【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン　文系第３問

最難問！？領域図示は点数が取り辛い

それでは今日も行きましょう。

今日は、文系４問の中でも一番難しかったかもしれない問題です。

何も分からなくとも、領域図示の問題だということは、分かるでしょう。

何度かこのブログでも書いてますが、領域図示の問題は点数が取り辛いです。

場合分けが面倒で、細かいところまで神経を使うし、図を描こうとしたら交点をイチイチ調べなきゃいけないし、全部クリアしたら「境界を含む」って書き忘れたり(笑)。

僕は試験の時に、条件式まで出して、図示せずに飛ばすことが良くあります。

最後の数点を取るために、異常な時間がかかりますので。ということで、扱いが難しいのです。本番で、領域を本当に図示するかどうかは悩みどころですね。

一手目の付け方を考えよう！

この問題の難しいのは、一手目の付け方に迷うところでしょうね。

東大入試だと、一手目をどうしてよいかわからない問題が出ますので、対策を取らなければなりません。

「一手目の付け方はセンスだ！！」

と言うと元も子もないのですが、ある程度の直観は大事です。しかし、直観に頼る領域を限りなく少なくすることも可能。

僕は「連想をしよう！」と教えています。

問題文をご覧ください。

キーワードは何でしょうか？

①領域図示

②２点までの長さが等しい

③点が存在する

辺りが、方針を決めるキーワードになりそうです。

領域図示には、大きく２つの方針がある

キーワードの①を見てみましょう。

領域図示には大きく分けて２つの方針があります。

一つは、解の配置の問題として解く問題。

登場する文字の座標を文字で置き、その文字が存在する条件を立てていくという方針です。

この問題は、座標を設定して、解の配置で解こうとすると、最後の方になって複雑すぎて挫折します（確かそういう問題だったはず）

この問題に関しては、こちらのリンクから解説が見れますので、良かったらどうぞ。

多分、河合塾はこの問題を参考に作ったんじゃないでしょうか？

対称性で計算を半分に

では、各点の座標を文字で置き、計算を進めてみましょう。

今回の問題は、ＯＰ＝ＰＱ＝ＰＲとなる点Ｐの存在領域ですね。

ｙ＝ｘに関して対称性のある図形ですから、ＯＰ＝ＰＱかＯＰ＝ＰＲの片方だけ計算すれば良いです。

この辺りは、ナチュラルに発想して進みたい所です。

僕の手書きの解答では、都合上ＯＰ＝ＰＱで進めています。

解の配置の場合分けは、統一した方法がない！

Ｒの座標を（ｔ、１）かなんかに置いてＯＰ＝ＰＲの計算を進めると、ｔに関する二次方程式が出てきます。

ということは、「やった！！」となる流れです。

だって、ｔの解が存在する条件（つまり、解の配置）を丁寧に計算すれば、問題が解けたも同然なのですから。

今回は、ｔが全ての実数を取れるわけではなくて、０≦ｔ≦１と限定されています。

だから、ただ単に判別式を取れば良いわけではなくて、軸の条件とか、境界線のｙ座標の値を気にしなければならない問題です。

ただ、場合分けが非常に面倒臭い！！

今回、０≦ｔ≦１なわけですが、不等号の下に＝が付いてると、途端に計算が面倒臭くなります。

しかもこの場合分け、問題集によって色々な解法が書かれていて、先生によって色々な場合分けを考えて説明されますので、統一した解法が存在しません。

つまり、先生によって、または問題集によって、別々の場合分けで説明されてしまうので、勉強する側は混乱してしまいます。

ということで、僕は（もちろん親切のつもりで）、このように分けて説明しています。

解の配置の基本解法を３種類覚えよう！
教科書や、教科書傍用の問題集を見ていると、主に３種類の基本解法が登場します。

この３種類を抑えると、途端にスッキリ場合分けが出来るようになると思います。

①正に２解を持つ場合（ある場所に２解）

②正と負の解を持つ場合（ある境界の両側）

③０と１の間に１回を持つ場合（ある場所に１解）

それぞれ、すぐに解法が思いつくでしょうか？

①が、よく勉強させられるパターンですね。判別式と軸と境界の３種類の条件を求めます。

それぞれ頭文字をとって「はじき」と覚えたりしますね。

判別式と、軸と、端点のｙ座標ということで「ハンジュクタマゴ」と覚えさせている先生もいました。

一昨日の記事でも書いたような気がしますが、このパターンは、解と係数の関係でも求めることが出来ます。知らなかった方は、今すぐ数Ⅱの教科書を見直しましょう。

②はｆ（０）＜０とすれば終わり。簡単です。

③はｆ（０）×ｆ（１）＜０という１式を立てれば終わり。これも簡単ですね。ｆ（０）とｆ（１）の符号が逆になるということです。

ちなみに、数Ⅲでは「中間値の定理」という名前で登場する条件式です。

基本解法を使って場合分け

さて、基本解法のポイントは、「全て不等号の下に＝が付かない条件だった」という点です。

だから、手書きの解答では、まず初めにｔ＝０で解を持つ条件と、ｔ＝１で解を持つ条件を調べておいて、＝を除外しています。

＝を除外した後は、基本解法の３種類を使って残りを調べれば良いので、混乱しなくて良いと思います。

あとは、手書きの解答で流れを確認してみて下さい。

領域図示が難しい

さて、解の配置で条件を求めた後なんですが、忘れてませんか？

ＯＰ＝ＰＱの条件も立式しなければなりません。

ただ、対称性がありますから、計算はしなくてもＯＫ。ｘ座標をｙ座標をひっくり返せば良いんですが、このとき放物線がひっくり返って登場しますね。

これ、数Ⅲだと普通に登場するんですが、文系の模試で出しても良いんだろうか。。。

いや、対称性とか、逆関数の話で処理出来るんですが、面食らった受験生も多いのではないでしょうか。

でも出てしまったから仕方ない。

手書きの解答では、色分けをかなり丁寧に行い、なるべく見やすく工夫して書いていますので、どうぞご覧くださいませ。

まとめ

ということで、点数が取る辛いポイントがいくつもありましたね。

一手目が思いつかない、場合分けが正確に出来ない、領域図示が出来ない・・・。

などなど、かなり重たい問題でした。

１０点いったら、結構凄いんじゃないでしょうか。うーん、２５分でこれを正確に解くのは厳しいような気がしますね。

ということで、３問目は以上です。