2017年東大文系数学（第3問）・理系（第2問）入試問題の解答（答案例）・解説（場合の数・確率・反復試行）

２０１７年　東大文系数学　第３問　理系数学　第２問の解説

問題

２０１７年　東大文系数学の第３問と、理系第２問です。 まずは、問題を。

文系第３問は・・・    

そんでもって、理系第２問は

見比べると分かりますが、文系の（２）と、理系の（１）が同じ問題ですね。

文系では、もっと簡単な・・・というか死ぬほど簡単な（１）が追加されていて、 理系ではちょっと手間がかかる（２）が追加されているという感じ。 まずは、文系の方から片づけてしまいましょう。
問題の設定を読んで下さい。

文系（１)は超簡単♪

はじめは点Ｐが原点にあります。そして、点Ｐは、上下左右に当確率で移動します。
つまり、上下左右のどこに動くのも１／４の確率です。

場合の数・確率の問題では、複雑な設定の問題が出題されることがありますが、今年は非常にシンプルですね。わかり易くて良きです。

設定を理解したら、次は問題文を読むと・・・（１）は、恐らく数学を勉強したことがない方や、長らく数学から離れている人でも解けるのでは？？と思います。
ｔ－ｓ＝－１と、分かり辛く書いてありますが、言い換えるとｙ－ｘ＝－１の直線上に乗っかれば良いという事です。ということは、右に動くか、下に動けば良い話。

さて、問題です。 上下左右に当確率で点が動くとき、右に動く確率と、下に動く確率を足したらいくつでしょう？
もちろん答えは、１／４＋１／４＝１／２です。これ、センター試験でも（１）に出るくらいの簡単な問題です。東大入試で、これで良いのでしょうか？簡単すぎて、思わず問題文を何度も読み直してしまいましたが、そういう受験生も多かったのでは？（東大入試であっても、たびたび簡単すぎて驚く問題が出ますよね。）

文系（２）＝理系（１）　誘導がよく分からんけど、解くのは簡単。

では文系（２）＝理系（１）。
さっきのが誘導になってるんだろうな、とは思うでしょうが （あまりにも簡単ですし、ｔ－ｓ＝－１なんていう、意味不明な式が登場するし）
気付いて解いても、誘導に乗るのは少し難しいかもしれませんね。

調べるとわかるんですが、右か下に動くと、ｙ－ｘの値が１減って、左か上に動くと、ｙ－ｘの値が１増えます。これが（１）の誘導だったわけです。

でも、そんなのが分からなくても、ｙ＝ｘに乗っかる条件を考えていれば、自然と法則がつかめるのではないでしょうか。

まとめてしまいましょう。
問題文に書かれた通りに、上下左右に動くと考えると４択です。
しかし、今回はｙ＝ｘの直線に対して下側の方に動くのか、上側の方に動くのかが問題です。直線より下側に動くのは、上下左右の動き方のうち右と下、上側に動くのは左と上です。つまり、右下のセットと、左上のセットの２択として考えればよかった、というのがオチの問題です。
あとは右下のセットと、左上のセットが、それぞれ何回出れば良いかを反復試行で考えれば良いという問題ですね。

では、手書きの解答をどうぞ。

※左側が、文系第３問、右側が理系第２問です。

見慣れない設定かもしれませんが、別に複雑でもなければ、場合分けが難しいわけでもない。計算も簡単という事で、これも取りたい問題ですね。

理系（２）も別に難しくない。（文系にもおすすめ）

では、続きまして、理系の（２）。今度は、原点にある確率を求めよ、とのことです。
この問題、計算は複雑になるんですが、むしろさっきのｙ＝ｘ上よりも考え方は簡単かもしれません。

なにせ、さっきの文系（２）＝理系（１）の問題では、ｙ＝ｘより上側か下側かが問題だという核心にたどり着くまで時間がかかりましたが、今回はそれが不要。最後に原点にいるということは、左と右が同じ回数出て、上と下が同じ回数出れば良いわけです。個人差があるでしょうが、私はさっきのより、こっちの方が考察量が減る分だけ好きな問題ですね。

という事で、今度は左と右をセットに考えて、上と下をセットにすれば良いのです。
で、左右セットと上下セットがそれぞれ出る回数を足して３になれば、合計６回移動したことになりますから、（左右や上下をセットにすると、移動２回分がセットなので）
（３，０）、（２，１）、（１，２）、（０，３）の４通りが考えらます。

さらに対称性から、（３，０）と（０，３）は、全く同じ確率に、（２，１）、と（１，２）も同じ確率になるのも分かるので、結局計算としては、２つだけすれば良くなります。

ここまで考えられれば、もう解けるでしょう。
では、ちょっと上の方に張り付けてある、手書きの解答の右側をご覧くださいませ。 理系の問題ですけど、文系でも解けます。というか、文系で出題されても簡単な部類では？上手に説明したら、（計算の部分は出来ないまでも）中学生でも理解できるかも。

敬天塾作成の解説

こちらのｐｄｆファイルは無料でダウンロードいただけます。
受験生の学習はもちろん、先生方の授業にお役に立てるのであれば、どうぞご自由にお使いください。
断りなしに授業時にコピペして生徒に配布するなども許可していますが、その際「敬天塾の答案である」ということを必ず明記していただくようお願いします。
ただし、無断で転売することは禁止しております。何卒ご了承ください。