通過領域をマスターしよう① 解の配置で解く
【関連ページ】東大文系で頻出の通過領域の解法パターンをすべて紹介した決定版（逆像法・順像法・包絡線・線形計画法など）
通過領域の解法は３つある！
数学の入試問題で、通過領域の問題が良く出ると思います。
しかし、教科書に「通過領域」というテーマの範囲はないし、参考書を見ても先生に聞いても要領を得ない、
なんてことないでしょうか？
お悩みにお応えして、通過領域の解法が皆さんのノウハウになるよう、まとめましたので、是非ご覧ください。
まず厄介なのが、通過領域の解法が３つもある事です。
①解の配置で解く
②すだれ法（ファクシミリ論法）で解く
③包絡線で解く
それぞれご存知でしょうか？
この３つの解法が区別できないと、参考書を見ても勉強出来ません。
参考書Ａで勉強したら、①解の配置で解いてたけど、参考書Ｂでは②のすだれ法で解いている、なんてことが頻繁に起こります。
というか、一冊の参考書の中でも混同して使われてたりして、もう収集が尽きません。
数学の受験業界では、別解を大切にしますが、ストレートな解法と別解を同時に載せる配慮は、意外と出来ていません。
有名な「プラチカ」なんかは、別解を載せてくれてますから親切なんですけど、欲を言えばどの別解は初心者向けで、どの別解が玄人向けかなどを書いてほしい所ですが。
解法①：解の配置の基本の型３つを押さえよう。
いきなり東大の過去問の解説に行くと難しすぎるので、まずは簡単な通過領域の問題から、３つの解法を使い分けて解説してみましょう。
１つ目は、解の配置で解くパターンです。
解の配置と聞いて、何のことかお判りでしょうか？
主に、２次関数の最後に登場するタイプの問題のことを指します（３次関数などでも、登場しますが）
例えば、こんな問題
（青チャートより）
「あぁそうだ、判別式と、軸の位置と、協会のｙ座標を調べるあのタイプね。」
と思えたら、及第点。
しかし、それだけが解法のパターンではありません。
私は、このタイプには３種類の解法があると教えています
それが、下の画像のＡからＣです。
左半分をご覧ください。
Ａは、正の異なる２解をもつ条件
Ｂは、正と負の解を持つ条件
Ｃは、０＜ｘ＜１に１解を持つ条件（数Ⅲでは中間値の定理として登場）
です。
これが、最もよく出る順の３つですし、他の問題へ応用しやすい「プレーン」な解法だと思います。
右の半分は、ＡとＢを数Ⅱの「解と係数の関係」を使って解いた場合の解法です。
意外と知らない生徒が多いのですが、解の配置は判別式や軸で解くばかりではなく、解と係数の関係でも解けます。（教科書にも載っています。）
基本の型を使って、ちょっと複雑な解の配置の問題を解こう
では、これを応用する問題に触れてみましょう。
次の画像をご覧ください。
ケース１からケース３まで載せています。
先ほどの基本の型３つを使って、もれなく場合分けをするとどうなるか、が書かれています。
「４つも５つも場合分けしていて、面倒じゃないか」と思われるかと思いますが、その通り！！
市販の問題集では、平気で４～５通りの場合分けをして、解説が書かれています。
そもそも通過領域に辿り着く前に、場合分けが出来なくて困る事ばかり。
基本の型３つを使えば、機械的に場合分けが出来るようになりますので、どうぞ使って下さい。
ポイントは、３つの基本の型には、不等号にイコールが入っていなかった事です。
「＜」の記号はあったとしても、「≦」は一つもなかったはずです。だから使いやすい！
「ｘ≧０に少なくとも一つの解を持つ条件」などと言われたら、「ｘ＝０の場合」と、「ｘ＞０の場合」に分けて考えればスムーズです。
通過領域を解いてみよう！
では、やっとですが、通過領域の解法に行ってみましょう。
この記事の冒頭に書いた、通過領域の解法３つ
①解の配置で解く
②すだれ法（ファクシミリ論法）で解く
③包絡線で解く
の１つ目から。
※左上が消えていますが、お気になさらず・・・。
ｙ＝２ｔｘ－ｔ＾２が、０≦ｔで動き時に通過する領域を求める問題です。
解の配置を使って求める場合、まずはパラメータ（ｘとｙでな文字）で降べきの順に並べます。
この問題で言うと、ｔがパラメータですので、ｔで降べきの順で並べる。
すると、ｔの２次方程式になります。
次に、０≦ｔで動くという条件を、「さっきのｔの方程式が、０≦ｔに少なくとも一つ解を持つ条件」と読み替えます。
この議論のすり替え（！？）は、説明するのが大変。
都合上、説明は解き終わった後に書きますので、一旦スルーしておきます。
さて、「０≦ｔに少なくとも１つ解を持つ」と来ましたから、基本の型３つを使って場合分けを実行。
基本の型３つを使うためには、不等号の中のイコールを消去する必要があるので、
（ⅰ）ｔ＝０に解を持つ場合
が来ます。
次に、０＜ｔに１つ解を持つ場合ですが、重解の場合と、重解ではない普通の解の場合が考えられるので、
（ⅱ）０＜ｔに重解を持つ場合
（ⅲ）０＜ｔと、ｔ＜０に一つずつ解を持つ場合
が考えられます。
最後に、０＜ｔに異なる２解を持つ場合があるので、
（ⅳ）０＜ｔに異なる２解を持つ場合
と４つの場合が考えられました。
あとは、画像を見て条件のチェックをしておいてください。
最後に、求めた条件を、ｘｙ座標に書き込めば終了です。
（色分けしてあるので、見やすいと思います。）
解の配置だけでこのボリューム。
②のすだれ法と、③の包絡線については、次回以降へ。
