2017年 東大理系数学 第1問(三角関数・チェビシェフの多項式・二次関数・場合分け・最大最小)

2017年 東大理系数学 第1問の解説(三角関数・チェビシェフの多項式・二次関数・場合分け・最大最小)

毎日、東大入試数学を更新するコーナー。

今日は、2017年の東大入試、理系第1問です!

では、早速問題をどうぞ。

(1)は、fとgにおいて、cosの整式で表せという問題ですね。

cosの整式で表すと言えば、チェビシェフの多項式が有名です。

チェビシェフの多項式の説明リンクを貼っておきましたが、別に知らなくても解答には問題ありません。知ってると、ちょっと楽しいくらいですかね。

 

fの始めに、cosの3倍角があるので、知らなければ作れば良いですが、これは覚えててほしいレベルでしょう。
手書きの解答の方には、sinの3倍角と並べて書いておきました。
sinの3倍角は、「サンシャイン引いて夜風が身に染みる」という有名な覚え方がありますが、
cosの方は、sinをcosに変えて、符号を逆にすると出ます。

 

また、gの方では分母にcos-1がありますが、分子もcos-1で因数分解できるのはすぐにわかります。なぜなら、分子にθ=0を代入すると0になるからです。

という事で、字数の低い文字である、aやbに注目して降べきの順に並べながら因数分解すれば、自然と分母と分子がcos-1で割れると思います。

詳しくは、手書きの解答をご覧ください。

また、(2)ですが、最小値が0と言われてますね。
最小値は、原則としてグラフを書いて、定義域内における最小のyを探します。それで解けなければ他を考えるのですが、今回はgがθ(というかx)の正式になっていますから、そのままグラフを描けば良いでしょう。

しかも計算をしてみると、gはxの二次関数にすぎません。

という事は、グラフを書くのに微分も必要ないので、平方完成をすれば良い。

さらに調べると、軸の位置にパラメータが存在するので、定義域より左、定義域内、定義域の右の3種類で場合分けするタイプの問題です。

これは高校1年生からの典型的な問題ですので、迷うことなく進みましょう。

ちなみに、0<θ<180°ということで、cosの範囲は‐1<cos<1という、開区間になります。
※開区間というのは、範囲の両端に=がない区間で、閉区間というのは=がある区間です。

開区間では端点がありませんから、端点で絶対に最大値や最小値を取る事はありません。よって、結局は定義域内に頂点が入る場合のみ考えれば良い事になりますね。

あとは、aとbの条件を整理すると自然と領域図示が出来ます。領域図示もそんなに複雑ではないですね。二次関数の一部になります。

ということで、手書きの解答で、今までの流れを追って下さい!

2017年東大数学 理系第1問_000127

※注意!転記ミスがあります。右の段、上から4行目の②のところです。最後のグラフは合ってます。

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