場合の数・確率を体系的に学ぼう②　「並べるのはＰ、選ぶのはＣ」は間違い

前回は基礎概念の習得

前回は、基礎概念の習得ということで、階乗、Ｐ（順列）、Ｃ（組み合わせ）の違いをハッキリ区別させました。
並べるのはＰ、選ぶのはＣと、単純に教えられるので、きちんと概念の違いが分かりません。

区別のある／ない、を意識しないと分からない世界があります。
どうぞこちらのリンクから、復習して下さい。

「並べるのはＰ、選ぶのはＣ」は間違い
では、今回の本題に入りましょう。
普通、「並べるのはＰ、選ぶのはＣ」と教えられますが、これ、間違ってるの分かります？

いや、ほとんどの問題はこれで解決するんですけど、「並べるのにＣを使う場合がある」の、ご存知でしょうか？（しかも、超基本問題で）

ということで、こんな問題を用意しました。

問、ＡＡＡＢＢを並べる場合の数は？

この問題には、解法が２通りあります。
この２通りを習得しないと、絶対に場合の数・確率は得意になれません。なぜなら、物凄く頻繁に出てくるからです。
ということで、私は普段、前回の記事の内容と、この問の解法を２通り、全て習得するところから、場合の数・確率の授業を始めています。

解法１：Ｃ（組み合わせ）を使う
では、解法の一つ目。
これは、Ｃ（組み合わせ）を使います。

考え方としては、横並びの５個の箱を用意し、それにＡＡＡＢＢを入れるというもの。

Ａ　Ａ　Ａ　Ｂ　Ｂ

↓（並び替えて箱に入れる）

□　□　□　□　□

すると、５個の箱の中で、Ａが入る場所を２か所選べば良いので、５Ｃ３＝１０通りとなります。
（Ａの場所を選べば、Ｂの場所が１通りに決まるので、Ｂの場所は選ばなくて良い。）

ということで、元々はＡＡＡＢＢを並べる問題だったのに、計算としてはＣを使いました。

単純に「並べるのはＰ、選ぶのはＣ」と覚えていてもダメです。なぜＰを使うのか、なぜＣを使うのかの理由が大切です。
理由が分からなければ、前回の記事と、今回の記事のパターンを覚えれば、基礎的な計算は全て終わりです。

解法２：区別して、区別をなくす

では、次の解法に行きましょう。
２つ目の解法は、階乗（ビックリマーク）を使います。

ＡＡＡＢＢは、Ａ同士には区別がなく、Ｂ同士にも区別がないけど、ＡとＢには区別がある、という複雑な状態です。
あーーー、面倒臭い！全部区別をしてしまえ！
ということで、ＡとＢに名前を付けて、区別をしてしまいます。

Ａ１　Ａ２　Ａ３　Ｂ１　Ｂ２　　←名前を付けた。

すると、５個全てが別々のものになります。
これを並べるのは簡単。
前回、説明した
ｎ個の区別のあるものを、全て、区別のある行き先に置くのは、ｎ！通り
の法則を使えば、５！通りになります。

しかし、本当はＡ１とＡ２とＡ３には区別がなく、Ｂ１とＢ２にも区別がありません。

ということで、こいつらの区別をなくす作業が残っています。
ここで、新たな法則
ｎ個のものの区別をなくす時は、ｎ！で割る
を使います。

Ａ１とＡ２とＡ３の区別をなくすのは、３つのモノの区別をなくすので÷３！
Ｂ１とＢ２の区別をなくすのは、２つのモノの区別をなくすので÷２！
の計算をします。

ということで、５！÷３！÷２！という結果になりました。

問いの答え
ということで、先ほどの問題の答えは、
解法１を使えば、５Ｃ３通りになり、解法２を使えば５！÷３！÷２！になります。

どちらで答えても全く構いません。全くの好みで良いと思います。
先生によって好みがありますから、先生にならって片方しか知らなかったという方もいるでしょうが、別に問題ありません。
が、両方あると知っていると、問題集や塾、予備校の解説授業の時に混乱しなくて良いでしょう。

ついでに、Ｃの定義式も登場

先ほどの答えから、
５Ｃ３＝５！÷３！÷２！
という等式が出ますが、これ、Ｃの定義式です。
Ｃの計算は出来るけど、Ｃを階乗で表す式を知らない（忘れている）とう生徒も、ちらほら見るので、確認しておいて下さいね。

基礎的な考え方が勢揃い
ここまで、
階乗、Ｐ、Ｃの定義と概念（前回記事）
ＡＡＡＢＢの並べ方の解法２つ
を扱いましたが、ここまでの計算方法と考え方が「場合の数・確率」の問題を解く上で、基礎の考え方です。

ついでに、もっと基本的であまり説明されない
・ｎ個のものの区別を付ける時は、ｎ！をかける
・ｎ個のものの区別をなくす時は、ｎ！で割る
を合わせれば、ほとんど終了。もう、ほとんど迷うことはないでしょう。

教科書にはバラバラに登場する
が、これらの考え方って、教科書ではバラバラに登場するんですよね。
階乗とＰはほぼ同時に出ますが、Ｃはしばらくあとに登場しますし、ＡＡＡＢＢの並び替えの考え方が２通りあるのも、整理されて登場しなかったりします。

だからこそ、こうやって整理して頭に放り込む事が大切なんですけどね。
場合の数・確率の単元だけは、なぜか教科書が整理されて書かれていないので、昔から不満でした。

さて、次回はもう一方踏み込んで、重複順列、重複組み合わせ、組分けなどの、ややこしい問題を扱います。