2012年 東大数学 文系第3問 理系第2問

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2012年 東大数学 文系第3問 理系第2問

今日も行きましょう。2012年の確率です。(文理で全く同じ)

昨日の記事で書いた確率の問題に続いて、図形と確率漸化式の問題です。

昨日は触れませんでしたが、図形と確率の問題が出たら、必ず考えることがあります。

それは何かというと・・・

対称性の利用

対称性です。

数学では非常によく強調されるポイントですが、やはり大事!

現在、12年分の確率の問題を連続アップ中ですが、対称性に注目して解く問題が頻発します(お楽しみに)

 

さて、「対称性」と一口に言いますが、主に2種類の対称性があります。

それは

・図形の対称性(線対称・点対称)

・式の対称性(いわゆる対称式)

の2つです。

 

しかし、この問題で注目してほしいのは3つ目の対称性、すなわち「確率の対称性」です。

 

そして面白いのは、この3つの対称性がリンクして登場することです。

 

この問題は、正三角形を図のように分割した図形が登場しますが、

 

 

図のようにQ’の部屋を設定すると、QとQ’が線対称になります。そして、Qに到達する確率と、Q’に到達する確率が完全に等しくなる。

つまり、「図形の対称性」と「確率の対称性」が同じように登場します。

さらに、後で漸化式を立式すると、「式の対称性」まで登場する。

というように、3つの対称性が同時に登場するという、非常に面白い問題なのです。

 

【超頻出】偶奇の場合分け

そして、もう一つ。

これまた、超頻出テーマなのが「偶奇の場合分け」です。

受験生に嫌われるテーマではありますが、残念ながら東大では超頻出なのです。「偶奇を克服せずして東大合格はない」という意識で取り組んでください。

 

この問題で、どのように登場するかというと、やはり図形の対称性と関連して登場します。

図のように、奇数の時と偶数の時で、到達する部屋が違います。

 

図形の点の移動と、偶奇は非常に相性がよいので、絶対に押さえておきたい知識です。

このブログを愛読してくれている読者であれば、前回の記事(2000年の文系第3問)にも同じことが登場しているのがご理解いただけるでしょう。

 

確率漸化式の解法

では、気になる解法ですが、対称性と偶奇の性質を大いに利用します。

まず、先ほどの図のようにQ’の部屋を設定。

そして、P、Q、Q’の部屋にn秒後にいる確率をPn、Qn、Q’nと設定します。

すると、Pn、Qn、Q’nの遷移図が描けます。

 

そこで、2本の式を別に立てます。

1つ目は、先ほどからずっと言っている、Qの部屋とQ’nの部屋の対称性から立てられる

qn=q’n

 

2つ目は、確率の問題ならば必ず成り立つ式、全て足せば1です。

pn+qn+q’n=1

 

これらを連立して漸化式を解くと解けるという仕組みでした。

 

では、手書きの解答をどうぞ。

 

まとめ

 

くどいですが、この問題は、対称性、偶奇、確率漸化式という頻出パターンを全て押さえているという点で、東大数学に確率の黄金パターンに則った問題でした。

この問題をもとに、応用として明日以降の問題をご覧くださいませ。

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