場合の数・確率を体系的に学ぼう①基礎概念の習得

場合の数・確率は混乱しやすい
東大受験で必ず出ると言われているのが、「場合の数・確率」。
しかし、実はこの単元、他の範囲に比べ教科書があまり整理されて記述されてません。
そのため、教科書と教科書傍用の問題集（４ＳＴＥＰやチャートなど）を使って演習しても、イマイチ頭が整理された感覚にならない人も多いはず。

「一つ一つの問題は解けるようになったけど、いつどのパターンの解法を使ったら良いかわからない」
となっていませんでしょうか？

例えば、Ｐ（順列）とＣ（組み合わせ）の使い分け。
よく、並べるのがＰで、選ぶのがＣと説明されますが、並べるのにＣを使って計算することがあるのは、ご存知でしょうか？

重複順列と重複組み合わせの違いは？
区別をするとか、区別をしないとか、どういう違いがあるの？
条件付き確率って何？

などなど、疑問が多く残る単元でもあります。
しかし、この辺りの疑問を解決すれば、大きな得点源にもなるはず。
という事で、何回かに分けて、場合の数・確率についてのポイントを書いていこうと思います。

超基礎問題！自信を持って答えられますか？
突然ですが、問題です。

問、以下の場合の数を求めよ。
（１）５個のリンゴを並べる。
（２）５人を並べる。
（３）５個のリンゴのうち３個を並べる。
（４）５人のうち３人を並べる。
（５）５個のリンゴのうち３個を選ぶ。
（６）５人のうち３人を選ぶ。

さて、この６問に自信を持って答えられますでしょうか？
難しくない問題なのですが、各設問のパターンの違いを説明しろと言われたら、結構難しいかもしれません。
しかし、教科書には書かれていない「補助線」を足すと、明確に答えられるようになります。

基礎概念①　区別がある／ないのマトリックス
一本目の補助線は、なぜかちゃんと説明されない、区別がある／ないのルールです。
実は、場合の数・確率の単元では、暗黙のうちに次のルールの下で問題が作られています。

・人は無条件で区別するが、ものは区別しない
・名前があるものは区別するが、名前がないものは区別しない

これを表にするとこうなります。

要するに、名前のないものだけ区別がなくなり、他は全て区別します。
このルールに従って、いくつか例を挙げてみましょう。
例）
・５個のリンゴ　⇒区別しない（名前のないもの）
・５人　⇒区別する（人なので区別する）
・３人組が２つ　⇒区別しない（組の中身は人なので区別がありそうだが、３人組同士は名前のないものとみなす）
・３人組と４人組　⇒区別する（３人組と４人組は人数が違うため、同一視出来ない）
・３人組Ａと３人組Ｂ　⇒区別する（名前が付いているので区別する）

となります。

基礎概念②　階乗、Ｐ、Ｃの意味
次に、階乗とＰ（順列）とＣ（組み合わせ）の違いです。
これまた教科書には丁寧に書かれていませんが、こういう定義があります。

・区別のないものを、同じ場所に置く時は、どう並べても１通り。
・ｎ個の区別のあるものを、全て、区別のある行き先に置くのは、ｎ！　　通り
・ｎ個の区別のあるものを、ｒ個、区別のある行き先に置くのは、ｎＰｒ　通り
・ｎ個の区別のあるものを、ｒ個、区別のない行き先に置くのは、ｎＣｒ　通り

細かいですが大切です。
何を、どういう行き先に分けるか、でパターンが分かれます。

ＰとＣの違いは、行き先に区別があるかどうかです。
Ｐの場合、左に置くかと右に置くかで違う場合とみなします。つまり、行き先に区別があるということです。
これを、数学用語で「並べる」と表現しているということです。

対して、Ｃの場合は、左に置こうが右に置こうが同じ場合と見なします。行先に区別がありません。
同様に、これを数学用語で「選ぶ」と表現して表すことになっています。

ちなみに、ｎ個の区別のあるものを、全て、区別のない行き先に置くのは１通りです。（全部選ぶという１通り）

さっきの問の解答
では、２つの基礎概念を理解した所で、先ほどの解答へ行きましょう。
（１）は、リンゴを並べています。区別のないものを並べるので１通りが答えです。
ちなみに、全く同じ理由で（３）と（５）も１通りです。

（２）へ行きましょう。
５人を並べると言う事は、区別のあるものを、全て、区別のある行き先に置くということです。
よって、５！通りが解答です。（１２０通り）

（４）は、５人中３人を並べます。
これは、区別のあるものを、一部、区別のある行き先に置くことになるので、５Ｐ３通りになります。（６０通り）

（６）は、５人中３個を選ぶということで、
区別のあるものを、一部、区別のない行き先に置くので、５Ｃ３通りです。（１０通り）

まとめ
どうでしょうか。
解けた人も多いと思いますが、その背景にこういう定義があったのをご存知でしょうか。
場合の数・確率では、こうして区別のある／ないで問題のパターンが分かれていきます。つまり、区別のある／ないと、その問題のパターンを把握すれば、どんな問題にも対応できるようになるということです。

なぜか教科書で語られない基礎概念を押さえると、場合の数・確率は怖くなくなります。
私の主催する東大合格塾の数学の授業は、毎回こんなことを意識的にたくさん話しています。
問題を解くだけでは絶対に到達出来ない領域に辿り着きたい方は、問い合わせフォームからご相談下さい。
次回は、今回の続きから行きましょう。