。
今回は、皆さんでも理解しやすく、発想しやすいように、ｃｏｓの値域から絞ってみました。
こんな感じです。
簡単にまとめると、
・－１≦ｘ≦０の時は逆符号になる
・０≦ｘの時にはｆ（ｘ）が単調増加
という二つを利用して、解が一つしかないことを示しています。
（２）は瞬殺！！
サービス問題。かなり簡単です。
「ｃｏｓａｎ＞ｃｏｓ１を示せ」とありますが、０≦ｘ≦π／２の範囲でｃｏｓは単調減少関数ですから、ａｎ＜１を示すのと同値です。
でも、これって（１）で既に示しています。ということで瞬殺。
これは問題というより、（３）の誘導として設定された問題でしょう。
（３）良問！！よく復習しよう！
では、最後の（３）。これが極限の問題として、非常に良い問題です。
このように、別種の関数の交点に関して、極限を求めさせる問題は良いですね。実力差が出る問題です。
あまり見たことがないという方は、勉強不足を恥じましょう。確かに教科書傍用の問題集には載ってないかもしれませんが、模試や入試としては頻出です。
慣れていれば、ちょっと手を動かしていくだけで解けると思いますので、よく復習してください。
ａｎの極限は、いつも通りの流れで簡単♪
では、解説です。
まずはａｎの極限ですが、そのまま極限値を求めようとしても求められません。
このパターンの問題で、よくある解法としては、
①元々与えられている方程式に代入して、ａｎに関する関係式を得る
②不等式で閉じて、ハサミウチの原理を利用する
の２ＳＴＥＰでしょう。
今回もこの流れに漏れず、そのまま計算できます。
ほら、知ってれば簡単でしょう。いつもこの流れなので、よく覚えてくださいね。
ｂｎの極限はもっと簡単♪♪
では、ｂｎの極限ですが、これはａｎよりもっと簡単♪
先ほど作った不等号の直前の式を、両辺ｎ乗すれば終わりだからです。
ということで、こちら。
ｃの極限
では、最後にｃの極限です。
ａの値とｂの値は求められているので、そのまま代入してしまいましょう。
すると、分母と分子に差の形が現れましたね。
ここでビビっと反応できなければ、東大受験生としてはＮＧ。これまた典型的な形が登場しました。
ズバリ、「平均値の定理」や「微分の定義」を利用して極限を求める形です。
厳密にいえば、分母は差の形になっていなくても、分子が差の形になっていれば、反応しなければならないパターンですね。
解き方としても、スタンダードです。
分母がａｎー１となっていますから、分子も似たような形になってほしいところ。
そこで、分子がｇ（ａｎ）－ｇ（１）となるような関数ｇ（ｘ）を探します。
ｂｎの極限を求めるところを参考に、ｇ（ｘ）の正体を探せば、答えはもうすぐ。微分して１を代入したら答えです。
ということで、手書きの解答をどうぞ。
それにしても、先生としては教え甲斐のある一問ですねぇ。授業でぜひとも扱いたい問題。
生徒としても、ぜひ習得したい問題。
教育的な価値の高い良問だと思いますので、ぜひマスターして下さい。
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